例談《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的輔助功能

1、例談幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的輔助功能崇明縣民本中學(xué) 李斌【摘要】本文從高中數(shù)學(xué)一線教師的視角，通過教學(xué)過程中應(yīng)用幾何畫板軟件的親身體驗(yàn)，以具體的數(shù)學(xué)案例為載體，對幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的輔助功能作了一定的研究和總結(jié)。圍繞作圖演示、直觀驗(yàn)證、模擬反饋、探索發(fā)現(xiàn)等四大輔助功能作了實(shí)踐操作層面上的講解，以期為其他數(shù)學(xué)教學(xué)同行提供一些借鑒和參考?！娟P(guān)鍵詞】幾何畫板 高中數(shù)學(xué) 輔助功能【正文】我國基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）指出，要“大力推進(jìn)信息技術(shù)在教學(xué)過程中的普遍應(yīng)用，促進(jìn)信息技術(shù)與學(xué)科課程的整合，逐步實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、教師的教學(xué)方式和師生互動方式的變革，充分發(fā)揮信息技術(shù)的

2、優(yōu)勢，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學(xué)習(xí)工具”。借著“二期課改”的東風(fēng)，上海廣大教師圍繞學(xué)科課程與信息技術(shù)的有機(jī)整合展開了積極的實(shí)踐和研究，如何科學(xué)地實(shí)施學(xué)科課程與信息技術(shù)的有機(jī)整合已經(jīng)成為教學(xué)的熱點(diǎn)話題之一。筆者認(rèn)為，科學(xué)實(shí)施學(xué)科課程與信息技術(shù)有機(jī)整合應(yīng)該以貼合學(xué)科實(shí)際為前提，以講究實(shí)效為目標(biāo)。筆者任教高中數(shù)學(xué)學(xué)科，在信息技術(shù)不斷更新、教學(xué)輔助軟件層出不窮的背景下，幾何畫板以其樸素的外表、強(qiáng)大的功能、簡單易學(xué)的操作和運(yùn)行時對系統(tǒng)的低要求依然讓我對其情有獨(dú)鐘。眾所周知，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的思想方法之一，是聯(lián)系數(shù)學(xué)直觀和抽象的主要工具。高中數(shù)學(xué)中除幾何板塊（如平面解析幾何

3、、立體幾何等）本身研究“形”之外，即便是傳統(tǒng)意義上的代數(shù)板塊（如函數(shù)、數(shù)列等）以及一些介于代數(shù)與幾何之間的邊緣章節(jié)（如復(fù)數(shù)、向量等），都無不彰顯“形”的作用。如函數(shù)（包括數(shù)列）的圖像，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對應(yīng)，向量的有向線段表示等等都無處不顯“形”的身影。而傳統(tǒng)手工作圖誤差大、運(yùn)算繁、無法動態(tài)作圖等弊端大大制約了數(shù)形結(jié)合的可行性。盡管能借助TI圖形計算器使之得到了一些改進(jìn)，但個人電腦運(yùn)行幾何畫板軟件提供的屏幕尺寸和分辨率相比TI圖形計算器較小的屏幕和較低的分辨率仍然有其強(qiáng)大的優(yōu)勢。幾何畫板通過基本的點(diǎn)工具、圓規(guī)工具、直尺工具、輔以選擇箭頭工具、文本工具、自定義工具和“編輯”、“顯示”、“作圖”、

4、“變換”、“度量”、“圖表”六大菜單提供了強(qiáng)大的計算功能和靜、動態(tài)演示功能。根據(jù)筆者平時教學(xué)過程中應(yīng)用幾何畫板的實(shí)踐，結(jié)合本人的思考，對幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個輔助功能作一點(diǎn)膚淺的交流。一、作圖演示功能。作圖演示功能是幾何畫板最基本、最常用的功能，由于其簡便的操作、清晰的界面、易于開發(fā)的環(huán)境以及和其他軟件良好的圖片兼容性而深得廣大數(shù)理教師的喜歡。幾何畫板的演示作圖功能按作圖過程中涉及的數(shù)學(xué)思維的深淺筆者將其分為繪圖功能和數(shù)學(xué)作圖功能兩類。圖1-1-2圖1-1-11、繪圖功能。筆者所謂的繪圖功能，通俗的講，就是把幾何畫板當(dāng)作畫圖板使用。畫圖過程中基本不需要較多的數(shù)學(xué)知識來支撐，就如同一個即

5、使從來并沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的人用筆在紙上畫圖，只不過現(xiàn)在是利用幾何畫板提供的畫點(diǎn)、畫圓（圓?。?、畫線（直線、射線、線段）工具當(dāng)作筆，電腦屏幕當(dāng)作紙而已。區(qū)別可能就在于紙上的圖要通過掃描才能成為數(shù)字文檔，從這個意義上講，它的功能類似于windows自帶的畫圖板。如圖1-1-1中精美的圖形都由幾何畫板畫得。當(dāng)然，幾何畫板在動態(tài)作圖方面是畫圖板不可比擬的。如立體幾何中研究長（正）方體中點(diǎn)、線、面關(guān)系的時候，可利用幾何畫板畫出一個可以旋轉(zhuǎn)的長（正）方體，幫助學(xué)生從不同角度觀察研究立體圖形，逐步提高學(xué)生的空間想象力。如圖1-1-2。圖1-2-12、數(shù)學(xué)作圖功能。不夸張的講，幾何畫板的數(shù)學(xué)作圖功能才是真正體現(xiàn)了

6、幾何畫板的數(shù)學(xué)價值。這里所謂的數(shù)學(xué)作圖，是指最大程度地運(yùn)用幾何畫板提供的各種工具，借助一定的數(shù)學(xué)知識，通過數(shù)學(xué)化的設(shè)計、構(gòu)造，作出體現(xiàn)某個數(shù)學(xué)原理、或?yàn)槔斫饽硞€數(shù)學(xué)原理服務(wù)的數(shù)學(xué)圖形。如果說純粹畫圖是站在畫家的角度講究畫得像不還是不像的話，那么數(shù)學(xué)作圖則是站在一個數(shù)學(xué)家的角度，更多的是體現(xiàn)作圖過程中數(shù)學(xué)知識的滲透，是為理解、探究某個數(shù)學(xué)概念或原理，運(yùn)用已知的一些數(shù)學(xué)知識有意識地、可預(yù)見地構(gòu)思和設(shè)計作圖過程，最終通過構(gòu)造作圖，達(dá)到幫助理解數(shù)學(xué)概念或原理的目的。從作圖的側(cè)重點(diǎn)來看，純粹作圖主要側(cè)重最后作出的圖形結(jié)果，而數(shù)學(xué)作圖更加側(cè)重作圖中的數(shù)學(xué)設(shè)計過程?？梢哉f，一個沒有較好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，是用不好

7、幾何畫板的。從這個意義上講，在運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)作圖的過程本身也是一個數(shù)學(xué)知識應(yīng)用、探究和學(xué)習(xí)的過程。幾何畫板的數(shù)學(xué)作圖功能幾乎是為數(shù)學(xué)學(xué)科度身定做的，尤其體現(xiàn)在二維作圖方面，例如：案例1：直接作出函數(shù)圖像。在直角坐標(biāo)系環(huán)境下通過輸入形如“y=f(x)或x=f(y)”或在極坐標(biāo)系環(huán)境下輸入形如“r=f()或 =f(r)”格式的函數(shù)解析式，可直接作出函數(shù)圖像，同時，通過控制函數(shù)解析式中參數(shù)的變化，可動態(tài)展示圖像的變化。例如在二次函數(shù)最值問題的教學(xué)中：利用“圖表”菜單中“新建參數(shù)”功能給出參數(shù)、，再利用“新建函數(shù)”功能給出函數(shù)解析式，鼠標(biāo)右擊函數(shù)解析式，利用“繪制函數(shù)”功能，可直接畫出函數(shù)的圖像

8、。進(jìn)一步借助參數(shù)，可畫出函數(shù)在限定區(qū)間上的圖像。如圖1-2-1，圖中函數(shù)的圖像（整個二次函數(shù)圖像上較粗的那段）即為函數(shù)的圖像，（式中的“”主要是為了構(gòu)造定義域，事實(shí)上，類似也可畫出其他定義域上的圖像）。這樣，通過控制參數(shù)、的變化（選中相應(yīng)參數(shù)后可用鍵盤+/-控制或直接利用“參數(shù)動畫”實(shí)現(xiàn)），可直觀演示二次函數(shù)在限定區(qū)間上“區(qū)間定函數(shù)動”和“函數(shù)定區(qū)間動”兩類常見的值域（最值）問題。圖1-2-2案例2：作參數(shù)方程對應(yīng)曲線。通過“顯示”菜單中的“追蹤動點(diǎn)”功能可輕松顯示參數(shù)方程的軌跡。例如極坐標(biāo)系中，可利用等速螺線的參數(shù)方程輕松模擬等速螺線：設(shè)等速螺線參數(shù)方程為：，如圖1-2-2，先新建參數(shù)，利用

9、“度量”菜單中的“計算”功能分別計算和，依次選中計算結(jié)果和，利用“圖表”菜單中的“繪制點(diǎn)”功能畫出點(diǎn)，選中此點(diǎn)，利用“顯示”菜單中的“追蹤點(diǎn)”功能追蹤此點(diǎn)，通過變化參數(shù)（選中參數(shù)后可用鍵盤+/-控制或直接利用“參數(shù)動畫”實(shí)現(xiàn)），即可動態(tài)演示此點(diǎn)的軌跡為等速螺線。R圖1-2-3案例3：利用“軌跡”菜單作軌跡。過“作圖”菜單中的“軌跡”功能，可直接作出類如所求動點(diǎn)隨另一動點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動所形成的軌跡。例如解析幾何中，利用橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義離心角，根據(jù)已知的橢圓長、短軸長、畫出橢圓：如圖1-2-3，給出參數(shù)、，以為圓心，分別以、為半徑畫出大圓和小圓，在大圓上任取一點(diǎn)，作射線交小圓于點(diǎn)，過作軸的

10、平行線交過與軸平行的直線于，由于當(dāng)在大圓上運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡即為以為長軸、以為短軸的橢圓，故依次選中點(diǎn)和點(diǎn)（兩點(diǎn)全部選中），利用“構(gòu)造”菜單中的“軌跡”功能可直接作出點(diǎn)的軌跡以為長軸、以為短軸的橢圓。通過控制參數(shù)、可隨意作出已知長、短軸長的橢圓。二、直觀驗(yàn)證功能。數(shù)學(xué)的抽象性往往是困擾學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大障礙，如何變抽象為形象，也一直是數(shù)學(xué)學(xué)科與信息技術(shù)整合的主要內(nèi)容之一。幾何畫板強(qiáng)大的計算、作圖功能以及個人電腦屏幕的的大尺寸、高分辨率為一些抽象的數(shù)學(xué)問題提供了直觀驗(yàn)證的可能，成為幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)抽象性的有力工具。案例4：2006年浦東新區(qū)高考模擬卷（理）最后一題第（3）題：當(dāng)時，就函數(shù)與的圖

11、像的交點(diǎn)情況提出你的問題，并加以解決（說明：函數(shù)有如下性質(zhì)：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增解題過程中可以利用；將根據(jù)提出和解決問題的不同層次區(qū)別給分）圖2-1圖2-2圖2-3本題的結(jié)論是：當(dāng)時，函數(shù)與的圖像有3個交點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)與的圖像有1個交點(diǎn)（具體解答從略）但在課后，雖然學(xué)生承認(rèn)結(jié)論的成立，但很多學(xué)生還是表現(xiàn)出難以信服的表情。有的同學(xué)雖然借助計算器計算有關(guān)數(shù)據(jù)得到了一定的直觀論證，但始終難以將時函數(shù)與的圖像的3個交點(diǎn)直觀的畫出來，迫切地吵著要我畫出直觀圖。究其原因，主要是手工畫圖誤差較大，即使TI圖形計算器，由于分辨率不高也不能達(dá)到很好的展示效果。為此，筆者借助幾何畫板自制課件：先作出

12、點(diǎn)供參照；作連接原點(diǎn)和單位點(diǎn)的線段，在此線段上任取一點(diǎn)E，計算E點(diǎn)橫坐標(biāo)xE；利用“圖表”菜單“繪制函數(shù)”功能畫出函數(shù) 和的圖像；拖動點(diǎn)E控制兩個函數(shù)的底xE在內(nèi)遞減變化。直觀地演示了當(dāng)時的1個交點(diǎn)（如圖2-1）、到當(dāng)時的一個切點(diǎn)（如圖2-2）、直到時的3個交點(diǎn)（如圖2-3）的整個過程，有效地驗(yàn)證了用數(shù)學(xué)方法解得的結(jié)論，同學(xué)們都露出了恍然大悟的微笑。 三、模擬反饋功能。傳統(tǒng)的靜態(tài)作圖無法模擬數(shù)學(xué)中的動態(tài)變化，很多時候僅憑想象往往會面臨高度的抽象和可想而不可及的尷尬，甚至?xí)霈F(xiàn)由于想象的不嚴(yán)密而導(dǎo)致的錯誤。幾何畫板在動態(tài)中保持幾何關(guān)系相對不變的特點(diǎn)以及能將較簡單的作圖和通過定義、構(gòu)造、運(yùn)動和變換

13、的功能能幫助我們模擬一些數(shù)學(xué)變化，進(jìn)一步研究變化過程中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。圖3-1案例5：如圖3-1，直角三角形，點(diǎn)、點(diǎn)分別在射線、上滑動，求當(dāng)點(diǎn)從原點(diǎn)徑直滑動到點(diǎn)的過程中，點(diǎn)經(jīng)過的路程。圖3-2本題的關(guān)鍵是“路程”兩字。很多同學(xué)先求出點(diǎn)C的軌跡方程，得其軌跡是一條線段：（具體解答過程從略），然后求出該線段的長度等于2，就作為點(diǎn)C經(jīng)過的路程；也有的同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該算出點(diǎn)B分別在起始位置原點(diǎn)O和最終位置點(diǎn)D處對應(yīng)的點(diǎn)C的位置和之間的距離即可，算得答案。實(shí)際上，以上兩個答案都是錯誤的。造成錯誤的主要原因是學(xué)生只關(guān)注了在點(diǎn)B從原點(diǎn)運(yùn)動到的過程中點(diǎn)C所形成的最終軌跡，而忽略了（或者說感受不到）形成這個軌跡的具體過

14、程。事實(shí)上，從點(diǎn)B開始運(yùn)動到結(jié)束，點(diǎn)C經(jīng)歷了一個往返的過程，因此以上兩個答案并非點(diǎn)C經(jīng)過的真正路程。那么，點(diǎn)C到底經(jīng)歷了一個怎樣的往返？其經(jīng)過的路程究竟是多少？此時此刻，靜態(tài)的說明已經(jīng)顯得杯水車薪，如何直觀地模擬出點(diǎn)C運(yùn)動的整個過程就顯得格外重要。模擬的關(guān)鍵是怎樣構(gòu)造一條長度為4且兩端分別在射線、上滑動的線段。利用平面幾何“直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半”作如下構(gòu)造：先作出以原點(diǎn)O為圓心，過點(diǎn)的圓在第一象限的圓?。òɑ〉膬蓚€端點(diǎn)），并在圓弧上任取一點(diǎn)E，過E分別作x軸、y軸的平行線，然后分別作出原點(diǎn)關(guān)于這兩條平行線的對稱點(diǎn)B、A，線段AB的長度總等于。然后將線段AB分別繞點(diǎn)B逆時針

15、旋轉(zhuǎn)30度、繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60度，得交點(diǎn)即直角頂點(diǎn)C。這樣，拖動點(diǎn)E在圓弧上滑動，就可模擬符合題意的斜邊端點(diǎn)在射線、上滑動、且斜邊長為定值4的直角三角形的運(yùn)動（如圖3-2）。選中點(diǎn)C，追蹤點(diǎn)C，拖動E從到（等效于點(diǎn)從原點(diǎn)O滑動到點(diǎn)），就能模擬演示點(diǎn)C的運(yùn)動過程。通過模擬可以發(fā)現(xiàn)，在整個過程中，點(diǎn)C從點(diǎn)出發(fā)（如圖3-3），沿直線向上運(yùn)動到點(diǎn)（如圖3-4），再返回沿直線向下一直運(yùn)動到點(diǎn)（如圖3-5），因此點(diǎn)C經(jīng)過的路程應(yīng)為圖3-4圖3-5圖3-3。四、探究發(fā)現(xiàn)功能。圖4-1市教委制訂的關(guān)于加強(qiáng)課程與信息技術(shù)整合的指導(dǎo)意見提出在理科方面要“應(yīng)用數(shù)字化真實(shí)或虛擬試驗(yàn)互動軟件，充分展示科學(xué)原理的發(fā)生、

16、發(fā)展過程，幫助學(xué)生更好的理解科學(xué)；通過各類可視化、交互式的教學(xué)軟件以及信息技術(shù)在數(shù)據(jù)統(tǒng)計、分析、再現(xiàn)等方面的強(qiáng)大支持，突出量化分析和研究效能，使信息技術(shù)成為學(xué)生探究科學(xué)世界的有力工具”。幾何畫板簡單易學(xué)的操作使學(xué)生能在較短時間較完整地掌握其基本功能，從而為學(xué)生運(yùn)用幾何畫板獨(dú)立探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律提供了可能，使學(xué)生從“聽”數(shù)學(xué)逐漸向“做”數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變，不斷促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中“做”與“想”的有機(jī)統(tǒng)一。案例6：一張矩形紙片，如圖4-1，將矩形紙片的角折起，使點(diǎn)落在線段的A上，求所有折痕EF的中點(diǎn)P的軌跡方程。（此題由0708上海高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)要第11.2節(jié)【例題選講】第1題改編而成）案例研究過程再現(xiàn)：1、

17、師生共同分析，達(dá)成共識。根據(jù)折疊的軸對稱特性，折痕EF即為AA的中垂線與矩形邊界的兩個交點(diǎn)間的連線段，因此所求軌跡方程即為當(dāng)點(diǎn)A 在線段CD上滑動時，AA的中垂線與矩形邊界的兩交點(diǎn)E、F的連線段的中點(diǎn)P的軌跡方程。2、學(xué)生獨(dú)立解答。有學(xué)生解答如下：如圖4-1-2所示建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y)，A(t,4)(0t8)，求得線段AA的中垂線的方程：,分別令x=0、y=0得、，所以P的坐標(biāo)（x,y）滿足：，消去參數(shù)，得普通方程為。圖4-2yx3、學(xué)生質(zhì)疑。很快，有學(xué)生對上述解法提出了異議，認(rèn)為題中的折痕并不一定是AA的中垂線與橫、縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，真正的折痕端點(diǎn)一端可能并不在坐標(biāo)軸上，如圖4-

18、2。4、探究發(fā)現(xiàn)。那么，在整個過程中，折痕如何變化、所求軌跡方程到底又是怎樣的呢？圖4-3圖4-4圖4-5考慮到本題中所涉及的幾何圖形較為簡單，利用幾何畫板很方便就能模擬，因此讓學(xué)生嘗試通過幾何畫板進(jìn)行探究：先建立平面直角坐標(biāo)系，作出、四點(diǎn)，順次選中四點(diǎn)，利用作線段功能作出矩形ABCD。在線段CD上任取一點(diǎn)A，作線段AA的中垂線，拖動點(diǎn)A，讓學(xué)生觀察A在線段DC上滑動時，與矩形邊界的交點(diǎn)E、F所處的位置的變化：拖動A從D到C，發(fā)現(xiàn)E、F一開始在線段AD、BC上（如圖4-3），然后在AD、AB上（如圖4-4），最后在DC、AB上（如圖4-5）。顯然，學(xué)生的質(zhì)疑是合理的。圖4-6圖4-7圖4-8拖動點(diǎn)A同時，通過幾何畫板“顯示”菜單的“追蹤”功能追蹤P點(diǎn)（注意：根據(jù)交點(diǎn)的三種不同情況分別追蹤），發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個由兩條線段和一條曲線段