數(shù)學(xué)經(jīng)典易錯題會診與高考試題預(yù)測15

1、經(jīng)典易錯題會診與2012屆高考試題預(yù)測（十五）考點15導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念與運算導(dǎo)數(shù)幾何意義的運用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值勤最值經(jīng)典易錯題會診命題角度 1導(dǎo)數(shù)的概念與運算1（典型例題）設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,則f2005(x) ( )A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx考場錯解 選A專家把脈 由f1(x)=f0(x)=(sinx)=cosx,f2(x)=(cosx)=-sinx,f3(x)=(-sinx)=-cosx,f4(x)=(-cosx

2、)=sinx,f2005(x)=f2004(x)=f0(x0=sinx前面解答思路是正確的，但在歸納時發(fā)生了錯誤。因f4(x)=f0(x)=f8(x0=f2004(x),所以f2005(x)=f1(x)=cosx.對癥下藥 選C2（典型例題）已知函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3，f（x）的解析式可能為 （ ）Af（x）=(x-1)3+32(x-1) Bf(x)=2x+1 Cf()=2(x-1)2 Df(x)-x+3考場錯解 選B f(x)=2x+1,f(x)=(2x+1)=2x+1|x=1=3.專家把脈 上面解答錯誤原因是導(dǎo)數(shù)公式不熟悉，認(rèn)為（2x+1）=2x+1.正確的是（2x+1）=2,所

3、以x=1時的導(dǎo)數(shù)是2，不是3。對癥下藥 選A f(x)=(x-1)3+3(x-1)f(x)=3(x-1)2+3,當(dāng) x=1時,f(1)=33.(典型例題) 已知f(3)=2f(3)=-2，則的值為 （ ）A-4 B0 C8 D不存在考場錯解 選D x3,x-30 不存在。專家把脈 限不存在是錯誤的，事實上，求型的極限要通過將式子變形的可求的。對診下藥 選C = 4（05，全國卷）已知函數(shù)f(x)=e-x(cosx+sinx),將滿足f(x)=0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列；（2）記Sn是數(shù)列xnf(xn)的前項和。求考場錯解 f(x)=e-x(cosx+sinx)+(e-x)(cosx+sin

4、x)=e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e-xcosx令f(x)=0,x=n+（n=1，2，3，）從而xn=n+。f(xn)=e-( n+)(-1)n·=-e.數(shù)列f(xn)是公比為q=-e-的等比數(shù)列。專家把脈 上面解答求導(dǎo)過程中出現(xiàn)了錯誤，即（e-x）=e-x是錯誤的，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知（e-x）=e-x(-x)=-e-x才是正確的。對診下藥（1）證明：f(x)=(e-x)(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx.令f(x)=0得-2e-xsinx=0，解

5、出x=n,(n為整數(shù)，從而xn=n(n=1,2,3,)，f(xn)=(-1)ne-n,所以數(shù)列|f(xn)|是公比q=-e-的等比數(shù)列，且首項f(x1)=-e-(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+xnf(xn)=nq(1+2q+nqn-1)aSn=q(q+2q2+nqn)=q(-nqn)從而Sn=(-nqn)|q|=e-<1 qn=0,專家會診1理解導(dǎo)數(shù)的概念時應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)定義的另一種形式：設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則 的運用。2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是搞清復(fù)合關(guān)系，求導(dǎo)應(yīng)從外層到內(nèi)層進(jìn)行，注意不要遺漏3求導(dǎo)數(shù)時，先化簡再求導(dǎo)是運算的基本方法，一般地，分式函數(shù)求導(dǎo)，先看是否化為整

6、式函數(shù)或較簡單的分式函數(shù)；對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)先化為和或差形式；多項式的積的求導(dǎo)，先展開再求導(dǎo)等等。考場思維訓(xùn)練1 函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3時取得極值，則a= ( )A.2 B.3 C.4 D.5答案： D 解析：f(x)=3x2+2ax+3.令f(x)=0.即3x2+2ax+3=0有一根x=-3, 3(-3)2-6a+3=0,得a=5.2 函數(shù)f(x)=x3-8x,則函數(shù)f(x)在點x=2處的變化率是 （ ）A2 B-2 C4 D-4答案： C 解析：f(x)=3x2-8. x=2時的變化率是f(2)=3×22-8=4.3 滿足f(x)=f(x)的函數(shù)是

7、 （ ）Af(x)=1-x Bf(x)=xCf(x)=0 Df(x)=1答案： C 解析：f(x)=0,0=0, f(x)=f(x).4 已知f(x)=ln|2x|, 則f(x)= ( )A. B. C. D. 答案： A 解析：當(dāng)x>0時，f(x)=ln(2x), f(x)=cf(x)= .5已知函數(shù)f(x)=ln(x-2)-(1)求導(dǎo)數(shù)f(x) 答案： f(x)=(2)解不等式:f(x)>0答案：令f(x)=即（i）當(dāng)a-1時，x2+2x-a>恒成立，x>2.(ii)當(dāng)a>-1時，的解集為x|x>當(dāng)-1<a8時，當(dāng)a>8時，>2, x&

8、gt;.綜合得，當(dāng)a8時，f(x)>0的解集為（2，+）.當(dāng)a>8時，f(x)>0的解集為（，+）.命題角度 2導(dǎo)數(shù)幾何意義的運用1.(典型例題)曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_.考場錯解 填2 由曲線y=x3在點（1，1）的切線斜率為1，切線方程為y-1=x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S=×2×2=2。專家把脈 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某點處的切線斜率等于函數(shù)在這點處的導(dǎo)數(shù)，上面的解答顯然是不知道這點，無故得出切線的斜率為1顯然是錯誤的。對癥下藥 填。f(x)=3x2 當(dāng)x

9、=1時f(1)=3.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點（1，1）處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1) 得y=3x-2.聯(lián)立得交點（2，4）。又y=3x-2與x軸交于（，0）。三條直線所圍成的面積為S=×4×（2-）=。2（典型例題）設(shè)t0,點P（t,0）是函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數(shù)的圖像在P點處有相同的切線。（1）用t表示a、b、c；（2）若函數(shù)y=f(x)-g(x)在（-1，3）上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。考場錯解 （1）函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).f(t)=g(t)t3+

10、at=bt2+c. 又兩函數(shù)的圖像在點P處有相同的切線，f(t)=g(t) 3t3+a=2bt. 由得b=t,代入得a=-t2.c=-t3.專家把脈 上面解答中得b=t理由不充足，事實上只由、兩式是不可用t表示a、b、c，其實錯解在使用兩函數(shù)有公共點P，只是利用f(t)=g(t)是不準(zhǔn)確的，準(zhǔn)確的結(jié)論應(yīng)是f(t)=0，即t3+at=0，因為t0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因為f(x)、g(x)在（t,0）處有相同的切線，所以f(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, a=-t2, b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=

11、-t3(2)解法1 y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).當(dāng)y=(3x+t)(x-t)<0時,函數(shù)y=f(d)-g(x)單調(diào)遞減。 由y<0,若t<0,則t<x<-,若t>0,則-<x<t.則題意，函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減，則（-1，3）（-,t）或（-1，3）（t，-）所以t3或-3。即t-9或t3。又當(dāng)-9<t<3時，函數(shù)y=f(x0-g(x)在（-1，3）上單調(diào)遞增，所以t的取值范圍（-，-9）（3，+）解法2 y=f(x)-g(x)=x3-

12、t2x-tx2+t3,y=3x2-3tx-t2=(3x+t)(x-t).函數(shù)y=f(x)-g(x)在（-1，3）上單調(diào)遞減，且y=(3x+t)(x-t)0在(-1,3)上恒成立，解得 t-9或t3.3.(典型例題)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處有極值。（1）討論f(1)和f(-1)是函數(shù)的極大值還是極小值。（2）過點A（0，16）作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程?？紙鲥e解 （1）f(x)=3ax2+2bx-3.依題意f(1)=f(-1)=0.即 解得：a=1,b=0.f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)令f(x)=0.得x=&#

13、177;1.若x(-,-1) (1,+ )時，f(x)>0故f(x)在(- ,-1)和(1,+ )上都是增函數(shù)。若x(-1,1),則f(x)<0.故f(x)在（-1，1）上是減函數(shù)，所以f(-1)=2是極大值；f(1)=-2是極小值。（2） f(x)=3x2-3，過點A（0，16），因此過點A的切線斜率為k=-3.所求的切線方程是y=-3專家把脈上面解答第（2）問錯了，錯誤原因是把A（0，16）當(dāng)成了切點，其實A（0，16），不可能成為切點。因此過點A不在曲線，因此根求方程必須先求切點坐標(biāo)。對癥下藥 （1）f(x)=3ax2+2bx-3，依題意f(1)=f(-1)=0即 解得 a=

14、1,b=0f(x)=x3+3x,f(x)=3x2-3=0.解得x=±1.又x(-,-1) (1,+)f(x)>0f(x)在(-,-1)與(1，+)上是增函數(shù)。若x-1,1時，f(x) 0,故f9x)在-1，1上是減函數(shù)。f(-1)=2是極大值。f(1)=-2是極小值。（2）解：曲線方程為y=f(x)=x3-3x,點A（0，16）不在曲線上。設(shè)切點M（x0,y0）,則點M在曲線上，y0=x30-3x0.因f(x0)=3x20-3.故切線的方程為y-y0=(3x20-3)(x-x0). 點A（0，16）在曲線上，有16-（x20-0）=3(x20-1)(0-x0),化簡得x30=-

15、8，得x0=-2.專家會診設(shè)函數(shù)y=f(x),在點(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)為f(x0)，則過此點的切線的斜率為f(x0),在此點處的切線方程為y-y0=f(x0)(x-x0).利用導(dǎo)數(shù)的這個幾何意義可將解析幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解。考場思維訓(xùn)練1 曲線y=2x-x3在點（1，1）處的切線方程為_.答案： x+y-2=0 解析: y=2-3x2.y|x=1=2-3=-1, 切線方程為y-1=-(x-1).即x+y-2=0.2 曲線y=x3在點（a,a3）(a0)處的切線與x軸，直線x=a所轉(zhuǎn)成的三角形的面積為，則a=_.答案：±1 解析：曲線在（a,a3）處的切線斜率為3a2.切線方

16、程為y-a3=3a2(x-a).且它與x軸.x=a的交點為（）、（a,a3）,S=a4=1,解得a=±1.3 已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)= ax2+bx(a0)(1)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍。答案： b=2時，h(x)=lnx-ax2-2x, 則h(x)=-ax-2=-函數(shù) h(x)存在單調(diào)逆減區(qū)間，h(x)<0有解.又x>0,則ax2+2x-1>0有x>0的理.當(dāng)a>0時，ax2+2x-1>0總有>0的解.當(dāng)a<0,要ax2+2x-1>0總有>0的解.則=4

17、+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根，此時-1<a<0.綜上所述,a的取值范圍是（-1，0）（0，+）（2）設(shè)函數(shù)f(x)的圖像C1與函數(shù)g(x)圖像C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行。答案：證法1.設(shè)點P、Q的坐標(biāo)分別是（x1 、y1），（x2,y2）,0<x1<x2 .則點M、N的橫坐標(biāo)為x=C1在點M處的切線斜率為k1=|=,C2在點M處的切線斜率為k2=ax+b|假設(shè)C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則k1=k2即所以ln則lnt=令r（t）=l

18、nt-則r(t)=- 因為t>1時，r(t)>0,所以r(t)在1，+上單調(diào)遞增，故r(t)>r(1)=0.則lnt>.這與矛盾,假設(shè)不成立.故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行,證法1得(x2+x1)(lnx2-lnx1)=2(x2-x1).因為x1>0,所以()ln().令t=,得(t+1)lnt=2(t-1),t>1 令r(t)=(t+1)lnt-2(t-1),t>1,則r(t)=lnt+-1.因為(lnt-)=-,所以t>1時,(lnt+)>0.故lnt+在1,+ 上單調(diào)遞增.從而lnt+-1>0,即r1(t)>

19、;0.于是r(t)在1，+上單調(diào)遞增.故r(t)>r(1)=0.即（t+1）lnt>2(t-1). 與矛盾，假設(shè)不成立。故C1在點M處的切與C2在點N處的線不平行.4 已知函數(shù)f(x)=|1-|,(x>0)(1)證明：0<a<b,且f(a)=f(b)時，ab>1;答案：由f(a)=f(b)得|1-|=|1-|.若1-與1-同號，可得1-=1-這與0<a<b矛盾.故1-與1-必異號，即-1=1-=2(2)點P（x0,y0）(0<x0<1)求曲線y=f(x)在點P處的線與x軸、y軸的正方向所圍成的三角形面積表達(dá)式（用x0表示）。答案：0&

20、lt;x<1時，y=f(x)=| 1-|=-1.f(x0)=曲線y=f(x)在點P（x0,y0）處的切線方程為：y-y0=-(x-x0)即y=-切線與x軸、y軸、正向的交點為(x0(2-a0),0)和（0，）故所求三角形面積表達(dá)式為A（x0）=命題角度 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1（典型例題）已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若f(x)在區(qū)間-2，2上最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。考場錯解 （1）f(x)=-3x2+6x+9,令f(x)<0,解得x<-1或x>3,函數(shù)f(x)的音調(diào)遞減區(qū)間為（-，-1）（3，+）（2）令f(x)

21、=0,得x=-1或x=3當(dāng)-2<x<-1時,f(x)<0;當(dāng)-1<x<3時，f(x)>0;當(dāng)x>3時，f(x)<0.x=-1,是f(x)的極不值點，x=3是極大值點。f(3)=-27+27+27+a=20,a=-7.f(x)的最小值為f(-1)=-1+3-9+a=-14.專家把脈 在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值，應(yīng)把極值點的函數(shù)值與兩端點的函數(shù)值進(jìn)行比較大小才能產(chǎn)生最大（小）值點，而上面解答題直接用極大（小）值替代最大（?。┲担@顯然是錯誤的。對癥下藥 （1）f(x)=-3x2+6x+9,令f(x)<0,解得x<-1或x>3.

22、(2)因為f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(x)在-1，2因為在（-1，3）上f(x)>0,所以f(x)在-1，2上單調(diào)遞增，又由于f(x)在-2，-1上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間-2，2上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f-1=1+3-9-2=-7即函數(shù)f(x)在區(qū)間-2，2上的最小值為-7。2（典型例題）已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。考場錯解 f(x)=3ax2+6x-1,因為f(x)在R上是減函

23、數(shù)，所以f(x)=3ax2+6x-1<0對任何xR恒成立。 解得a<-3.專家把脈 當(dāng)f(x)>0時，f(x)是減函數(shù)，但反之并不盡然，如f(x)=-x3是減函數(shù)，f(x)=3x2并不恒小于0，（x=0時f(x)=0）.因此本題應(yīng)該有f(x)在R上恒小于或等于0。對癥下藥 函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：f(x)=3x2+6x-1.當(dāng)f(x)=3ax2+6x-1<0對任何xR恒成立時，f(x)在R上是減函數(shù)。對任何xR,3ax2+6x-1<0恒成立，a<0且=36+12a<0a<-3.所以當(dāng)a<-3時，由f(x)<0對任何xR恒成立時，f(x)在

24、R上是減函數(shù)。當(dāng)a=-3時,f(x)=-3x3+3x2-x+1=-3(x-)3+.由函數(shù)y=x3在R上的單調(diào)性知，當(dāng)a=-3時，f(x)在R上是減函數(shù)。當(dāng)a>-3時，f(x)=3ax2+6x-1>0在R上至少可解得一個區(qū)間，所以當(dāng)a>-3時，f(x)是在R上的減函數(shù)。綜上，所求a的取值范圍是（-，-3）。3（典型例題）已知aR,討論函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a+1)的極值點的個數(shù)?？紙鲥e解 f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1).令f(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0,(*)=(a+2)2-4(2a+1

25、)=a2-4a.當(dāng)a2-4a>0,即a>4或a<0時，方程（*）有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，因此函數(shù)f(x)有兩個極值點。當(dāng)a2-4a=,即a=或a=0時，方程（*）有兩個相等實數(shù)根x1=x2。因此函數(shù)f(x)有一個極值點。當(dāng)a2-4a<0,即0<a<4時，方程（*）沒有實根，因經(jīng)函數(shù)f(x)沒有極值點。專家把脈 以上解法看似合理，但結(jié)果有誤，原因就在于將駐點等同于極值點，方程f(x)=0的實根個數(shù)并不等價于f(x)的極值點的個數(shù)，要使駐點成為極值點，必須驗證在此點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號，即函數(shù)在此點兩側(cè)的單調(diào)性相反，如果一味地把駐點等同于極值點，往往容易出錯。

26、對癥下藥f(x)=ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1)令f(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)當(dāng)=（a+2）2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0即a<0或a>4時,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個不同的實根x1、x2,不妨設(shè)x1<x2.于是f(x)=ex(x-x1)(x-x2),從而有下表X(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+ )F(x)+0-0+F(x)f(x1)有極大值f（x2）有極小值即此時f(x)有兩個極值點。（2）當(dāng)=0，即a=0或a=4時，方程x2+(a+2)

27、x+(2a+1)=0有兩個相同的實根x1=x2于是f(x)=ex(x1-x1)2.故當(dāng)x<x1時，f(x)>0;當(dāng)x>x1時，f(x)>0因此f(x)無極值。（3）當(dāng)<0，即0<a<4時,x2+(a+2)x+(2a+1)>0 ,f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)>0,故f(x)為增函數(shù)，此時f(x)無極值點，因此，當(dāng)a>4或a<0時，f(x)有兩個極值點，當(dāng)0a4時，f(x)無極值點。4（典型例題）設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)。（1）當(dāng)m為何值時，f(x)0;(2)定理：若g(x)在a、b上連續(xù)

28、，且g(a)與g(b)異號，則至少存在一點x0(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)m>1時，方程f(x)=0，在e-m-m,e2m-m內(nèi)有兩個實根。考場錯解 令f(x)0,xln(x+m).mex-x m取小于或等于ex-x的整數(shù)。專家把脈 上面解答對題意理解錯誤，原題“當(dāng)m為何值時，f(x)0恒成立”，并不是對x的一定范圍成立。因此，mex-x這個結(jié)果顯然是錯誤的。對癥下藥 （1）函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+ )連續(xù)，且f(x)=1-,令f(x)=0,得x=1-m.當(dāng)-m<x<1-m時，f(x)<0,f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>1

29、-m時，f(x)>0,f(x)為增函數(shù)。根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且對x(-m,+ )都有f(x) f(1-m)=1-m，故當(dāng)1-m=f()0,即m1時，f(x)0.即m1且mZ時，f(x)0.(2)證明：由（1）可知，當(dāng)整數(shù)m>1時，f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又f(x)為連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)m>1時，f(e-m-m)與f(1-m)異號，由所給定理知，存在唯一的x1(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而當(dāng)m>1時，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m

30、-3m>1+2m+-3m>0.(m>12m-1>1).類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時，f(x)=x-ln(x+m)在1-m,e2m-m上為連續(xù)增函數(shù)，且f(1-m)與f(e2m-m)異號，由所給定理知，存在唯一的x+（1-m,e2m-m）使f(x2)=0.故當(dāng)整數(shù)m>1時，方程f(x)=0在e-m-m,e2m-m內(nèi)有兩個實根。5（典型例題）用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成（如圖，）問該容器高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？考場錯解 設(shè)容器的高為x,容器的容積為

31、V，則V=（90-2x）（48-2x）·x=4x3-276x2+4320xV=12x2-552x+4320=0 得x1=10,x2=36又x<10時，V<0,10<x<36,V>0,x>36時,V<0當(dāng)x=36時，V有極大值V（36）<0故V沒有最大值。專家把脈 上面解答有兩處錯誤：一是沒有注明原函數(shù)定義域；二是驗算f(x)的符號時，計算錯誤，x<10,V>0;10<x<36,V<0;x>36,V>0.對癥下藥 設(shè)容器的高為x，容器的容積為V。則V=（90-2x）（48-2x）·x =

32、4x3-276x2+4320x (0<x<24)V=12x2-552x+4320由V=12x2-552x+4320=0得x1=10,x2=36x<10時,V>0,10<x<36時，V<0,x>36時V>0.所以，當(dāng)x=10時V有最大值V（10）=1960cm3又V(0)=0,V(24)=0所以當(dāng)x=10時,V有最大值V（10）=1960。所以該窗口的高為10cm，容器的容積最大，最大容積是1960cm3.專家會診1證函數(shù)f(x)在（a,b）上單調(diào)，可以用函數(shù)的單調(diào)性定義，也可用導(dǎo)數(shù)來證明，前者較繁，后者較易，要注意若f(x)在（a、b）內(nèi)個

33、別點上滿足f(x)=0(或不存在但連續(xù))其余點滿足f(x)>0(或f(x)<0)函數(shù)f(x)仍然在（a、b）內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減），即導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是增、減區(qū)間的分界點。2函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比較，函數(shù)在區(qū)間上的極大值（或極小值）可能有若干個，而且有時極小值大于它的極大值，另外，f(x)=0是可導(dǎo)數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對于連續(xù)函數(shù)（不一定處處可導(dǎo)）時可以是不必要條件。3函數(shù)的最大值、最小值，表示函數(shù)f(x)在整個區(qū)間的情況，即是在整體區(qū)間上對函數(shù)值的比較，連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a、b上必有一個最大值和一最小值，最多各有一個，但f(x)在（a、b

34、）上就不一定有最大值（或最小值）。4實際應(yīng)用問題利用導(dǎo)數(shù)求f(x)在（a、b）的最大值時,f(x)=0在（a,b）的解只有一個，由題意最值確實存在，就是f(x)=0的解是最值點?？紙鏊季S訓(xùn)練1 已知mR,設(shè)P：x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個實根，不等式|m2-5m-3|x1-x2|對任意實數(shù)a-1，1恒成立。Q：函數(shù)f(x)=x3+(m+)x+6在（-,+ ）上有極值。求使P正確且Q正確的m的取值范圍。答案：解：|x1-x2|=|x1-x2|3由題意，不等式|m2-5m-3|3的解集。由此不等式得m2-5m-3-3 或 m2-5m-33 不等式的解為0m5.不等式的解為m-1或m6.

35、因此，當(dāng)m-1或0m5或m6時，P是正確的。對函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+)x+6求導(dǎo)f(x)=3x2+2mx+m+.令f(x)=0，即3x2+2mx+m+=0。此一無二次方程的判別式=4m2-12(m+)=4m2-12m-16若=0，則f'(x)=0有兩個相等的實根x0，且f(x)的符號如下：X(-,x0)X0(x0+  )F(x)+0+因此f(x0)不是函數(shù)f(x)的極值若>0，則f'(x)=0有兩個不相等的實x1和x2 (x1<x2)，且f'(x)的符號如下：X(-,x1 )X1X1X2X2(X2 -)F(x)+0-0+因此，

36、函數(shù)f'(x)在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)A>0時，函數(shù)f(x)在(-，+)上有極值由A=4m2-12m-16>0得 m<-1或m>4，因此，當(dāng)m<-1或m>4時，Q是正確的綜上，使P正確且Q正確時，實數(shù)m的取值范圍為 (-，-1)(4，5)6，+2 已知函數(shù)f(x)=0,1(1)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間和值域；答案：對函數(shù)F(x)求導(dǎo)，得f'(x)=令f'(x)=0解得x=或x=當(dāng)x變化時f'(x)、f(x)的變化情況如下表X0(0, )(,1)1F(X)-0+-4-3所以，當(dāng)x(0，)時f

37、(x)是減函數(shù)； 當(dāng)x(，1)時f(x)是增函數(shù)當(dāng)x0，1時f(x)的值域為-4，3（2）設(shè)a1,函數(shù)g(x)=x3-3a2x-2a,x0,1若對于任意x10，1，總存在x00,1,使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范圍.答案：對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得g'(x)=3(x2-a2)因為a1時，當(dāng)x(0，1)時，g'(x)<3(1-a2)<0因此當(dāng)x(0，1)時，g(x)為減函數(shù)，從而求x0，1時有g(shù)(x)1-2a-3a2,-2a任給x10，1,f(x1)-4，-3存在x00，1使得g(x0)=f(x0)，則1-2a-3a2，2a-4， -3即 3 已知函數(shù)f(x

38、)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1) 求函數(shù)f(x)的最大值；答案：函數(shù)的定義域為(-1，+),f(x)=-1，令f'(x)=0，解得x=0，當(dāng)-1<x<0時f'(x)> 0，當(dāng)x>0時f'(x)<0，f(0)=0，故當(dāng)且僅當(dāng)a=0時,f(x)取得最大值，最大值為0(2) 設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)答案： g(x)=xlnx，g'(x)=lnx+1，設(shè)F(x)=g(a)+g(x)-2g()則F'(x)=g'(x)-2g()=lnx-ln，當(dāng)0&

39、lt;x<O，F(xiàn)'(x)<0因此F(x)在(0，a)上單調(diào)遞減 當(dāng)x>a時，F(xiàn)'(x)>0，因此F(x)在(a，+)上為增函數(shù)從而x=a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a) 因為F(a)=0，b>a所以F(b)>0即0<g(a)+g(b)-2g() 設(shè)G(x)=F(x)-(x-a)ln2，則G'(x)=lnx-lnx-ln2=lnx-ln(a+x) 當(dāng)x>0，G(x)<0，因此C(x)在(0，+)上為減函數(shù) 因為G(a)=0，b>a，所以G(b)<0 即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln24 設(shè)函

40、數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中aR, (1)若f(x)在x=3處取得極值，求實數(shù)a的值。答案： f'(x)=6x26(a+1)x+60=6(x-aO(x-1)因f(x)在x=3取得極值，所以f'(3)=6(3-a)(3-1)=0，解得a=3經(jīng)檢驗當(dāng)a=3時x=3為f)(x)的極值點（2）若f(x)在（-，0）上為增函數(shù)，求a的取值范圍。答案：令f'(x)=6(x-a)(x-1)=0得x1=a,x2=1當(dāng)a<1時，若x(-，-a)(1，+)，則f'(x)>0，所以f(x)在(-，a)和(1，+)上為增函數(shù)故當(dāng)0o<1時f(

41、x)在(-，0)上為增函數(shù)5 某企業(yè)有一條價值a萬元的流水生產(chǎn)線，要提高該流水生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，就要對充水生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)改造，假設(shè)增加值y萬元與技改把風(fēng)入x萬元之間的關(guān)系滿足y與（a-x）x2成正比例；當(dāng)x=時，y=;0t,其中t為常數(shù)且t0,2.(1)設(shè)y=f(x),求出f(x)的表達(dá)式，并求其定義域；答案： f(x)=8a2x212x3=(0x，t2)（2）求出增加值y的最大值，并求出此時的技改投入x值。答案： f'(x)=16a2x-36x2，令f(x)=0，得x=a，當(dāng)t<1時f'(x)=36(x2-a2)<0(>a) f(x)在0，

42、上是減數(shù)， 當(dāng)x=t時，ymas=f()=,當(dāng)1t2時f'(x)=-36(x2-a2)<a 0<x< a 時f'(x)>0；<x時f'(x)<0，x=a時，ymax=f()=a3.探究開放題預(yù)測預(yù)測角度 1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義1已知拋物線y=-x2+2,過其上一點P引拋物線的切線l，使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的面積最小，求l的方程。解題思路 設(shè)法用某個變量（如P點橫坐標(biāo)）去表示三角形的面積S，在利用函數(shù)關(guān)系式求最值就可以解決問題。解答 設(shè)P點坐標(biāo)為（x0,-x20,+2）.y=-2x，過P點的切線方程為：y-(-x20+2)=-2x0

43、(x-x0) 令x=0得y=x20-x20+2=x20+2>0y=0得x=x0+S=(x20+2) (x0>0)=S=(3x20+4-) 令S=0得x0= 又0<x0<時，S<0; <x時S>0.當(dāng)x0=時，S最小。把x0=代入得l的方程為：2x+3y-8=0.2由原點O向三次曲線y=x3-3ax2（a0）引切線，切于點P1（x1,y1）(O,P1兩點不重合)，再由P1引此曲線的切線，切于點P2（x2,y2）(P1，P2不重合)。如此繼續(xù)下去，得到點列Pn(xn,yn)(1) 求x1;(2) 求xn與xn+1滿足的關(guān)系式；(3) 若a>0，試判斷

44、xn與a的大小關(guān)系并說明理由解題思路 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，再通過切線方程找到xn、xn+1的遞推關(guān)系，通過遞推關(guān)系求出xn的通項公式，最后按n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況的討論可得xn與a的大小關(guān)系。解答 （1）由y=x3-3ax2,得y=3x2-6ax過曲線上點P1（x1,y1）的切線L1的斜率為3x21-6ax1.L1的方程為y-(x31-3ax21)=(3x21-6ax1)(x-x1).又L1過原點，故有：-（x31-3ax21）=-x1(3x21-6ax1) 2x31=3ax21, x1=a(2)過曲線上的點Pn+1(xn+1,yn+1)的切線方程是y-(x3n+1-3ax2n+1

45、)=(3x2n+1-6axn+1)(x-xn+1)Ln+1過曲線上點Pn(xn,yn).故x3n-3ax2n-(x3n+1,-3ax2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1).即x3n-x3n+1-3a(x2n-x2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1).xn-xn+10,x2n+xnxn+1+x2n+1-3a(xn+xn+1)=3x2n+1-6axn+1.x2n+xnxn+1-2x2n+1-3a(xn+xn+1)=0(xn-xn+1)(xn+2xn+1-3a)=0.xn+2xn+1=3a.(3)由（2）得xn+1=-xn+1-a=-(xn-a)故數(shù)列xn

46、-a是以x1-a=a為首數(shù)，公比為-的等比數(shù)列。xn-a=(-)n-1當(dāng)n為偶數(shù)時，xn-a=-a(-)n<0. xn<a當(dāng)n為奇數(shù)時，xn-a=-a(-)n>0. xn>a.預(yù)測角度 2利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性1已知mR,研究函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間解題思路 先求f(x),再令f(x)>0和f(x)<0可解得函數(shù)的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間。解答 記g(x)=-mx2-(m+3)x-3ex>0,只需g(x)的正負(fù)即可。（1）當(dāng)m=0時，g(x)=-3x-3.當(dāng)g(x)>0時，x<-1,f(x)>0當(dāng)g(x)<0時，x>-1,f(

47、x)<0當(dāng)m=0時，f(x)的增區(qū)間為（-，-1），減區(qū)間為（-1，+）。（2）當(dāng)m0時,g(x)有兩個根：x1=-,x2=-1.當(dāng)m<0時，x1>x2,在區(qū)間（-，-1）(-,+)上，g(x)>0,即f(x)<0.f(x)在（-，-1）(-,+)上是增函數(shù)。在區(qū)間（-1，-）上，g(x)<0，即f(x)<0.f(x)在（-1，-）上是減函數(shù)。當(dāng)0<m<3時，x1<x2.在區(qū)間（-，-）（-1，+）上g(x)<0,即f(x)<0.函數(shù)f(x)在(-, -)（-1，+）上是減函數(shù)，在區(qū)間（-，-1）上，g(x)>0，f

48、(x)>0.f(x)在（-，-1）上是增函數(shù)。m=3時，x1=x2.在區(qū)間(-, -1)（-1，+）上g(x)<0，f(x)<0。f(x)在x=-1處連續(xù)。f(x)在（-，+）上是減函數(shù)。當(dāng)m>3時x1>x2。在區(qū)間(-, -1)（-，+）上，g(x)<0，f(x)<0。f(x)在(-, -1)（-，+）上是減函數(shù)。在區(qū)間（-1，-）上，g(x)>0，即f(x)>0.f(x)在（-1，-）上是增函數(shù)。2.已知函數(shù)f(x)=在x=1處取極值，且函數(shù)g(x)= 在區(qū)間（a-6,2a-3）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍。解答 f(x)=x3-bx2-

49、(2+a)x+2a由f(1)=0得b=1-a.f(x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a=(x-1)(x+2)(x-a)若a=1時f(x)=(x-1)2(x+2). x(-2,1)f(x)>0 x(1,+ ),f(x)>0.x=1不是極值點。a1 又b=1-a.g(x)=x3+(1-a)x2-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+1).當(dāng)x<a時,g(x)<0,g(x)在(-,a)上遞減，（a-6,2a-3）(-,a)a-6<2a-3a,-3<a3.綜合，得a的范圍為（-3，1）（1，3）。3已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù)

50、，其圖像交x軸于A、B、C三點，若點B的坐標(biāo)為（2，0），且f(x)在-1，0和4，5上有相同的單調(diào)性，在0，2和4，5上有相反的單調(diào)性。（1）求C的值；（2）在函數(shù)f(x)的圖像上是否存在一點M（x0,y0）使得f(x)在點M處的切線斜率為3b？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解題思路 根據(jù)題設(shè)條件作出f(x)的圖像知,f(x)有兩個極值點，一個為x=0，另一個極值點在2，4之間，借助這個結(jié)論可判定在點M處的切線的斜率能否等于3b，解答（1）由題意可知f(x)在-1，0和0，2上具有相反的單調(diào)性。x=0是f(x)的一個極值點，故f(0)=0。即3ax2+2bx+c=0有一個解為x

51、=0c=0。（2）f(x)交x軸于點B（2，0）。8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a).令f(x)=0，則3ax2+2bx=0,x1=0,x2=f(x)在0，2和4，5上具有相反的單調(diào)2-4， -6-3。假設(shè)存在點M（x0,y0），使得f(x)在點M處的切線斜率為3b，則f(x0)=3b。即3ax20+2bx0-3b=0。=（2b）2-4×3a×(-3b)=4b2+36ab=4ab(+9)又-6-3,<0.不存在點M（x0,y0），使得f(x)在點M處的切線斜率為3b。4已知函數(shù)f(x)=+（b-1）x2+cx(b,c為常數(shù))（1）若f(x)在x(-,x1)及x

52、（x2+）上單調(diào)遞增，且在x（x1,x2）上單調(diào)遞減，又滿足0<x2-x1<1.求證b2<2(b+2c).(2)在（1）的條件下，若t>x1,試比較t2+bt+c與x1的大小，并加以證明。解題思路 由f(x)的單調(diào)性可知x1、x2是f(x)=0的兩根，<x2-x1<1可證明（1），（2）可用作差比較法。解答 f(x)在x（-，x1）及x（x2,+ ）上單調(diào)遞增，且在x（x1,x2）上單調(diào)遞減，x=x1或x=x2是函數(shù)f(x)的極值點，即f(x1)=0，f(x2)=0。f(x)=x2+(b-1)x+c.x1、x2是方程x2+(b-1)x+c=0的兩根，得又0&

53、lt;x2-x1<1,(x2-x1)2<1, 即(x1+x2)2-4x1x2<1.(1-b)2-4c<1.b2<2(b+2c)(2)由（1）有b=1-(x1+x2)·c=x1x2.(t2+bt+c)-x1=t2+1-(x1+x2)t+x1x2-x1=(t-x1)(t-x2+1).t>x1,x2-x1<1t-x1>0,x1<x1+1<t+1(t-x1)(t-x2+1)>0t2+bt+c>x1.預(yù)測角度 3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值1已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上奇函數(shù)，當(dāng)x=-1時，f(x)取得極

54、值2。（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于x1、x2-1，1，不等式|f(x1)-f(x2)|m，求m的最小值。解題思路 由題設(shè)條件易求得a、b、c的值。因此由f(x)>0和f(x)<0可求f(x)的單調(diào)區(qū)間。（2）若對于任意x1、x2-1，1，不等式|f(x1)- f(x2)|m恒成立，即|f(x1)- f(x2)| 是函數(shù)f(x)的最大值和最小值之差的絕對值。因此，這一問主要是f(x)在-1，1上的最大值和最小值。解答 （1）由f(-x)=-f(x)xR,f(0)=0即d=0.f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.由題設(shè)f（-1）=2為f(x)的極值，必有f(-1

55、)=0。 解得a=1,c=-3。f(x)=x3-3x.f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f(x)>0，解得x>1或x<-1. f(x)<0，解得1-<x<1.f(x)在（-，-1）（1，+）上單調(diào)遞增。f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減。（2）用（1）知；f(x)=x3-3x在-1，1，恒有|x(x1)-f(x2)| M-N=2-(-2)=4.2.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在-1，0 0，1上奇函數(shù)，當(dāng)x-1，0時，f(x)=2ax+(a為實數(shù))（1）當(dāng)x（0，1）時，求f(x)的解析式；（2）若a>-1，試判斷f(x)在0，1上的單調(diào)性；（3）是否存在a，使得當(dāng)x（0，1）時，f(x)有最大值-6。解題思路（1）利用函數(shù)f(x)的奇偶性可求得x（0，1）時，f(x)的解析式；（2）可用導(dǎo)數(shù)法判斷；（3）分a>-1和a-1兩種情況討論f(x)的最大值。解答（1）設(shè)x（0，1），則-x-1，0，f(-x)=-2ax+.f(x)是奇函數(shù)，f(x)= 2ax-，x（0，1