證明圓的切線方法

1、證明圓的切線方法證明圓的切線方法我們學習了直線和圓的位置關(guān)系，就出現(xiàn)了 新的一類習題，就是證明一直線是圓的切線 . 在我們所學的知識范圍內(nèi)，證明圓的切線常用 的方法有：一、若直線I過O O上某一點A，證明I是 O O的切線，只需連OA，證明OA丄I就行了， 簡稱“連半徑，證垂直”，難點在于如何證明 兩線垂直.例1 如圖，在厶ABC中，AB=AC，以AB 為直徑的O O交BC于D，交AC于E，B為 切點的切線交OD延長線于F.求證：EF與O O相切.證明：連結(jié)OE , AD. AB是O O的直徑,又 OB=OE , OF=OF , BOF EOF (SAS)./ OBF= / OEF. BF與O

2、 O相切，OB丄BF. / OEF=9O°. EF與。O相切.說明：此題是通過證明三角形全等證明垂直例2如圖，AD是/ BAC的平分線，P 為BC延長線上一點，且PA=PD.求證：PA與O O相切. PA=PD, AD是/ I/ DAB=證明一：作直徑AE ,:丄 2=Z 1 + / DAC./ 2=Z B+ / DAB , /仁/B.又/ B= / E,/仁/E AE是O O的直徑， AC 丄 EC , / E+ / EAC=90°. / 1 + Z EAC=900.即OA丄PA.PA與O O相切.證明二：延長AD交O O于E，連結(jié)OA ,OE. OA=OE ,/ E=

3、J 1.OE丄BC. BE=CE ,/ E+ J B:AD 是 J:丄 PAD= / PDA.又/ PDA= / BDE,/ 1 + Z PAD=90° 即OA丄PA.PA與O O相切說明：此題是通過證明兩角互余，證明垂直 的，解題中要注意知識的綜合運用例3 如圖，AB=AC , AB是O O的直徑，OO交BC于D, DM丄AC于M 求證：DM與O O相切. OD II AC. OB=OD ,/仁/B./仁/C.D證明一：連結(jié)0D. DM 丄 AC ,DM丄OD.DM與O O相切證明二：連結(jié)0D , AD. AB是O O的直徑AD丄BC.又 AB=AC,/仁/2. DM 丄 AC ,

4、/ 2+Z 4=90° OA=OD ,/仁/3. / 3+/4=90°.即OD丄DM.DM是O O的切線說明：證明一是通過證平行來證明垂直的. 證明二是通過證兩角互余證明垂直的， 解題中 注意充分利用已知及圖上已知例4如圖，已知：AB是OO的直徑，點C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在 AB的延長線上.求證：DC是O O的切線證明：連結(jié)OC、BC. OA=OC ,./ A= / 仁/30°. OBC是等邊OB=BC.D/ BOC= / A 又 OC=OB , OB=BD , OB=BC=BD.OC丄CD. DC是O O的切線.

5、說明：此題是根據(jù)圓周角定理的推論 3證明 垂直的，此題解法頗多，但這種方法較好.例5如圖，AB是O O的直徑，CD丄AB , 且 OA2=OD OP.求證：PC是O O的切線/ oa2=od OP，證明：連結(jié)OC 0C2=0D OP,OC OPOD OC又I/仁/ 1, OCP sODC./ OCP= / ODC./ CD 丄 AB ,/ OCP=9O° PC是O O的切線.說明：此題是通過證三角形相似證明垂直的例6 如圖，ABCD是正方形，G是BC延 長線上一點，AG交BD于E,交CD于F.求證：CE與厶CFG的外接圓相切.分析：此題圖上沒有畫出 CFG的外接圓， 但厶CFG是直角

6、三角形，圓心在斜邊 FG的 中點，為此我們?nèi)G的中點O,連結(jié)OC, 證明CE丄OC即可得解.證明：取FG中點O,連結(jié)OC. _0是FG的中點，0是Rt CFG的外心.OC=OG ,:丄 3= / G , AD II BC ,:丄 G= / 4. AD=CD , DE=DE , / ADE= / CDE=45°, ADE CDE (SAS)./ 4二/ 1,/ 仁/3./ 2+/3=90°,/ 1 + / 2=900.即CE丄OC.CE與厶CFG的外接圓相切二、若直線I與O O沒有已知的公共點，又 要證明I是O O的切線，只需作OA丄l, A為 垂足，證明OA是O O的半徑

7、就行了，簡稱：“作垂直；證半徑”例7如圖，AB=AC，D為BC中點，O D求證：AC與O D相切. 證明一：A是垂足.TBC與AB切于E點.連結(jié)DE，作DF丄AC , AB是O D的切線DE丄AB.DF 丄 AC ,丄 DEB= / DFC=9O0. AB=AC ,/ B= / C.又 BD=CD , BDE BA CDF (AAS ) DF=DE.F在O D上.AAC是O D的切線 h 證明二：連結(jié)DE , AD，作D/1 AC , F是 垂足- AB與O D相切，一T icDE丄AB.V 丿 AB=AC , BD=CD ,/仁/2.DE丄AB , DF丄AC , DE=DF.F在O D上.

8、AC與O D相切.說明：證明一是通過證明三角形全等證明 DF=DE的，證明二是利用角平分線的性質(zhì)證 明DF=DE的，這類習題多數(shù)與角平分線有關(guān).例8 已知：如圖，AC , BD與O O切于A、B，且 AC II BD，若/ COD=90°.求證：CD是O O的切線.證明一：連結(jié)OA，OB，作OE丄CD，E 為垂足. AC，BD與O O相切,班 AC 丄 OA，BD £ OB. / AC II BD，(f)/ 1 + /2+Z 3+4=180°./ COD=9°°，Od:丄 2+Z 3=90°，/ 1 + Z 4=90°./

9、4+Z 5=90°./仁/5. Rt AOC s Rt BDO.AC OC OB OD ./ OA=OB ,.AC OC OA OD '又/ CAO= / COD=90°, AOC sODC ,/仁/2.又 OA丄AC , OE丄CD, OE=OA.E點在O O上. CD是O O的切線.證明二：連結(jié)OA , OB，作OE丄CD于E, 延長DO交CA延長線于F. AC , BD 與;"O-7相切，7、X 7 I AC 丄 OA , BD /QB. AC II BD ,/ F= / BDO.又 OA=OB , AOF BOD (AAS) OF=OD./ COD

10、=9O°, CF=CD，/ 1 = / 2. 又 OA丄AC , OE丄CD , OE=OA. E點在O O上. CD是O O的切線.證明三：連結(jié)AO并延長，作 OE丄CD于E，取CD中點F，連結(jié)OF. AC與O O相切， AC丄A。廠十兔 AC / BD， AO 丄 BD.( BD與O O相切于B， AO的延長線必經(jīng)過點B.' AB是O O的直徑.AC II BD, OA=OB , CF=DF ,OF II AC ,/ 仁/COF./ COD=900, CF=DF ,OF -CD CF2 'Z 2=Z COF.Z 仁 Z 2.OA 丄 AC , OE 丄 CD ,OE