定點定直線問題

1、 高中理科數(shù)學(xué)解題方法篇（定點定線定值）1.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)【標(biāo)準(zhǔn)答案】(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (II)設(shè)，由得，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，(最好是用向量點乘來)，解得，且滿足.當(dāng)時，直線過定點與已知矛盾；當(dāng)時，直線過定點綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為2.已知橢圓過點，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。解：（）離

2、心率，即（1）；又橢圓過點，則，（1）式代入上式，解得，橢圓方程為。（）設(shè)，弦MN的中點A由得：，直線與橢圓交于不同的兩點，即（1）由韋達(dá)定理得：，則，直線AG的斜率為：，由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。3.過拋物線（0）上一定點0），作兩條直線分別交拋物線于，求證：與的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率為非零常數(shù)【解析】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為由 相減得，故 同理可得， 由傾斜角互補知： 由 相減得， 直線的斜率為非零常數(shù)題型：動弦過定點的問題例題5、（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3；最小值為1；（

3、）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。分析：第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，直線與橢圓C相交于A，B兩點，并且橢圓的右頂點和A、B的連線互相垂直，證明直線過定點，就是通過垂直建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。解（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（II）設(shè)，由得，（注意：這一步是同類坐標(biāo)變換）（注意：這一步叫同點縱、橫坐標(biāo)間的變換）以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點且，解得，且滿足當(dāng)時，直線過定點與已知矛盾；當(dāng)時，直線過定點綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為練習(xí)1.直線和拋物線相交于

4、A、B，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點，證明：直線過定點，并求定點的坐標(biāo)。分析：以AB為直徑的圓過拋物線的頂點O，則OAOB，若設(shè)，則，再通過，將條件轉(zhuǎn)化為，再通過直線和拋物線聯(lián)立，計算判別式后，可以得到，解出k、m的等式，就可以了。解：設(shè)，由得，（這里消x得到的）則（1）由韋達(dá)定理，得：，則，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點O，則OAOB，即，可得，則，即，又，則，且使（1）成立，此時，直線恒過點。名師指點：這個題是課本上的很經(jīng)典的題，例題5、（07山東理）就是在這個題的基礎(chǔ)上，由出題人遷移得到的，解題思維都是一樣的，因此只要能在平時，把我們騰飛學(xué)校老師講解的內(nèi)容理解透，在高考中考取140多分

5、，應(yīng)該不成問題。 本題解決過程中，有一個消元技巧，就是直線和拋物線聯(lián)立時，要消去一次項，計算量小一些，也運用了同類坐標(biāo)變換韋達(dá)定理，同點縱、橫坐標(biāo)變換-直線方程的縱坐標(biāo)表示橫坐標(biāo)。其實解析幾何就這么點知識，你發(fā)現(xiàn)了嗎？例題6、已知點A、B、C是橢圓E： 上的三點，其中點A是橢圓的右頂點，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，求直線PQ的斜率。解：(I) ，且BC過橢圓的中心O又點C的坐標(biāo)為。A是橢圓的右頂點，則橢圓方程為：將點C代入方程，得，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱

6、，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個根，即同理可得：則直線PQ的斜率為定值。方法總結(jié)：本題第二問中，由“直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線PC的斜率為k，就得直線QC的斜率為-k。利用是方程的根，易得點P的橫坐標(biāo)：，再將其中的k用-k換下來，就得到了點Q的橫坐標(biāo)：，這樣計算量就減少了許多，在考場上就節(jié)省了大量的時間。接下來，如果分別利用直線PC、QC的方程通過坐標(biāo)變換法將點P、Q的縱坐標(biāo)也求出來，計算量會增加許多。直接計算、，就降低了計算量?？傊绢}有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是

7、過曲線上的點的直線和曲線相交，點的坐標(biāo)是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計算量，達(dá)到節(jié)省時間的目的。練習(xí)1、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個根則，即點M的坐標(biāo)為同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，

8、令y=0，得，將點M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：又，橢圓的焦點為，即故當(dāng)時，MN過橢圓的焦點。方法總結(jié)：本題由點A1(-2,0)的橫坐標(biāo)2是方程的一個根，結(jié)合韋達(dá)定理得到點M的橫坐標(biāo)：，利用直線A1M的方程通過坐標(biāo)變換，得點M的縱坐標(biāo)：；再將中的換下來，前的系數(shù)2用2換下來，就得點N的坐標(biāo)，如果在解題時，能看到這一點，計算量將減少許多，并且也不易出錯，在這里減少計算量是本題的重點。否則，大家很容易陷入繁雜的運算中，并且算錯，費時耗精力，希望同學(xué)們認(rèn)真體會其中的精髓。 本題的關(guān)鍵是看到點P的雙重身份：點P即在直線上也在直線A2N上，進(jìn)而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點，即橫截距，將點M、N

9、的坐標(biāo)代入，化簡易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿足。3、已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，離心率為 （）求橢圓的方程； （）過點作直線交于、兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，為定值？若存在，求出這個定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（I）設(shè)橢圓E的方程為,由已知得：。2分橢圓E的方程為。3分（）法一：假設(shè)存在符合條件的點，又設(shè)，則：。5分當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，則由得7分所以9分對于任意的值，為定值，所以，得，所以；11分當(dāng)直線的斜率不存在時，直線由得綜上述知，符合條件的點存在，起坐標(biāo)為13分法二：假設(shè)存在點，又設(shè)則：=.5分當(dāng)直線的斜率

10、不為0時，設(shè)直線的方程為，由得7分9分設(shè)則11分當(dāng)直線的斜率為0時，直線，由得：綜上述知，符合條件的點存在，其坐標(biāo)為。13分定點定值過定點問題直線與曲線相交與兩點，求證變式：xAyOBM如圖，拋物線上有兩點A（）、B（），且·0，又（0，2），（1）求證：1.（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3；最小值為1；（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (II)設(shè)，由得，.以AB為直徑

11、的圓過橢圓的右頂點，解得，且滿足.當(dāng)時，直線過定點與已知矛盾；當(dāng)時，直線過定點綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為2. 已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個根， 則，即點M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點M

12、、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：又，橢圓的焦點為，即 故當(dāng)時，MN過橢圓的焦點。3.（2010江蘇）18.（16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左右頂點為A,B，右焦點為F，設(shè)過點的直線TA,TB與橢圓分別交于點，其中.設(shè)動點P滿足PF2PB2=4,求點P的軌跡設(shè)x1=2,x2=，求點T的坐標(biāo)設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標(biāo)與m無關(guān))圓過定點4.（08江蘇）18設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C（）求實數(shù)b 的取值范圍；（）求圓C 的方程；（）問圓C 是否經(jīng)過某定點（其坐標(biāo)與b 無關(guān)）？請證明你的結(jié)論解：（）令0，得拋物線與軸

13、交點是（0，b）；令，由題意b0 且0，解得b1 且b0（）設(shè)所求圓的一般方程為令0 得這與0 是同一個方程，故D2，F(xiàn)令0 得0，此方程有一個根為b，代入得出Eb1所以圓C 的方程為.（）圓C 必過定點（0，1）和（2，1）證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊012×0（b1）b0，右邊0，所以圓C 必過定點（0，1）同理可證圓C 必過定點（2，1）5.已知橢圓,點是橢圓上異于頂點的任意一點,過點作橢圓的切線,交軸與點直線過點且垂直與,交軸與點試判斷以為直徑的圓能否經(jīng)過定點？若能,求出定點坐標(biāo);若不能,請說明理由.解:設(shè)點,直線的方程為代入,整理得.是方程的兩個相等實根,

14、解得或根據(jù)求導(dǎo)解得直線的方程為令,得點的坐標(biāo)為又點的坐標(biāo)為又直線的方程為令,得點的坐標(biāo)為以為直徑的圓方程為整理得由得以為直徑的圓恒過定點和6.如圖，點A，B，C是橢圓的三個頂點，D是OA的中點，P、Q是直線上的兩個動點。 （）當(dāng)點P的縱坐標(biāo)為1時，求證：直線CD與BP的交點在橢圓上； （）設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，試判斷以線段PQ為直徑的圓是否恒過定點，請說明理由。高考資源網(wǎng)w。w-w*k&s%5￥u解：（）由題意，時，直線CD方程為，直線BP方程為, -2分由方程組 解得， -3分高考資源網(wǎng)w。w-w*k&s%5￥u+=+=1， 在橢圓上，直線 CD 與BP的交點在

15、橢圓上 -5分（），焦點， -6分設(shè)， -8分， ，線段PQ為直徑的圓圓心是的中點（4，），半徑為，圓的方程為 -10分 -12分令，得 或 ，以線段為直徑的圓恒過定點 -13分定值7.已知定點C(1,0)及橢圓x23y25，過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點，在x軸上是否存在點M，使·為常數(shù)？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解析假設(shè)在x軸上存在點M(m,0)，使·為常數(shù)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，將yk(x1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250

16、.則所以·(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.整理得·m2m2m22m.注意到·是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有6m140，m，此時·.當(dāng)直線AB與x軸垂直時，此時點A，B的坐標(biāo)分別為A(1，)、B(1，)，當(dāng)m時，亦有·.綜上，在x軸上存在定點M(，0)，使·為常數(shù)8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點（I）若動點滿足（其中為坐標(biāo)原點），求點的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點，使·為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存

17、在，請說明理由解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則則，由得即于是的中點坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時，即又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)與軸垂直時，求得，也滿足上述方程所以點的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以，于是因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=當(dāng)與軸垂直時，點的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時故在軸上存在定點，使為.9.已知橢圓:點的坐標(biāo)為,過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點,對于任意的是否為定值？若是求出這個定值;若不是,請說明理由.解析:由已知得直線的方程為由消去得設(shè)則由此可知,為定值.10.（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點。（）若點N是點C關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點，求ANB面積的最