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1、.2.3雙曲線2.3.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目的:1.掌握雙曲線的定義,會(huì)用雙曲線的定義解決實(shí)際問(wèn)題重點(diǎn)2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程重點(diǎn)3.理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程,并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題難點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1雙曲線的定義2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程1a0,b01a0,b0圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)c,0,c,00,c,0,ca,b,c的關(guān)系式c2a2b2考慮1:雙曲線中a,b,c的關(guān)系如何?與橢圓中a,b,c的關(guān)系有何不同?提示雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b,確定了雙曲線的形狀和大小,是雙曲線的定形條件,這里b2c2a2,即c2a2b
2、2,其中c>a,c>b,a與b的大小關(guān)系不確定;而在橢圓中b2a2c2,即a2b2c2,其中a>b>0,a>c,c與b的大小關(guān)系不確定考慮2:如何確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型?提示焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型,假設(shè)x2的系數(shù)為正,那么焦點(diǎn)在x軸上,假設(shè)y2的系數(shù)為正,那么焦點(diǎn)在y軸上根底自測(cè)1考慮辨析1平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的間隔 的差等于常數(shù)小于兩定點(diǎn)間間隔 的點(diǎn)的軌跡是雙曲線2在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程1中,a>0,b>0且ab.3雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b的大小關(guān)系是a>b.提示1×差的絕對(duì)值是常數(shù),且02a|F1
3、F2|才是雙曲線2×a與b大小關(guān)系不定,a和b相等時(shí)叫等軸雙曲線3×2雙曲線1的焦距為A3 B4C3 D4D解a210,b22,c2a2b212,c2,2c4,應(yīng)選D.3雙曲線的a5,c7,那么該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):33242148】1或1b2c2a2492524,雙曲線方程為1或1.合 作 探 究·攻 重 難雙曲線定義的應(yīng)用探究問(wèn)題1如何理解雙曲線定義中的“大于零且小于|F1F2|?提示:假設(shè)將“小于|F1F2|改為“等于|F1F2|,其余條件不變,那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1,F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線包括端點(diǎn);假設(shè)將“小于|F1F2|改為“大于|F1F2|,
4、其余條件不變,那么動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在;假設(shè)常數(shù)為零,其余條件不變,那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線2假設(shè)|MF1|MF2|F1F2|,那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么?提示:1定義中間隔 的差要加絕對(duì)值,否那么只為雙曲線的一支設(shè)F1,F(xiàn)2表示雙曲線的左、右焦點(diǎn),假設(shè)|MF1|MF2|2a,那么點(diǎn)M在右支上;假設(shè)|MF2|MF1|2a,那么點(diǎn)M在左支上2雙曲線定義的雙向運(yùn)用:假設(shè)|MF1|MF2|2a0<2a<|F1F2|,那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線;假設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線上,那么|MF1|MF2|2a.F1,F(xiàn)2是雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn),假設(shè)P是雙曲線左支上的點(diǎn),且|PF1|·|PF2|32
5、.試求F1PF2的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):33242149】思路探究根據(jù)雙曲線的定義及余弦定理求出F1PF2即可解由1得a3,b4,c5.由雙曲線定義及P是雙曲線左支上的點(diǎn)得|PF1|PF2|6,|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|36,又|PF1|·|PF2|32,|PF1|2|PF2|2100,由余弦定理得cosF1PF20,F(xiàn)1PF290°,S|PF1|·|PF2|16.母題探究:1.變換條件假設(shè)本例中雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不變,且其上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的間隔 為10,求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的間隔 解由1得a3,b4,c5,由雙曲線定義得|PF1|PF2|
6、6,即|PF1|PF2|±6,|PF2|10±6,點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的間隔 為4或16.2變換條件假設(shè)把本例條件“|PF1|·|PF2|32換成“|PF1|PF2|25,其他條件不變,試求F1PF2的面積解由1得a3,b4,c5,由|PF1|PF2|25,可設(shè)|PF1|2k,|PF2|5k.由|PF2|PF1|6可得k2,|PF1|4,|PF2|10,由余弦定理得cosF1PF2,sinF1PF2,S|PF1|·|PF2|·sinF1PF2×4×10×8.規(guī)律方法雙曲線上的點(diǎn)P與其兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2連接而成的三角形PF
7、1F2稱為焦點(diǎn)三角形.令|PF1|r1,|PF2|r2,F(xiàn)1PF2,因|F1F2|2c,所以有1定義:|r1r2|2a.2余弦公式:4c2rr2r1r2cos .3面積公式:Sr1r2sin .一般地,在PF1F2中,通過(guò)以上三個(gè)等式,所求問(wèn)題就會(huì)順利解決.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求合適以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1a4,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A;2經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,0,6,3思路探究先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組求解解1當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1b0,把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得b2×0,不符合題意;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1b0,把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得b29,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1
8、.2設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21mn<0,雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,0,6,3,解得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.規(guī)律方法1求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)2待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的四個(gè)步驟定位置:根據(jù)條件確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,還是兩種都有可能設(shè)方程:根據(jù)焦點(diǎn)位置,設(shè)其方程為1或1a0,b0,焦點(diǎn)位置不定時(shí),亦可設(shè)為mx2ny21mn0尋關(guān)系:根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,cm,n的方程組得方程:解方程組,將a,bm,n代入所設(shè)方程即可得求標(biāo)準(zhǔn)方程提醒:求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),一定要先區(qū)別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上,選取適宜的形式跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1c,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A5,2,焦點(diǎn)在x軸上;2與橢圓1共焦點(diǎn)
9、且過(guò)點(diǎn)3,解1設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為1a0,b0,c,b2c2a26a2.由題意知1,1,解得a25或a230舍b21.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.2橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為2,0,2,0依題意,那么所求雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,可以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1a0,b0,那么a2b220.又雙曲線過(guò)點(diǎn)3,1.a2202,b22.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題如圖228,在ABC中,|AB|4,且三內(nèi)角A,B,C滿足2sin Asin C2sin B,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)C的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):33242150】圖228解以AB邊所在的直線為x軸
10、,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系如下圖,那么A2,0,B2,0. 由正弦定理,得sin A,sin B,sin CR為ABC的外接圓半徑2sin Asin C2sin B,2ac2b,即ba,從而有|CA|CB|AB|2|AB|.由雙曲線的定義知,點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支除去與x軸的交點(diǎn)a,c2,b2c2a26,即所求軌跡方程為1x規(guī)律方法求解與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題,常見(jiàn)的方法有兩種:1列出等量關(guān)系,化簡(jiǎn)得到方程;2尋找?guī)缀侮P(guān)系,雙曲線的定義,得出對(duì)應(yīng)的方程.求解雙曲線的軌跡問(wèn)題時(shí)要特別注意:1雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸;2檢驗(yàn)所求的軌跡對(duì)應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支.跟蹤訓(xùn)練2如
11、圖229所示,定圓F1:x52y21,定圓F2:x52y242,動(dòng)圓M與定圓F1,F(xiàn)2都外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程圖229解圓F1:x52y21,圓心F15,0,半徑r11;圓F2:x52y242,圓心F25,0,半徑r24.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R,那么有|MF1|R1,|MF2|R4,|MF2|MF1|310|F1F2|.點(diǎn)M的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,且a,c5,于是b2c2a2.動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為1.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1假設(shè)點(diǎn)M在雙曲線1上,雙曲線的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,且|MF1|3|MF2|,那么|MF2|
12、等于【導(dǎo)學(xué)號(hào):33242151】A2 B4C8 D12B雙曲線中a216,a4,2a8,由雙曲線定義知|MF1|MF2|8,又|MF1|3|MF2|,所以3|MF2|MF2|8,解得|MF2|4.2“ab<0是“方程ax2by2c表示雙曲線的A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件A當(dāng)方程表示雙曲線時(shí),一定有ab<0,反之,當(dāng)ab<0時(shí),假設(shè)c0,那么方程不表示雙曲線3假設(shè)方程3表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,那么m的取值范圍是 【導(dǎo)學(xué)號(hào):33242152】A1,2B2, C,2D2,2C由題意,方程可化為3,解得:m2.4動(dòng)圓M與圓C1:x32y29外切且與圓C2:x32y21內(nèi)切,那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是_1x2設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r.因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C1外切且與圓C2內(nèi)切, 所以|MC1|r3,|MC2|r1.相減得|MC1|MC2|4.又因?yàn)镃13,0,C23,0,并且|C1C2|64,所以點(diǎn)M的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支
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