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第九講 矩陣微分方程一、矩陣的微分和積分1. 矩陣導數(shù)定義：若矩陣的每一個元素是變量t的可微函數(shù)，則稱A(t)可微，其導數(shù)定義為 由此出發(fā)，函數(shù)可以定義高階導數(shù)，類似地，又可以定義偏導數(shù)。2. 矩陣導數(shù)性質(zhì)：若A(t),B(t)是兩個可進行相應運算的可微矩陣，則（1）（2）（3）（4） (A與t無關)此處僅對加以證明證明： 又3. 矩陣積分定義：若矩陣的每個元素都是區(qū)間上的可積函數(shù)，則稱A(t)在區(qū)間上可積，并定義A(t)在上的積分為 4. 矩陣積分性質(zhì)（1）（2）（3）二、 一階線性齊次常系數(shù)常微分方程組設有一階線性齊次常系數(shù)常微分方程組式中t是自變量，是t的一元函數(shù)是常系數(shù)。令 ，則原方程組變成如下矩陣方程 其解為 對該解求導，可以驗證 且t0時，表明x(t)確為方程的解，積分常數(shù)亦正確例：求解微分方程組， 初始條件為解：， 求出A的特征多項式， 定義待定系數(shù)的多項式 解方程 三、 一階線性非齊次常系數(shù)常微分方程組 令方程組化為矩陣方程采用常數(shù)變易法求解之；齊次方程的解為，可設非齊次方程的解為，代入方程，得： 由積分性質(zhì)(3)可驗證c(t)是解。加上初始條件，有 說明:高階常微分方程常?？梢曰癁橐浑A常微分方程組來處理，如： 令，則可得 一般地，n階常微分方程可以化為n個一階常微分方程組成

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