LESDNSRANS三種模擬模型計(jì)算量比較及其原因

1、LES,DNS,RANS模型計(jì)算量比較摘要：湍流流動是一種非常復(fù)雜的流動，數(shù)值模擬是研究湍流的主要手段，現(xiàn)有的湍流數(shù)值模擬的方法有三種：直接數(shù)值模擬（Direct Numerical Simulation: DNS），Reynolds平均方法（Reynolds Average Navier-Stokes: RANS）和大渦模擬(Large Eddy Simulation: LES)。直接數(shù)值模擬目前只限于較小Re數(shù)的湍流，其結(jié)果可以用來探索湍流的一些基本物理機(jī)理。RANS方程通過對Navier-Stokes方程進(jìn)行系綜平均得到描述湍流平均量的方程；LES方法通過對Navier-Stokes方程

2、進(jìn)行低通濾波得到描述湍流大尺度運(yùn)動的方程，RANS和LES方法的計(jì)算量遠(yuǎn)小于DNS，目前的計(jì)算能力均可實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：湍流；直接數(shù)值模擬；大渦模擬；雷諾平均模型1 引言湍流是空間上不規(guī)則和時間上無秩序的一種非線性的流體運(yùn)動，這種運(yùn)動表現(xiàn)出非常復(fù)雜的流動狀態(tài)，是流體力學(xué)中有名的難題，其復(fù)雜性主要表現(xiàn)在湍流流動的隨機(jī)性、有旋性、統(tǒng)計(jì)。傳統(tǒng)計(jì)算流體力學(xué)中描述湍流的基礎(chǔ)是Navier-Stokes（N-S）方程，根據(jù)N-S方程中對湍流處理尺度的不同，湍流數(shù)值模擬方法主要分為三種：直接數(shù)值模擬（DNS）、雷諾平均方法（RANS）和大渦模擬（LES）。直接數(shù)值模擬可以獲得湍流場的精確信息，是研究湍流機(jī)理的有

3、效手段，但現(xiàn)有的計(jì)算資源往往難以滿足對高雷諾數(shù)流動模擬的需要，從而限制了它的應(yīng)用范圍。雷諾平均方法可以計(jì)算高雷諾數(shù)的復(fù)雜流動，但給出的是平均運(yùn)動結(jié)果，不能反映流場紊動的細(xì)節(jié)信息。大渦模擬基于湍動能傳輸機(jī)制，直接計(jì)算大尺度渦的運(yùn)動，小尺度渦運(yùn)動對大尺度渦的影響則通過建立模型體現(xiàn)出來，既可以得到較雷諾平均方法更多的諸如大尺度渦結(jié)構(gòu)和性質(zhì)等的動態(tài)信息，又比直接數(shù)值模擬節(jié)省計(jì)算量，從而得到了越來越廣泛的發(fā)展和應(yīng)用。2 直接數(shù)值模擬(DNS)湍流直接數(shù)值模擬(DNS)就是不用任何湍流模型，直接求解完整的三維非定常的N - S 方程組,計(jì)算包括脈動在內(nèi)的湍流所有瞬時運(yùn)動量在三維流場中的時間演變。2.1控制

4、方程用非穩(wěn)態(tài)的N - S 方程對紊流進(jìn)行直接計(jì)算, 控制方程以張量形式給出: （1） （2）2.2主要數(shù)值方法由于最小尺度的渦在時間與空間上都變化很快，為能模擬湍流中的小尺度結(jié)構(gòu)，具有非常高精度的數(shù)值方法是必不可少的。譜方法或偽譜方法所謂譜方法或偽譜方法是目前直接數(shù)值模擬用得最多的方法，簡單來說，就是將所有未知函數(shù)在空間上用特征函數(shù)展開，成為以下形式： （3）其中，與，都是已知的正交完備的特征函數(shù)族。在具有周期性或統(tǒng)計(jì)均勻性的空間方向一般都采用Fourier級數(shù)展開，這是精度與效率最高的特征函數(shù)族。在其它情形，較多選用Chebyshev多項(xiàng)式展開，它實(shí)質(zhì)上是在非均勻網(wǎng)格上的Fourier展開。

5、此外，也有用Legendre, Jacobi, Hermite或Laguerre等函數(shù)展開，但它們無快速變換算法可用。如將上述展開式代入N-S方程組，就得到一組所滿足的常微分方程組，對時間的微分可用通常的有限差分法求解。在用譜方法計(jì)算非線性項(xiàng)例如的Fourier系數(shù)時，常用偽譜法代替直接求卷積。偽譜法實(shí)質(zhì)上是譜方法與配置法的結(jié)合,具體做法是先將兩量用Fourier反變換回到物理空間，再在物理空間離散的配置點(diǎn)上計(jì)算兩量的乘積，最后又通過離散Fourier變換回到譜空間。在有了快速Fourier變換(FFT)算法以后，偽譜法的計(jì)算速度高于直接求兩Fourier級數(shù)的卷積。但出現(xiàn)的新間題是存在所謂“

6、混淆誤差”，即在做兩個量的卷積計(jì)算時會將本應(yīng)落在截?cái)喾秶酝獾母卟〝?shù)分量混進(jìn)來，引起數(shù)值誤差。嚴(yán)重時可使整個計(jì)算不正確甚至不穩(wěn)定，但在多數(shù)情形下并不嚴(yán)重，且有一些標(biāo)準(zhǔn)的辦法可用來減少混淆誤差，但這將使計(jì)算工作量增。2.2.2高階有限差分法高階有限差分法的基本思想是利用離散點(diǎn)上函數(shù)值 的線性組合來逼近離散點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值。設(shè) 為函數(shù)的差分逼近式,則 （4）式中系數(shù) 由差分逼近式的精度確定，將導(dǎo)數(shù)的逼近式代入控制流動的N - S 方程,就得到流動數(shù)值模擬的差分方程。差分離散方程必須滿足相容性和穩(wěn)定性。2.3 優(yōu)點(diǎn)(1)直接數(shù)值求解N-S方程組，不需要任何湍流模型，因此不包含任何人為假設(shè)或經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。(2

7、)由于直接對N - S方程模擬,故不存在封閉性問題,原則上可以求解所有湍流問題。(3)能提供每一瞬時三維流場內(nèi)任何物理量（如速度和壓力）的時間和空間演變過程，其中包括許多迄今還無法用實(shí)驗(yàn)測量的量。(4)采用數(shù)量巨大的計(jì)算網(wǎng)格和高精度流體力學(xué)計(jì)算方法，完全模擬湍流流場中從最大尺度到最小尺度的流動結(jié)構(gòu)，描寫湍流中各種尺度的渦結(jié)構(gòu)的時間演變，輔以計(jì)算機(jī)圖形顯示，可獲得湍流結(jié)構(gòu)的清晰與生動的流動顯示。2.4 缺點(diǎn)DNS的主要缺點(diǎn)是要求用非常大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量與機(jī)時耗費(fèi)。據(jù)Kim ,Moin &Moser 研 ,即使模擬Re僅為3300 的槽流,所用的網(wǎng)點(diǎn)數(shù)N 就約達(dá)到了 ,在向量計(jì)算機(jī)上進(jìn)行了

8、250 h。3 雷諾平均模擬(RANS)雷諾平均模擬（RANS）即應(yīng)用湍流統(tǒng)計(jì)理論, 將非穩(wěn)態(tài)的N - S方程對時間作平均,求解工程中需要的時均。所謂湍流模式理論，就是依據(jù)湍流的理論知識、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或直接數(shù)值模擬結(jié)果，對Reynolds應(yīng)力做出各種假設(shè)，即假設(shè)各種經(jīng)驗(yàn)的和半經(jīng)驗(yàn)的本構(gòu)關(guān)系，從而使湍流的平均Reynolds方程封閉。3. 1 控制方程對非穩(wěn)態(tài)的N - S 方程作時間演算, 并采用Boussinesp 假設(shè),得到Reynolds 方程 （5） （6）式中,附加應(yīng)力可記為,并稱為雷諾應(yīng)力。這種方法只計(jì)算大尺度平均流動,而所有湍流脈動對平均流動的影響,體現(xiàn)到雷諾應(yīng)力中。正因?yàn)槔字Z應(yīng)力在控

9、制方程中的出現(xiàn),造成了方程不封閉，為使方程組封閉,必須建立模型。3. 2 主要方法目前工程計(jì)算中常用的湍流模型從對模式處理的出發(fā)點(diǎn)不同，可以將湍流模式理論分類成兩大類：一類引入二階脈動項(xiàng)的控制方程而形成二階矩封閉模型，或稱為雷諾應(yīng)力模型，另一類是基于Boussinesq 的渦粘性假設(shè)的渦粘性封閉模式，如零方程模型，一方程模型和二方程模型。3.2.1雷諾應(yīng)力模型雷諾應(yīng)力模型(RSM)從Reynolds應(yīng)力滿足的方程出發(fā),直接建立以為因變量的偏微分方程, 將方程右端未知的項(xiàng)（生成項(xiàng)，擴(kuò)散項(xiàng)，耗散項(xiàng)等）用平均流動的物理量和湍流的特征尺度表示出來，并通過?；忾]。封閉目標(biāo)是雷諾應(yīng)力輸運(yùn)方程: （7）式

10、中 是雷諾應(yīng)力再分配項(xiàng), 是雷諾應(yīng)力擴(kuò)散項(xiàng), 是雷諾應(yīng)力耗散。典型的平均流動的變量是平均速度和平均溫度的空間導(dǎo)數(shù)。這種模式理論，由于保留了Reynolds應(yīng)力所滿足的方程，如果模擬的好，可以較好地反映Reynolds應(yīng)力隨空間和時間的變化規(guī)律，因而可以較好地反映湍流運(yùn)動規(guī)律。因此，二階矩模式是一種較高級的模式，但是，由于保留了Reynolds應(yīng)力的方程，加上平均運(yùn)動的方程整個方程組總計(jì)15個方程，是一個龐大的方程組，應(yīng)用這樣一個龐大的方程組來解決實(shí)際工程問題，計(jì)算量很大，這就極大地限制了二階矩模式在工程問題中的應(yīng)用。2.2.2渦粘性模型在工程湍流問題中得到廣泛應(yīng)用的模式是渦粘性模式。這是由Bo

11、ussinesq仿照分子粘性的思路提出的，即設(shè)Reynolds應(yīng)力為， （8）這里是湍動能，稱為渦粘性系數(shù)，這是最早提出的基準(zhǔn)渦粘性模式，即假設(shè)雷諾應(yīng)力與平均速度應(yīng)變率成線性關(guān)系，當(dāng)平均速度應(yīng)變率確定后，六個雷諾應(yīng)力只需要通過確定一個渦粘性系數(shù)就可完全確定，且渦粘性系數(shù)各向同性，可以通過附加的湍流量來?；?，比如湍動能k，耗散率，比耗散率w以及其它湍流量，根據(jù)引入的湍流量的不同，可以得到不同的渦粘性模式，比如常見的，k-w模式，以及后來不斷得到發(fā)展的，q-w，k-l等模式，渦粘性系數(shù)可以分別表示為 ，（9）3. 3 優(yōu)點(diǎn)(1) 對計(jì)算機(jī)的要求較低，同時可以得到符合工程要求的計(jì)算結(jié)果。(2)一旦給

12、定合理的Reynolds應(yīng)力模型，可以很容易地從RANS方程解出湍流的統(tǒng)計(jì)量，所需要的計(jì)算資源小。(3)幾乎能對所有雷諾數(shù)范圍的工程問題求解，并得出一些有用的結(jié)果。3. 3 缺點(diǎn)(1) 對不同類型的湍流，需要采用不同的Reynolds應(yīng)力模型，甚至對于同一類型的問題，對應(yīng)于不同的邊界條件需要修改模型的常數(shù)。(2) 由于不區(qū)分旋渦的大小和方向性，對旋渦的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)問題考慮不足，不能用來對流體流動的機(jī)理進(jìn)行描述。(3) 對于非定常流動、大分離流動、逆壓力梯度數(shù)值模擬等問題，受湍流模型條件的限制，很難得到滿意的計(jì)算結(jié)果。(4)嚴(yán)重依賴流場形狀和邊界條件，普適性差，計(jì)算很大程度上依賴于經(jīng)驗(yàn)。4 大

13、渦數(shù)值模擬(LES)湍流大渦數(shù)值模擬（LES）是有別于直接數(shù)值模擬和雷諾平均模式的一種數(shù)值模擬手段。利用次網(wǎng)格尺度模型模擬小尺度紊流運(yùn)動對大尺度紊流運(yùn)動的影響即直接數(shù)值模擬大尺度紊流運(yùn)動, 將N-S方程在一個小空間域內(nèi)進(jìn)行平均（或稱之為濾波），以使從流場中去掉小尺度渦，導(dǎo)出大渦所滿足的方程。4. 1 基本思想湍流運(yùn)動是由許多大小不同的旋渦組成的。那些大旋渦對于平均流動有比較明顯的影響，而那些小旋渦通過非線性作用對大尺度運(yùn)動產(chǎn)生影響。大量的質(zhì)量、熱量、動量、能量交換是通過大渦實(shí)現(xiàn)的，而小渦的作用表現(xiàn)為耗散。流場的形狀，阻礙物的存在，對大旋渦有比較大的影響，使它具有更明顯的各向異性。小旋渦則不然，

14、它們有更多的共性，更接近各向同性，因而較易于建立有普遍意義的模型?；谏鲜鑫锢砘A(chǔ)，LES把包括脈動運(yùn)動在內(nèi)的湍流瞬時運(yùn)動量通過某種濾波方法分解成大尺度運(yùn)動和小尺度運(yùn)動兩部分。大尺度要通過數(shù)值求解運(yùn)動微分方程直接計(jì)算出來,小尺度運(yùn)動對大尺度運(yùn)動的影響將在運(yùn)動方程中表現(xiàn)為類似于雷諾應(yīng)力一樣的應(yīng)力項(xiàng),該應(yīng)力稱為亞格子雷諾應(yīng)力,它們將通過建立模型來模擬。實(shí)現(xiàn)大渦數(shù)值模擬,首先要把小尺度脈動過濾掉,然后再導(dǎo)出大尺度運(yùn)動的控制方程和小尺度運(yùn)動的封閉方程。4. 2 過濾函數(shù)大渦模擬第一步就是把一切流動變量劃分成大尺度量和小尺度量，這一過程稱之為濾波。濾波運(yùn)算相當(dāng)于在一定區(qū)間內(nèi)按一定條件對函數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均，

15、其目的是濾掉高波數(shù)而只保留低波數(shù)，截?cái)嗖〝?shù)的最大波長由濾波函數(shù)的特征尺度決定。目前較為常用的濾波函數(shù)主要有以下三種：Deardorff 的盒式(BOX)濾波函數(shù)、富氏截?cái)酁V波函數(shù)和高斯(Gauss)濾波函數(shù)。不可壓常粘性系數(shù)的紊流運(yùn)動控制方程為N-S 方: （10）式中：S 拉伸率張量，表達(dá)式為：；分子粘性系數(shù)；流體密度。設(shè)將變量分解為方程(11)中和次網(wǎng)格變量(模化變量),即,可以采用leonard提出的算式表示為:（11）式中稱為過濾函數(shù)，顯然G(x)滿足 4. 3 控制方程將過濾函數(shù)作用與N-S方程的各項(xiàng)，得到過濾后的紊流控制方程組： (12)由于無法同時求解出變量和，所以將分解成，即稱

16、為次網(wǎng)格剪切應(yīng)力張量(亦稱為亞格子應(yīng)力)。由此動量方程又可寫成： (13)式中代表了小渦對大渦的影響。4. 4 常用亞格子模式及其特點(diǎn)目前，在大渦模擬中經(jīng)常廣泛采用的亞格子模型有標(biāo)準(zhǔn)的Smagorinsky模型、動態(tài)渦粘性模型、動態(tài)混合模型、尺度相似模型、梯度模型、選擇函數(shù)模型。其中Smagorinsky模型被廣泛應(yīng)用。4.4.1亞格子渦粘和渦擴(kuò)散模型不可壓縮湍流的亞格子渦粘和渦擴(kuò)散模型采用分子粘性和分子熱擴(kuò)散形式，即 (14) (15)以上公式中和分別稱為亞格子渦粘系數(shù)和亞格子渦擴(kuò)散系數(shù)；是可接尺度的變形率張量。式(14)第2項(xiàng)是為了滿足不可壓縮的連續(xù)方程，當(dāng)收縮時(=0)等式兩邊可以相等。

17、將亞格子應(yīng)力的渦粘模型公式(14)代入到(13)式中，變形得 (16) (17)4.4.2 Smagorinsky模型Smagorinsky模型是由Smagorinsky于1963年提出來的，該模型是第一個亞格子模型。廣泛用于大渦模擬中的渦粘模型認(rèn)為亞格子應(yīng)力的表達(dá)式如下： (18)式中是可接尺度的變形率張量，是渦粘系數(shù)。1963年Smagorinsky定義了渦粘系數(shù)： (19)式中是變形率張量的大小，是過濾尺度，CS無量綱參數(shù)，稱為Smagorinsky系數(shù)。4.4.3 動態(tài)亞格子模式1991 年, 提出了動態(tài)亞格子模式，該模式以Smagorinsky 模式為基本模型，但克服了Smagori

18、nsky 模式的部分缺陷。動力模型實(shí)際上是動態(tài)確定亞格子渦粘模型的系數(shù)。動力模型需要對湍流場做兩次過濾,一次是細(xì)過濾,細(xì)過濾后再做一次粗過濾。通過在網(wǎng)格尺度和檢驗(yàn)濾波器尺度條件下計(jì)算得到的應(yīng)力差來確定應(yīng)力模型系數(shù),使模型系數(shù)成為空間和時間的函數(shù),從而避免了在模擬過程中對系數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。因此比Smagorinsky 模式所采用的固定系數(shù)值更加合理。4.4.4 相似性模式1980 年Bardina 提出了尺度相似模式。該模式假定從大尺度脈動到小尺度脈動的動量輸運(yùn)主要由大尺度脈動中的最小尺度脈動來產(chǎn)生,并且過濾后的最小尺度脈度速度和過濾掉的小尺度脈動速度相似。通過二次過濾和相似性假定可以導(dǎo)出亞格子應(yīng)力

19、表達(dá)式。采用這種模式能正確預(yù)測墻壁面附近的漸近特性,但預(yù)測各向不均勻的室內(nèi)空氣復(fù)雜流動準(zhǔn)確性較差。4.4.5 混合模式混合模式是將尺度相似模式和Smagorinsky 模式疊加來確定亞格子應(yīng)力。這種模式既有和實(shí)際亞格子應(yīng)力良好的相關(guān)性,又有足夠的湍動能耗散。4. 5 優(yōu)點(diǎn)(1)能夠描述小尺度湍流流動，但是計(jì)算量遠(yuǎn)小于DNS，在科學(xué)研究和工程應(yīng)用上都顯示出良好的發(fā)展前景。(2)用非均勻網(wǎng)格能夠使網(wǎng)格數(shù)達(dá)到最少，節(jié)省計(jì)算資源，同時又能夠保證足夠的計(jì)算精度。(3)網(wǎng)格尺度比湍流尺度大，可以模擬湍流發(fā)展過程的一些細(xì)節(jié)。(4)相較于RANS方法，LES可以模擬更多的湍流大尺度運(yùn)動，LES所用的湍流亞網(wǎng)格

20、應(yīng)力模型受邊界的幾何形狀和流動類別的影響小，比 RANS方法所用的Reynolds應(yīng)力更具普適性。4.6 缺點(diǎn)(1)小渦模型網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的劃分極密集,需要龐大的計(jì)算機(jī)存儲能力;(2) 大量數(shù)據(jù)處理和非線性偏微分方程的求解需要高速數(shù)值處理能力; (3)僅用于比較簡單的剪切流運(yùn)動及管流。(4) 由于實(shí)際湍流極其復(fù)雜, 數(shù)值模擬仍需要非常可觀的計(jì)算時間和實(shí)驗(yàn)經(jīng)費(fèi)。5. LES,DNS,RANS三種模擬模型計(jì)算量比較LES, DNS,RANS三種模擬模型中DNS的計(jì)算量最大，LES的計(jì)算量介于另外兩者之間，而RANS的計(jì)算量最小。影響計(jì)算量的因素有三個：網(wǎng)格數(shù)量、流場的時間積分長度（與計(jì)算時間長度有關(guān)）和

21、最小旋渦的時間積分長度（與時間步長有關(guān)），其中網(wǎng)格數(shù)量是重要因素。直接數(shù)值模擬（DNS）中為了得到湍流問題足夠精確的解，要求能夠數(shù)值求解所有旋渦的運(yùn)動，因此要求網(wǎng)格的尺度和最小旋渦的尺度相當(dāng)，即使采用子域技術(shù)，其網(wǎng)格規(guī)模也是巨大的。為了求解各個尺度旋渦的運(yùn)動，要求每個方向上網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的數(shù)量與成比例，考慮一個三維問題，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的數(shù)量與成比例。一般的估計(jì)如下:湍流中包含許多尺度不同的渦，為能模擬最小渦的運(yùn)動，計(jì)算網(wǎng)格的分辨率應(yīng)足以分辨最小尺度的渦，后者以Kolmogorov定義的內(nèi)尺度為代表。而計(jì)算區(qū)域的尺寸應(yīng)足以容納最大尺度的渦，最大渦的尺度為L。因此在一個空間方向上的網(wǎng)點(diǎn)數(shù)目至少應(yīng)與同量階，而根

22、據(jù)統(tǒng)計(jì)理論知道這個比值 （20）于是整個三維空間所需的網(wǎng)點(diǎn)總數(shù)至少為 （21）此數(shù)字也正是按非線性動力系統(tǒng)理論所估計(jì)的湍流的吸引子維數(shù)的上確界。計(jì)算所需的內(nèi)存容量應(yīng)與此數(shù)成正比。另一方面計(jì)算的時間步長應(yīng)小于最小渦的時間尺度，而總的計(jì)算時間應(yīng)大于最大渦的特征時間，因此需要計(jì)算的步數(shù)應(yīng)不少于.如假設(shè)每一時間步長的計(jì)算工作量，即使按最低限估計(jì)，與N成正比，則總的計(jì)算工作量至少也要正比于或。假如對每一時間步的每一網(wǎng)點(diǎn)需執(zhí)行100條機(jī)器指令，則對一個的湍流問題，就需執(zhí)行總共約條指令。這意味著在一個計(jì)算速度為每秒一億次的超級計(jì)算機(jī)上也要運(yùn)行約30年。如此巨大的計(jì)算工作量即使對當(dāng)今世界上最大的計(jì)算機(jī)也是不可接受的。據(jù)Kim ,Moin &Moser 研,即使模擬Re僅為3300 的槽流,所用的網(wǎng)點(diǎn)數(shù)N 就約達(dá)到了 ,在向量計(jì)算機(jī)上進(jìn)行了250 h。在現(xiàn)有的計(jì)算機(jī)能力的限制下，即使在少數(shù)擁有世界最大的超級計(jì)算機(jī)的科學(xué)大國，目前也只能計(jì)算中等以下雷諾數(shù)且有簡單幾何邊界的湍流流。湍流大渦數(shù)值模擬與直接數(shù)值模擬相比節(jié)省很大的計(jì)算量。湍流大渦數(shù)值模擬將湍流的大尺度脈動和小尺度脈動分開,對大尺度結(jié)構(gòu)進(jìn)行直接數(shù)值模擬,通過建立亞格子尺度(亞格子尺度) 模型來模擬小尺