精品導(dǎo)數(shù)放縮必備題型

1、上次發(fā)貼介紹了下2014年課標(biāo)1卷的放縮做法，發(fā)現(xiàn)很多人不太懂放縮，而且吧里似乎沒有專門講解放縮的貼子。鑒于本人是河北人，研究過一些導(dǎo)數(shù)里較難的題，比如數(shù)列不等式，所以斗膽在此發(fā)表一些自己的心得，希望大家能獲益。數(shù)學(xué)老手，貼吧新手，發(fā)帖有什么不好的地方請輕噴。此貼思路是這樣的，先介紹放縮的思想、應(yīng)用及注意事項，然后簡單提下數(shù)列中的放縮，再重點介紹函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的放縮，拓展一些知識，附上一些例題。從最簡單的例子開始比如我們要證明e，我們知道3，3e。我們可以把要證的不等式e左邊的縮小為3,3比e大是對的，比e大就得證。同理也可把右邊的e放大為3。上面的例子太過簡單，真到復(fù)雜的情況，可能你似懂非懂的

2、了解了放縮但還是應(yīng)用不上，真的理解還是要靠題目。直接來到高大上的題，搞清了就理解放縮了。第一問略過（等號左邊的取對數(shù)易證，等號右邊把帖子看完就知道多好證了） 第二問說思路，首先這個式子太過龐大，有指數(shù)有三角，而且不管怎么變形求導(dǎo)，都無法消除其中一種，所以常規(guī)法是很難做甚至是不可做的。再看第一問有放縮的提示，所以考慮放縮。如果1-xg（x）這時求得a-3，那么這個范圍內(nèi)f（x）g（x）的，或者說這個范圍就是一個充分條件，我們只須論證其必要性。也就是證a3時f（x）g（x）不成立，即g（x）f（x），這時再把f（x）放大為1/（1+x）與g（x）比較，在a3時，作差求導(dǎo)得出g（x）f（x

3、），所以a-3為充要條件。詳答不放，重要的是思路，計算過程現(xiàn)在都可以不算，只要把這個思路倒騰清楚，放縮思想基本就有了， 而且不局限在證明不等式了。注意事項:第一：放縮要注意尺度，比如證e，你要是想到了2，然后想用2e來證明，那當(dāng)然不行，你放縮的尺度太大了，復(fù)雜題中，有時這尺度不容易把握。第二：看清楚不等號及放縮方向，有時你做著做著就蒙了，就看不清了。比如你要證e，你想到了e2，一看2，以為自己證出來了，其實呢，你已經(jīng)暈了。這個例子你看著滑稽，自己做難題時這種情況而正常。第三：注意有放有留，在數(shù)列中常用，我們通常把數(shù)列的第一項或者前兩項不進(jìn)行放縮，只放縮后面的，借此來控制放縮的尺度（因為有時前面

4、的項放縮會尺度過大）。更高端的，我們可以把數(shù)列的后面的拿出n項來，只對后面的n項放縮，而不放縮前面的（因為有時后面的放縮會尺度過大）。第三條中更更高端的，我們可以借項。比如數(shù)列an=n，其前n項和本應(yīng)為1+2+3+4+n我們可以寫為1+2+3+4+n+【（n+1）+（n+2）+2n】-【（n+1）+（n+2）+2n】，就是加上n項再減去n項，然后對減去的n項或加上的n項進(jìn)行放縮（之所以要放縮減去的那些項，是因為有時候不等號方向和你已知的放縮式子可能不合適，但如果放縮減號后的那些項可以解決這個問題）現(xiàn)在來介紹下數(shù)列中的放縮，河北數(shù)列難度小，所以我了解的不如導(dǎo)數(shù)多，只舉三個例子吧。第一，腦筋急轉(zhuǎn)彎

5、型放縮，平凡之中暗藏坑爹，此類題題號靠前，難度不大，卻可以很坑爹。例：求證1/（n+1）+1/（n+2）+1/(n+3)+.1/(n+n)1難嗎，有沒有發(fā)現(xiàn)左邊n個式子每一項都比1/n小，那n個合起來當(dāng)然比1小了，這不這么顯然嗎？如果你考試時做不出來，請拿出小學(xué)生考你腦筋急轉(zhuǎn)彎你答不出來的心態(tài)來。第二條較常用（導(dǎo)數(shù)中有道數(shù)列不等式也要用它，在此只舉一例）這類放縮就是朝裂項相消方向靠攏。很顯然的，我們有1/n(n+1)1/n21/n(n-1)（原諒我不會把平方打成角標(biāo)）。當(dāng)然我們有更加強(qiáng)版的 1/n21/(n+1)(n-1)。如此只要有平方倒數(shù)，我們可以考慮用這些不等式將其放縮為能裂項相消求和的

6、式子，舉個，而是否用加強(qiáng)版的放縮，要看題里的條件，用那個式子更美觀，加強(qiáng)版不見得是好的。例如an=1/n2，求證Sn2，我們可以將a1保留（顯然放縮之中a1沒有定義），從a2開始放縮為1/n(n-1)，熟悉的裂項求和求出，后面部分的和是小于1的。用加強(qiáng)版一定也可以，但是那個計算起來要稍微麻煩些，沒必要。第三是一個指數(shù)型的放縮，具體題目我忘了，是個老題，沒必要過分糾纏，做法很多，我只取我自己獨創(chuàng)的做法，覺得還是比較好的，至少比老師講的簡單些。an=3n-2n，求Sn小于什么還是大于什么我忘了，反正顯然是要放縮，這個尺度不好把握，我是這么來把握的。an=(3/2)n-1*2n，然后令二分之三的指數(shù)

7、n=1,2,3等某個定值，再等比求和。因為二分之三是比一要大的，其指數(shù)函數(shù)是遞增的，把n限制為某個值，他一定變小了，控制n的值就一定程度控制了放縮尺度。為什么能想到這呢，其實你對題有研究的精神，有興趣，沒事多想想，就肯定能有靈感，能超越老師的思路，這個誰都可以有。首先，我來提一個高大上的東西，就是高數(shù)里面的泰勒公式，這個只是背景，了解就行，感興趣的可以找百科或者高數(shù)書。就是從某個點X0處，我們可以構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值，如果這個點是0，就是形式比較簡單的麥克勞林級數(shù)。簡而言之，它的功能就是把坑爹的超越式近似表示為冪函數(shù)。然后給出高中階段常用的放縮的不等式，推薦背過，題里一

8、般會提示，若無提示，用這些也有可能讓題目簡單。exx+1 x-1lnx1-1/x 1+x 1+x/2（根號不會打，平方下就知道這式子怎么來的了。）1-x2/2cosx1-x2/4（在-到上） 對實數(shù)x>-1，在n1時，有 (1+x)n1+nx 成立；在0n1時，有(1+x)n1+nx成立（伯努利不等式）重點研究前兩個，十道導(dǎo)數(shù)題八道與它有關(guān)，其中兩道就要用它們，另外兩道用它們會簡化題目。很容易發(fā)現(xiàn)exx+1 ，這是取的麥克勞林級數(shù)的前兩項。我們對該式兩邊取以自然對數(shù)，得到xln（x+1），用x-1替換x就得，lnxx-1。在這個式子中，用1/x替換X就可以得

9、到-lnx（1/x）-1即lnx1-1/x。從圖像中也可以看出x+1和x-1正好是切線，這樣憑這個圖像很容易就記住了這兩個不等式當(dāng)然將指數(shù)對數(shù)稍作平移，切線都變?yōu)閤看著似乎更有趣，兩個圖像有公切線，然而切點是不同的第三道2014課標(biāo)1，我知道可以不用放縮，但此帖就是在講放縮。求證 1，顯然ex-1/x是1的，但它的系數(shù)為2，你要是直接弄成2就錯了，f（x）是大于的，證這個大于1，兩邊都有1可消掉，成了證明大于0，那就好多了，都除以ex-1,就成了證它0，求導(dǎo)求最小值，恰好是0，等號不同時取，所以是大于。第四，我忘了原題了，原題要復(fù)雜，我只編個簡單點的說明下這個靈活的思想吧。跟我思路來

10、。求證：x2+(lnx)21/2。xlnx+1，所以只須證（lnx+1）2+(lnx)21/2，令t=lnx+1，（換元成2次函數(shù)），則轉(zhuǎn)化為證2t2-2t+11/2。二次函數(shù)求最小值，就是1/2其實就是告訴大家，一定一定要很靈活，我們的思路都是轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)，這個題，卻將冪轉(zhuǎn)化為對數(shù)（受不等號方向的限制），然后又通過大家熟知的換元法轉(zhuǎn)化為簡單的二次函數(shù)。接下來講下一類數(shù)列不等式簡單證法。看題。求證1+1/2+1/3+1/4+1/nln（n+1），這種題，數(shù)學(xué)歸納法是可以的，但步驟未免有些繁瑣，我們有簡化的證法。把這個不等式看作關(guān)于n的式子，復(fù)制一個n-1的式子1+1/2+1/3+1/4+1/（n-1）ln（n）用上式減下式，得1/nln（1+1/n）（上面的不等式可證明，令x=1/n）1/nln（1+1/n）分別求和就可證出上面的式子。所以遇見數(shù)列不等式，先復(fù)制n-1的式子，如果不等號兩邊都是某數(shù)列的前n項和，這樣就可以找到兩個數(shù)列的通項，由通項的大小就可以證明前n項和的大小。2014石家莊質(zhì)檢二，第一問不用說，看著也很眼熟吧，a1自己算。 第二問，這個不等式首先也不可能作差，需要一定的變形。說下思路，首先應(yīng)該把（3n）n除到左邊來，觀察 這個式子肯定是某個以e為公比的等比數(shù)列前n項和（很多題都是等比，因為等比后面的次數(shù)掛上n的可以忽略） 考慮