一級(jí)倒立擺的建模及控制分析

1、直線一級(jí)倒立擺的建模及控制分析摘要：本文利用牛頓歐拉方法，建立了直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在分析的基礎(chǔ)上, 采用狀態(tài)反饋控制中極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)了用于直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制器。此外，用MATLAB 仿真繪制了相應(yīng)的曲線并做了分析。1、 問(wèn)題描述倒立擺控制系統(tǒng)是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域和多種技術(shù)的有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，是控制理論研究中較為理想的實(shí)驗(yàn)對(duì)象。它為控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和科研構(gòu)建了一個(gè)良好的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新思想的發(fā)展。倒立擺系統(tǒng)可以采用多種理論和方法來(lái)實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)定控制，如PID，自適應(yīng)、狀態(tài)反

2、饋、智能控制等方法都己經(jīng)在倒立擺控制系統(tǒng)上得到實(shí)現(xiàn)。由于直線一級(jí)倒立擺的力學(xué)模型較簡(jiǎn)單，又是研究其他倒立擺的基礎(chǔ)，所以本文利用所學(xué)的矩陣論知識(shí)對(duì)此倒立擺進(jìn)行建模和控制分析。二、方法簡(jiǎn)述本文利用牛頓歐拉方法，建立了直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在分析的基礎(chǔ)上, 采用狀態(tài)反饋控制中極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)了用于直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制器。此外，用MATLAB 仿真繪制了相應(yīng)的曲線并做了分析。3、 模型的建立及分析3.1 微分方程的推導(dǎo)在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖1所示。 圖1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)假設(shè) M為小車質(zhì)量；m為擺桿質(zhì)量；b為小車摩擦系

3、數(shù)；l為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度；I為擺桿慣量；F為加在小車上的力；為小車位置；為擺桿與垂直向上方向的夾角；為擺桿與垂直向下方向的夾角。圖2是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。值得注意的是: 在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已確定, 因而矢量方向定義如圖2所示, 圖示方向?yàn)槭噶空颉?(a) (b) 圖2 小車和擺桿的受力分析圖分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： (2)把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： (3)為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺

4、桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： (4)力矩平衡方程如下： (5)合并這(4)、(5)兩個(gè)方程，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： (6) 假設(shè)與1(單位是弧度)相比很小，即1，則可以進(jìn)行近似處理： (7)用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： (8)3.2 狀態(tài)空間方程方程組(8)對(duì)解代數(shù)方程，整理后的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： 對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有：，于是可得： 化簡(jiǎn)得：設(shè) ，則有： 3.3 實(shí)際系統(tǒng)模型實(shí)際系統(tǒng)模型參數(shù): M=1.096 Kg；m=0.109 Kg；b=0.1 N/m/s； l=0.25 m；I=0.0034 kg·m·m；

5、采樣頻率 T =0.005 s。以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 3.4 狀態(tài)空間極點(diǎn)的配置對(duì)于直線一級(jí)倒立擺的極點(diǎn)配置轉(zhuǎn)化來(lái)說(shuō): 要按上述系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器, 則要求具有較短，約3 s的調(diào)整時(shí)間和合適的阻尼比=0.5。要使系統(tǒng)具備能控、能觀且易驗(yàn)證。步驟為：計(jì)算特征值。根據(jù)要求，設(shè)調(diào)整時(shí)間為3 s, 并留有一定的余量, 選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn):，其中：其中是一對(duì)具有=0.5，的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)。位于主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的左邊，其影響較小，因此期望的特征根方程為： 由此得到：系統(tǒng)的特征方程為：，因此：。系統(tǒng)的反饋增益矩陣為：確定使?fàn)顟B(tài)方程變?yōu)榭煽諛?biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣T=MW，于是可得：則有：，則反饋增益矩陣為：控制量為:3.5 MATLAB仿真分析利用MATLAB軟件對(duì)直線一級(jí)倒立擺進(jìn)行了仿真，仿真繪制的曲線圖，如圖3,4所示。 圖3 小車位置隨時(shí)間變化圖 圖4 擺角隨時(shí)間變化圖 采用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)的用于直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制器, 可使系統(tǒng)在很小的振動(dòng)范圍內(nèi)保持平衡, 小車振動(dòng)幅值約為 m, 擺桿振動(dòng)幅值約0.05 rad,系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間約 3 s。4、 參考文獻(xiàn)1 固高倒立擺系統(tǒng)與實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)，2004，固高科技有限公司2