第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

1、一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)四、小結(jié)一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念（1 1）鄰域）鄰域回憶回憶。且且是是兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)與與設(shè)設(shè)0, a,叫叫做做這這鄰鄰域域的的中中心心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 ),( axxaU的的稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)集集aaxx ,鄰域鄰域 ),( aU記作記作),( axaxaU) ,( aaxa a a設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)， 是某一正是某一正 數(shù)，與點(diǎn)數(shù)，與點(diǎn)),(000yxP距離小于距離小于 的點(diǎn)的點(diǎn)),(yxP的全

2、的全 體，稱為點(diǎn)體，稱為點(diǎn)0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU， （1 1）鄰域）鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),( 2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 :)( 00PUP 的的去去心心鄰鄰域域點(diǎn)點(diǎn) .)()(0| ),( )(20200 yyxxyxPU（2 2）區(qū)域）區(qū)域的的為為則稱則稱，的某一鄰域的某一鄰域個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)是平面上的一是平面上的一是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE )(.EE 的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于EP 為為的的點(diǎn)點(diǎn)都都是是內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱如如果果點(diǎn)點(diǎn)集集EE41),(221 y

3、xyxE例如，例如，即為開集即為開集內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn).內(nèi)點(diǎn)：內(nèi)點(diǎn)：開集：開集：開集開集.的的為為），則稱），則稱，也可以不屬于，也可以不屬于屬于屬于本身可以本身可以點(diǎn)點(diǎn)的點(diǎn)的點(diǎn)點(diǎn)，也有不屬于點(diǎn)，也有不屬于的的于于的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬如果點(diǎn)如果點(diǎn)EPEEPEEP ( EP 的的邊邊界界的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為EE是是，則稱開集，則稱開集于于都屬都屬起來，且該折線上的點(diǎn)起來，且該折線上的點(diǎn)連結(jié)連結(jié)任何兩點(diǎn)，都可用折線任何兩點(diǎn)，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開集如果對于是開集如果對于設(shè)設(shè)DDDD 邊界點(diǎn)：邊界點(diǎn)：邊界點(diǎn)邊界點(diǎn).連通：連通：連通的連通的.開區(qū)域：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)開區(qū)域

4、：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域. . .41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo閉區(qū)域：閉區(qū)域：對于點(diǎn)集對于點(diǎn)集 E，如果存在正數(shù)，如果存在正數(shù) K，使一切點(diǎn)，使一切點(diǎn) PE 與某一點(diǎn)與某一點(diǎn) A 間的距離間的距離 |AP| 不超過不超過 K，即，即KAP 對于一切點(diǎn)對于一切點(diǎn) PE 成立，則稱成立，則稱 E 為有界點(diǎn)集。為有界點(diǎn)集。否則稱為無界點(diǎn)集否則稱為無界點(diǎn)集.0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域例如，例如，41| ),(22 yxyxxyo

5、（3 3）聚點(diǎn)）聚點(diǎn)設(shè)設(shè) E是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，P 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè) 點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn) P的的任任何何一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無無限限多多個(gè)個(gè) 點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)集集 E，則則稱稱 P為為 E 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn). . （1 1）內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；（2 2）邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例如，例如，(0, 0) 既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)補(bǔ)充補(bǔ)充（3 3）點(diǎn)集點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0, 0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬

6、于集合1| ),(22 yxyx例如例如, ,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合合（1 1）內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；（2 2）邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例如，例如，(0, 0) 既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)（4 4）n 維空間維空間實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) x一一對應(yīng)一一對應(yīng)數(shù)軸點(diǎn)數(shù)軸點(diǎn). 數(shù)組數(shù)組 (x, y)實(shí)數(shù)全體表示直線實(shí)數(shù)全體表示直線(一維空間一維空間)一一對應(yīng)一一對應(yīng)R平面點(diǎn)平面點(diǎn)(x, y) 全體表示平面全體表示平面(二維空間二維空間)2R數(shù)組數(shù)組 (x, y, z)一一對應(yīng)一一對應(yīng)空間點(diǎn)空間點(diǎn)(x, y, z) 全體

7、表示空間全體表示空間(三維空間三維空間)3R推廣：推廣：n 維數(shù)組維數(shù)組 (x1, x2, , xn) 全體稱為全體稱為 n 維空間，記為維空間，記為.nRn 維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為特殊地，當(dāng)特殊地，當(dāng) n = =1, 2, 3時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩 點(diǎn)間的距離點(diǎn)間的距離n 維空間中鄰域概念：維空間中鄰域概念： .,| ),(00nRPPPPPU 區(qū)域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定區(qū)域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義義

8、（5 5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義回憶回憶y 按按照照一一定定法法則則總總有有確確定定的的數(shù)數(shù)值值和和它它對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱 y 是是 設(shè)設(shè)x和和y是兩個(gè)變量。是兩個(gè)變量。D是一個(gè)給定是一個(gè)給定 的的數(shù)集數(shù)集，若對于每個(gè)數(shù)，若對于每個(gè)數(shù)Dx ，變量，變量 ).(xfy x 的的函數(shù)函數(shù)，記作，記作 定定義義 1 1 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對對于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定 的的值值和和它它對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)， 記記為為 ),(yxfz （或或記記為為)(Pfz

9、 ）. . ),(),( DyxyxfzzW 點(diǎn)集點(diǎn)集 D -定義域，定義域，- 值域值域.x、y -自變量，自變量，z -因變量因變量.當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). . 對對應(yīng)應(yīng)地地，函函數(shù)數(shù))(xfy 稱稱為為一一元元函函數(shù)數(shù). 類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)定定義義 1 1 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對對于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定 的的值值和和它它對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)， 記記為為 ),(yxfz （或

10、或記記為為)(Pfz ）. . ),(),( DyxyxfzzW 點(diǎn)集點(diǎn)集 D -定義域，定義域，- 值域值域.x、y -自變量，自變量，z -因變量因變量.).,(),(yxzyxzzyxz 的的函函數(shù)數(shù)也也可可記記為為、是是函數(shù)的兩個(gè)要素函數(shù)的兩個(gè)要素: : 定義域、對應(yīng)法則定義域、對應(yīng)法則. .與一元函數(shù)相類似，對于定義域約定：與一元函數(shù)相類似，對于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)集定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)集. .例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域

11、為所求定義域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD （6 6）二元函數(shù)）二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域?yàn)闉镈，對對于于任任意意 取取定定的的DyxP ),(，對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz . . 以以x為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)、y為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)、z為為豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)在在空空 間間就就確確定定一一點(diǎn)點(diǎn)),(zyxM，當(dāng)當(dāng)),(yx取取遍遍D上上一一切切 點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，得得一一個(gè)個(gè)空空間間點(diǎn)點(diǎn)集集 ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ， 這這個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形. . （如下頁圖）（如下頁圖）二元函數(shù)的圖

12、形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面. .xyzsin 例如例如, ,圖形如右圖圖形如右圖. .2222azyx 例如例如, ,左圖球面左圖球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: :xyzo二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,(,000yxPD 是其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù) ，總，總 存在正數(shù)存在正數(shù) ，使得對于適合不等式，使得對于適合不等式 20200)()(|0yyxxPP 的一切點(diǎn)，都有的一切點(diǎn)，都有 |),(|Ayxf成立，

13、則成立，則 稱稱 A 為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）. . 定義定義 2 2 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集,D 0P是是 其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù)其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù) ，總，總 存在正數(shù)存在正數(shù) ，使得對于適合不等式，使得對于適合不等式 |00PP 的一切點(diǎn)的一切點(diǎn)DP ，都有，都有 |)(|APf成立，成立， 則稱則稱 A 為為)(Pf當(dāng)當(dāng)0PP 時(shí)的時(shí)的極限極限，記為，記為 APfPP )(lim0. . n元元

14、函函數(shù)數(shù)的的極極限限 利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有說明：說明：（1 1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2 2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3 3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似（4）二重極限的幾何意義：）二重極限的幾何意義： 0， P0 的去心的去心 鄰域鄰域 U(P0, )。 在在U(P0, )內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù)),(yxfz 的圖形總在平面的圖形總在平面 Az及及 Az之間。之間。例例2 2 求證求證 證證. 01sin)(lim222200 yxyxy

15、x01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx.01sin)(2222 yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立注意：注意： 是指是指 P 以任何以任何方式趨于方式趨于P0 .0PP ,)(lim00Axfxx ,)(lim00Axfxx .)(lim0Axfxx 一一元元中中多多元元中中,)(lim0AxfPP . )() ( 0PPAxf以以某某種種方方式式趨趨于于Axfyyxx )(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px軸軸沿沿平平行行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py軸軸沿沿平平行行) )( (

16、000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx ),(lim0000)(yxxky ( (1 1) ) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趨趨向向于于),(000yxP， 若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在； (2) (2) 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 兩者不相等，此時(shí)也可斷言兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP 處極限不存在處極限不存在 確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：例例3 3 設(shè)設(shè)解解 . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(22yxyxyxxyy

17、xf但取但取,kxy ),(lim00yxfkxyx 2200)(limkxxkxxkxyx 其值隨其值隨 k 的不同而變化。的不同而變化。不存在不存在).,(lim 00yxfyx求求 ),(lim00yxfyx, 00lim 0 y ),(lim00yxfyx, 00lim 0 x.12kk 故故),(lim00yxfyx例例4 4 求求解解).32(lim2210 xyyxyx )32(lim2210 xyyxyx)lim()lim(3)(lim2)(lim1010210210yxyxyxyxyxyx )3(lim)2(lim)(lim10210210 xyyxyxyxyx . 2103

18、120 例例5 5 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 2220yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim 22200 yxyxyx于是，于是，yxu2 三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)設(shè)n元元函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域?yàn)闉辄c(diǎn)點(diǎn)集集0, PD是是其其聚聚 點(diǎn)點(diǎn)且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 則則稱稱n元元 函函數(shù)數(shù))(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處連連續(xù)續(xù). . 定義定

19、義3 3(1) 函數(shù)函數(shù)),(yxf在在),(000yxP點(diǎn)有定義；點(diǎn)有定義； (2) ),(lim00yxfyyxx存在；存在； (3) ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 。 則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP連續(xù)連續(xù). . 定義定義33設(shè)設(shè)0P是函數(shù)是函數(shù))(Pf的定義域的聚點(diǎn)，如果的定義域的聚點(diǎn)，如果)(Pf在點(diǎn)在點(diǎn) 0P處不連續(xù)，則稱處不連續(xù)，則稱0P是函數(shù)是函數(shù))(Pf的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn). . 注意：二元函數(shù)可能在某些孤立點(diǎn)處間斷，也可能注意：二元函數(shù)可能在某些孤立點(diǎn)處間斷，也可能 在曲線上的所有點(diǎn)處均間斷。在曲線上的所有點(diǎn)處均間斷。例如，例如， . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(22yxyxyxxyyxf. )0 , 0(是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).),(2xyxyyxf 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 2xy . ),(無定義無定義yxf因此，因此，的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。上上的的所所有有點(diǎn)點(diǎn)均均是是 ),( 2yxfxy 多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四 則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)