數(shù)學(xué)建模四人追擊問題論文

1、一、對數(shù)學(xué)實(shí)踐與建模課程的講義、授課內(nèi)容、授課方式等的看法、建議： 還沒開始上這門課的時候，我就經(jīng)常聽到數(shù)學(xué)建模這個詞，誰誰誰參加數(shù)學(xué)建模比賽了之類的。當(dāng)時并沒有多想，感覺數(shù)學(xué)建模什么的估計就是類似奧數(shù)競賽一類的解難題吧。沒想到這學(xué)期開了這門課，通過這門課讓我對數(shù)學(xué)建模有了一個更清晰直觀的認(rèn)識。 這么幾周的課上下來，我覺得這門課還是很有意思的，對于這門課，我有一下一些建議：1、 第一節(jié)課可以先去機(jī)房上一次實(shí)驗課，讓大家先試試手，這樣利于后期課堂教學(xué)的開展；2、 可以建立一個QQ群，讓大家相互討論，這樣也可以充分利用好那些有數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)同學(xué)的資源；3、 大家自己弄MATLAB軟件不是太方便，希望

2、學(xué)?；蛘呃蠋熢谲浖墨@取上給予一定的幫助；4、 實(shí)驗課的時候進(jìn)行分組，一個基礎(chǔ)好的同學(xué)和幾個沒什么基礎(chǔ)的同學(xué)為一組，這樣可以提高整個小組成員的學(xué)習(xí)效率。有的建議可能不好實(shí)施，所以以上是我從個人想法觀點(diǎn)出發(fā)的幾點(diǎn)小建議。二、題目：四人追逐實(shí)驗三、摘要： 這是一個關(guān)于動態(tài)追擊的問題，每個人都在運(yùn)動，而且每個人的運(yùn)動狀態(tài)是相同的。問題主要在于，每個人的運(yùn)動狀態(tài)都在時時刻刻改變著，這是分析這個問題的關(guān)鍵點(diǎn)。通過初步判斷，四個人最終會相遇在同一點(diǎn)，并且四個人的運(yùn)動具有對稱性，我們可以通過使追及過程離散化的方法來模擬四人的追及過程，即以極短的時間段 為間隔，逐步分析四人的運(yùn)動狀況。四、問題重述：在正方形A

3、BCD的四個頂點(diǎn)各有一個人。設(shè)在初始時刻 時，四人同時出發(fā)勻速以 沿順時針走向下一個人。如果他們始終對準(zhǔn)下一個人為目標(biāo)行進(jìn)，最終結(jié)果會如何。作出各自的運(yùn)動軌跡。五、模型假設(shè)：1、將四個人看成質(zhì)點(diǎn)a、b、c、d，設(shè)他們的初始位置分別為 (0,0)(即坐標(biāo)原點(diǎn)O)、 (0,1)、 (1,1)、 (1,0)，如圖1所示。2、假設(shè)某人追上其目標(biāo)的要求是該者與其目標(biāo)間的距離足夠小。我們不妨將該臨界距離設(shè)為0.005個單位（該值為初始距離的0.5%）。3、假設(shè)當(dāng)中a、b、c、d某人已追到其目標(biāo)時，該追及活動終止，即運(yùn)動結(jié)束。若此時恰巧其他三人也追到各自目標(biāo)，則稱這種情況為四人追到一起。否則的話，稱四人不能

4、追到一起。4、在追及過程中，四人可以在正方形區(qū)域內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動，并不是只能在正方形的邊長上運(yùn)動。5、在開始運(yùn)動時和追及過程中，每個人時刻朝著目標(biāo)運(yùn)動不受限制。6、根據(jù)分析，可以假設(shè)連續(xù)的時間被分為多個極小且等長的時間段 。又因為時間間隔 極短，所以四人在 時間內(nèi)的運(yùn)動均可視為直線運(yùn)動。六、模型的建立與求解：本題求解的關(guān)鍵在于運(yùn)用算法求出若干個時間后a、b、c、d四人的位置坐標(biāo)，并計算相應(yīng)追逐者間的距離。記經(jīng)過k個時間后，a、b、c、d位置點(diǎn)分別為、。故本題轉(zhuǎn)化為求、的坐標(biāo)，以及、的值。下面，逐步分析四人的運(yùn)動狀況。運(yùn)動開始時，a、b、c、d四人同時分別朝著各自目標(biāo)沿向量、的方向運(yùn)動。經(jīng)過1個時間后

5、，a由運(yùn)動到,b由運(yùn)動到，c由運(yùn)動到，d由運(yùn)動到。此時a、b、c、d都要轉(zhuǎn)變方向同時分別沿向量、方向追及b、c、d、a。經(jīng)過2個時間后，a、b、c、d又分別由、運(yùn)動到、。此時a、b、c、d需再次調(diào)整方向同時分別沿向量、方向追及b、c、d、a。照此循環(huán)下去，直到某兩者之間的距離足夠小，即這時兩個人追到一起，該程序活動終止。以上過程如圖2所示。因此，我們可以用向量遞推的方法來求出、的坐標(biāo),即向量、的坐標(biāo)。記a、b、c、d四者的速率分別為、。=- ; =-=- ; =-通過對1個dt時間、2個dt時間、3個dt時間一直到k個dt時間后的分析，可以得到：=- ; =-=- ; =-所以接下來我們可以進(jìn)

6、行MATLAB的編程。MATLAB程序如下：clear;clf; A=0,0;B=0,1;C=1,1;D=1,0; k=0; dt=0.004;v=1; grid; hold on; axis(0 1 0 1); while k<10000 k=k+1; plot(A(1),A(2),'g.'); plot(B(1),B(2),'r.'); plot(C(1),C(2),'y.'); plot(D(1),D(2),'b.'); e1=(B-A)/norm(B-A); A=A+v*dt*e1; e2=(C-B)/norm(C-

7、B); B=B+v*dt*e2; e3=(D-C)/norm(D-C); C=C+v*dt*e3; e4=A-v*dt*e1-D;d4=norm(e4); e4=e4/d4; D=D+v*dt*e4; d1=norm(B-A); d2=norm(C-B); d3=norm(D-C); d4=norm(A-D); fprintf('k=%.0f d1=%.4f d2=%.4f d3=%.4f d4=%.4fn',k,d1,d2,d3,d4); fprintf('A(%.2f,%.2f) B(%.2f,%.2f) C(%.2f,%.2f) D(%.2f,%.2f)n', A(1),A(2),B(1),B(2),C(1),C(2),D (1),D(2); if d1<=0.005 break end if d2<=0.005 break end if d3<=0.005 break end if d4<=0.005 break end paus