版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、必修4 第二章 平面向量一、知識(shí)綱要1、向量的相關(guān)概念:(1) 向量: 既有大小又有方向的量叫做向量,記為或。 向量又稱矢量。注意 向量和標(biāo)量的區(qū)別:向量既有大小又有方向;標(biāo)量只有大小,沒(méi)有方向。普通的數(shù)量都是標(biāo)量,力是一種常見(jiàn)的向量。向量常用有向線段來(lái)表示,但也不能說(shuō)向量就是有向線段,因?yàn)橄蛄渴亲杂傻?,可以平移;有向線段有固定的起點(diǎn)和終點(diǎn),不能隨意移動(dòng)。(2)向量的模:向量的大小又叫向量的模,它指的是:表示向量的有向線段的長(zhǎng)度。記作:|或。 注意 向量本身不能比較大小,但向量的??梢员容^大小。(3)零 向 量: 長(zhǎng)度為0的向量叫零向量,記為,零向量的方向是任意的。注意 0; 與0的區(qū)別:寫(xiě)法
2、的區(qū)別,意義的區(qū)別。(4)單位向量:模長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的非零向量叫單位向量。注意 若向量是單位向量,則= 1 。2、 向量的表示:(1) 幾何表示法:用帶箭頭的有向線段表示,如,注意:方向是“起點(diǎn)指向終點(diǎn)”。(2) 符號(hào)表示法:用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示,如,等;(3) 坐標(biāo)表示法:在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,以與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量、為基底向量,則平面內(nèi)的任一向量可表示為,稱為向量的坐標(biāo),叫做向量的坐標(biāo)表示。此時(shí)=。若已知,則, 即終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。特別的,如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn),那么向量的坐標(biāo)數(shù)值與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)值相同。3、 向量之間的關(guān)系: (1)平行(共線):對(duì)于兩個(gè)非零向量
3、,若它們的方向相同或相反的,那么就稱這種關(guān)系為平行,記作。換言之,方向相同或相反的兩個(gè)非零向量叫平行向量(共線向量)。相互平行的兩個(gè)向量之間的夾角為0度或180度,記為<,> = 00或1800 。由于向量可以進(jìn)行任意的平移(所以向量又叫自由向量),所以平行向量總可以平移到同一直線上,故平行向量也稱為共線向量。注意 數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,只有大小、方向兩個(gè)要素,起點(diǎn)可以任意選取,現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”的含義,要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。 規(guī)定平行于任何向量,故在有關(guān)向量平行(共線)的問(wèn)題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量
4、”這個(gè)條件。 平行向量無(wú)傳遞性(因?yàn)橛?.(2) 不平行:對(duì)于兩個(gè)非零向量和,如果平移后它們的夾角不是0度或180度,則稱這兩個(gè)向量不平行。此時(shí),它們夾角的范圍是 <,> (0,)。特別的,當(dāng)<,> =(即900)時(shí),稱為兩個(gè)向量垂直,記為。4、 由向量之間的關(guān)系引出的術(shù)語(yǔ):(1) 同向向量:如果兩個(gè)向量方向相同(即:共線并且?jiàn)A角為0度),那么就稱這兩個(gè)向量是同向向量。<,> = 0(2) 反向向量:如果兩個(gè)向量方向相反(即:共線并且?jiàn)A角為180度),那么就稱這兩個(gè)向量是反向向量。<,> =注意:同向向量和反向向量都是共線向量。并且只考慮方向,不
5、研究模長(zhǎng)的大小關(guān)系。(3) 相等向量: 長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量,記為。注意: 相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合,是同向向量的升級(jí)版。 相等向量的坐標(biāo)體現(xiàn)為: 若,且,則。即向量相等具有傳遞性。(4) 相反向量:長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量叫相反向量, 的相反向量記為,的相反向量記為:或,零向量的相反向量仍是零向量。注意: 相反向量是反向向量的升級(jí)版,要求方向相反,且大小相等,即|。 若為相反向量,則 。 相反向量的坐標(biāo)體現(xiàn)為: 雙重取反必還原:=。5、向量的線性運(yùn)算:(1)向量加法:求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。注意 加法性質(zhì): ,任何向量與零向量的和都是任何向量; +()=(
6、)+=,一對(duì)相反向量的和一定為零向量; 向量加法滿足交換律:+=+; 向量加法滿足結(jié)合律:(+)+=+(+);(2)向量減法:求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的加法。記作:,即求兩個(gè)向量與的差,等于向量加上的相反向量。注意 +()=()+=; 若、是互為相反向量,則=,=,+=.小結(jié) 加減法的運(yùn)算法則:(作圖)“三角形法則” “平行四邊形法則”說(shuō)明:向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”:(1)用平行四邊形法則時(shí),兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的,和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線,而差向量是另一條對(duì)角線,方向是從減向量指向被減向量(2) 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”,由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指
7、向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和;差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí),用平行四邊形法則;當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí),用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加:,但這時(shí)必須“首尾相連”(3)向量的數(shù)乘運(yùn)算:實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,所得的結(jié)果表示:在的方向(或的相反方向)取倍構(gòu)成一個(gè)新向量,記作。的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下: 當(dāng)時(shí),的方向與的方向相同;當(dāng)時(shí),的方向與的方向相反;當(dāng)時(shí),方向是任意的 數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律:6、向量的投影和數(shù)量積:(1) 兩個(gè)向量的數(shù)量積:已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角為,則·=·cos叫做
8、與的數(shù)量積(或內(nèi)積) 規(guī)定(2) 向量的投影:cos=R,稱為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影(3) 數(shù)量積的幾何意義: ·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積(4)、向量的模與平方的關(guān)系:(5)、乘法公式成立: (6)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:交換律成立:對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立:分配律成立:特別注意:(1)結(jié)合律不成立:;(2)消去律不成立不能得到(3)=0不能得到=或=7、向量的坐標(biāo)運(yùn)算:(1)已知起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo),求向量坐標(biāo): 已知,則, 即終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。(2)已知向量的坐標(biāo),求向量的模: 已知,則=;已知,則,此時(shí),本公式等價(jià)于“兩點(diǎn)間距離公式: 已知?jiǎng)t”。(3)已知兩個(gè)
9、向量的坐標(biāo),求這兩個(gè)向量加減、數(shù)乘和數(shù)量積:加減:已知,則,即對(duì)應(yīng)橫縱坐標(biāo)相加減。數(shù)乘:已知,則,即倍數(shù)對(duì)坐標(biāo)作分配。數(shù)量積:已知,則,即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)之積再相加。(4)已知兩個(gè)向量的坐標(biāo),求這兩個(gè)向量的夾角或夾角余弦值:已知,則。 8、 向量的夾角已知兩個(gè)非零向量與,作=, =,則AOB= ()叫做向量與的夾角,記為。注意 研究向量夾角時(shí),必須將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移動(dòng)到同一點(diǎn)上; 當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí), 當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí) 與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題 cos= 向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系: 當(dāng)為銳角時(shí),0(反之不成立,因?yàn)閿?shù)量積為正數(shù)的兩個(gè)向量不一定構(gòu)成銳角,可能是平行且同向);當(dāng)為
10、鈍角時(shí),0。(反之不成立,因?yàn)閿?shù)量積為負(fù)數(shù)的兩個(gè)向量不一定構(gòu)成鈍角,可能是平行且反向)9、平面向量的基本定理如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使:,其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。若給定一組基底向量,則平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都存在一組實(shí)屬對(duì)與之對(duì)應(yīng),當(dāng)這組基底是兩個(gè)相互垂直的單位向量時(shí),這組基底可以構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng),這個(gè)系統(tǒng)叫平面直角坐標(biāo)系,與向量對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)就是坐標(biāo)。10、向量垂直(共線)的基本定理(1)共線: ,此為向量平行的符號(hào)表達(dá)。若,則或,此為向量平行的坐標(biāo)表達(dá)。注意 對(duì)于“”,當(dāng)時(shí),可以看成是非零向量的0倍(即),所以規(guī)定
11、“零向量與任何非零向量平行”。(2)垂直:非零向量滿足: ,此為向量平行的符號(hào)表達(dá)。若,則,此為向量平行的坐標(biāo)表達(dá)。 即:兩個(gè)向量非零向量垂直等價(jià)于這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0。 若中有一個(gè)向量是零向量,則數(shù)量積一定為0,此時(shí)無(wú)需討論是否垂直。所以規(guī)定“零向量與任何非零向量平行”,但是不規(guī)定“零向量與任何非零向量垂直”。11、有向線段的定比分點(diǎn)(1)、定義:設(shè)點(diǎn)P是直線PP上異于P、P的任意一點(diǎn),若存在一個(gè)實(shí)數(shù) ,使,則叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比,P點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分點(diǎn)。(簡(jiǎn)稱:點(diǎn)P為定比分點(diǎn))(2)、的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系:當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP上時(shí)>0;當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的
12、延長(zhǎng)線上時(shí);當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP的延長(zhǎng)線上時(shí)<1;若點(diǎn)P分有向線段所成的比為,則點(diǎn)P分有向線段所成的比為。(3)、線段的定比分點(diǎn)公式:設(shè)、,分有向線段所成的比為,則分點(diǎn)的坐標(biāo)為,即。特別地,當(dāng)1時(shí),就得到線段PP的中點(diǎn)公式。二、經(jīng)典例題【例1】 已知A(1,2),B(4,2),則向量的坐標(biāo)為:= ;向量的模為:|= ;把向量按向量(1,3)平移后得到的向量是 ?!纠?】 平面上,把一個(gè)圖形整體向某個(gè)方向移動(dòng)一段距離,若移動(dòng)前點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2,3),移動(dòng)后,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,-1),則平移向量為= ,移動(dòng)的距離為 ?!纠?】下列命題:(1)若,則。(2)兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的
13、起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同。(3)若,則是平行四邊形。(4)若是平行四邊形,則。(5)若,則。(6)若,則。其中正確的是 ?!纠?4】給出下列命題: 若|,則=; 若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件; 若=,=,則=; =的充要條件是|=|且/; 若/,/,則/;其中正確的序號(hào)是 【例 5】求參數(shù)的值:(1)設(shè)非零向量、不共線,=k+,=+k (kÎR),若,試求k(2) 已知向量,且,求實(shí)數(shù)的值【例 6】 判斷下列各命題正確與否:(1); (2); (3)若,則;(4)若,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立;(5)對(duì)任意向量都成立;(6)對(duì)任意向量,有【例 7】已知,按下列條件求實(shí)數(shù)的值 (1);(2);【例 8】平移(1)按向量把平移到,則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)_(2)函數(shù)的圖象按向量平移后,所得函數(shù)的解析式是,則_【例 9】定比分點(diǎn)(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)(2)已知,直線與線段交于,且,則等于_(3)若點(diǎn)分所成的比為
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 廣東理工學(xué)院《免疫與病原生物學(xué)實(shí)驗(yàn)Ⅲ》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 廣東科技學(xué)院《幼兒園環(huán)境設(shè)計(jì)與布置》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 廣東理工職業(yè)學(xué)院《辯證唯物主義與歷史唯物主義下》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 廣東機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院《生物藥物分析與檢測(cè)》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 廣東行政職業(yè)學(xué)院《自動(dòng)控制原理B》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院《物業(yè)管理概論》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 廣東工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院《畫(huà)法幾何與陰影透視二》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 廣東財(cái)貿(mào)職業(yè)學(xué)院《對(duì)外漢語(yǔ)教學(xué)方法與設(shè)計(jì)》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 《腦梗死診治》課件
- 《初中生物復(fù)習(xí)資料》課件
- 《業(yè)務(wù)員銷(xiāo)售技巧》課件
- 《汽車(chē)涂裝》2024-2025學(xué)年第一學(xué)期工學(xué)一體化課程教學(xué)進(jìn)度計(jì)劃表
- 水廠安全管理培訓(xùn)
- 江西省贛州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試化學(xué)試題 附答案
- 消化道出血護(hù)理常規(guī)課件
- 2024年物流運(yùn)輸公司全年安全生產(chǎn)工作計(jì)劃例文(4篇)
- 二零二四年度軟件開(kāi)發(fā)合同:凈水器智能控制系統(tǒng)定制開(kāi)發(fā)協(xié)議3篇
- 貴州省銅仁市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題 地理 含答案
- 糖尿病肌少癥
- 2025年全國(guó)普通話考試題庫(kù)
- 2024-2025學(xué)年二年級(jí)語(yǔ)文上冊(cè)期末非紙筆試卷二(統(tǒng)編版)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論