真空中靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算

1、真空中靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算張貴銀任何帶電體都要在空間激發(fā)電場(chǎng)，靜止帶電體激發(fā)的電場(chǎng)稱(chēng)為靜電場(chǎng)，靜電場(chǎng)的空間 分布通過(guò)物理量電場(chǎng)強(qiáng)度來(lái)描述，靜電場(chǎng)的有源無(wú)旋性通過(guò)與電場(chǎng)強(qiáng)度相關(guān)聯(lián)的高斯定理和場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理來(lái)體現(xiàn)。 所以電場(chǎng)強(qiáng)度是靜電學(xué)部分最重要、最基本的一個(gè)概念， 對(duì)于給定的任一帶電體，了解和掌握其電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算方法具有重要的實(shí)際意義。場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算是靜電學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算方法進(jìn)行了歸納、總結(jié)。一、迭加法電場(chǎng)強(qiáng)度的基本特性之一就是可迭加性，該特性提供了計(jì)算任意帶電體場(chǎng)強(qiáng)的基本方法迭加法，該方法的基本思想是：以熟知的點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式E 乞?yàn)榛A(chǔ)，當(dāng)4“0r帶電體系由若干個(gè)分離的點(diǎn)電荷組成時(shí)，

2、 直接應(yīng)用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式， 進(jìn)行矢量迭加，即得空 間場(chǎng)強(qiáng)的分布；當(dāng)帶電體電荷連續(xù)分布時(shí)， 將帶電體視為由無(wú)數(shù)個(gè)電荷元組成， 電荷元激發(fā) 的場(chǎng)強(qiáng)由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式描述，無(wú)數(shù)個(gè)電荷元場(chǎng)強(qiáng)的迭加，即整個(gè)帶電體激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度。例1、一帶電細(xì)線(xiàn)彎成半徑為R的半圓形，電荷線(xiàn)密度為= 0sin '，式中 0為一常數(shù)，-為半徑R與X軸所成的夾角，如圖 1所示。 試求環(huán)心o處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：在處取電荷元，如圖 2,其電量為 dq = f； dl = f； 0 Rsin d它在o點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為dq o si n d dE24m0RH0R在x、y軸上的二個(gè)分量 dEx = -dEcosdEy 一dEsin對(duì)各

3、分量分別求和Ex+osin cosd，。Ey.08 oR圖2E =Exi Ey j 二-8 oR迭加法求場(chǎng)強(qiáng)的一般步驟是：首先在帶電體上選取適當(dāng)?shù)碾姾稍?，?xiě)出電荷元在場(chǎng)點(diǎn)激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度，若各電荷元在場(chǎng)點(diǎn)激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，將電荷元在場(chǎng)點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)直接積分即得帶電體在場(chǎng)點(diǎn)激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度；反之，需將電荷元在場(chǎng)點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)沿選取的正交方向進(jìn)行分解，對(duì)場(chǎng)強(qiáng)分量積分得總場(chǎng)強(qiáng)的分量，進(jìn)而獲得待求點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。 原則上,利用迭加法，可計(jì)算任何帶電體激發(fā)的電場(chǎng)分布，主要困難是積分的運(yùn)算。二、高斯定理法場(chǎng)源電荷分布的對(duì)稱(chēng)性決定著場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)電荷分布具有特殊對(duì)稱(chēng)性時(shí)利用高斯定理可方便地求出場(chǎng)強(qiáng)。例2、

4、 均勻帶電球面內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布。設(shè)球面半徑為 R,所帶總電量為 Q。解：由題意知，電荷分布具有球?qū)ΨQ(chēng)性， 所以場(chǎng)強(qiáng)的分布亦具有球?qū)ΨQ(chēng)性，場(chǎng)強(qiáng)的方向沿著徑向，且在以球心為圓心的各球面上的場(chǎng)強(qiáng)處處相等?？蛇x同心球面為高斯面。如圖3所示，當(dāng)r R時(shí)，高斯面內(nèi)電荷為 Q,通過(guò)高斯面的電通量2e = E dS = EdS =4二r Es%昨根據(jù)高斯定理：尬e =4r2E =Q / ；0E"R4二；0r當(dāng)r : R時(shí)，高斯面內(nèi)電荷為0該例題代表著法，只要帶電體電荷分布具有球?qū)ΨQ(chēng)性（均勻帶電球體、均勻帶電球殼等），則場(chǎng)強(qiáng)的分布亦具有球?qū)ΨQ(chēng)性?？蛇x取同心球面形狀高斯面求場(chǎng)強(qiáng)分布。利用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的一

5、般步驟是：首先根據(jù)電荷分布的對(duì)稱(chēng)性分析場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱(chēng)性，然后根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)對(duì)稱(chēng)性分布的特征選取適當(dāng)?shù)母咚姑妫詈罄酶咚苟ɡ砬蟪鲭妶?chǎng)強(qiáng)度。利用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)分布， 通常電荷分布呈現(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性包括：球?qū)ΨQ(chēng)性（均勻帶電球體、均勻帶電球殼等）、柱對(duì)稱(chēng)性（無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體、無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面等）、面對(duì)稱(chēng)性（無(wú)限大均勻帶電平面）。三、場(chǎng)勢(shì)關(guān)系法電勢(shì)是標(biāo)量，迭加法計(jì)算電場(chǎng)中電勢(shì)的分布比計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的分布簡(jiǎn)便的多。對(duì)給定的電荷分布，若電勢(shì)分布比較易于計(jì)算或電勢(shì)分布已知時(shí)，可先計(jì)算電勢(shì)的空間分布，然后利用E - U求出場(chǎng)強(qiáng)分布。例3、計(jì)算均勻帶電圓環(huán)軸線(xiàn)上任一點(diǎn)P的電勢(shì)。已知圓環(huán)帶電量為 q,半徑為R解：在帶電圓環(huán)

6、上取電荷元 dq，如圖4所示，電荷元在P點(diǎn)激發(fā)電勢(shì)：dUdq4二；°r整個(gè)帶電圓環(huán)在 P點(diǎn)激發(fā)電勢(shì):q4二 0r即:U(z)二q14二；o(z2R2) 2所以P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度:E = *u =_k=qZk&4m0(R2+z2)32四、補(bǔ)缺法有些帶電體具有一定的規(guī)則缺陷，求解該類(lèi)帶電體的場(chǎng)強(qiáng)分布，行之有效的方法是補(bǔ)缺法，該方法的基本思想是：先將原帶電體的規(guī)則缺陷補(bǔ)全，使之成為一個(gè)完整的規(guī)則帶電體， 再在原帶電體的規(guī)則缺陷處疊加一個(gè)與原帶電體缺陷形狀相同但帶異號(hào)電荷的規(guī)則帶電體，也就是說(shuō)，將原帶電體視為由兩個(gè)帶異號(hào)電荷的規(guī)則帶電體疊加而成，原帶電體激發(fā)的電場(chǎng)與兩個(gè)規(guī)則帶電體分別激發(fā)的電場(chǎng)疊加等同。而對(duì)兩個(gè)規(guī)則帶電體， 其激發(fā)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)分布已知或易于求解，這樣可簡(jiǎn)化原場(chǎng)強(qiáng)的求解。例4、在半徑為Ri，電荷體密度為 匸的均勻帶電球體內(nèi)，挖去 一個(gè)半徑為R2的球體空腔，空腔中心。2與帶電球體中心Oi間的距 離為b,且Ri>b>R2,如圖5所示。求空腔內(nèi)任一點(diǎn)p的電場(chǎng)強(qiáng)度E。解：這是一個(gè)電荷非對(duì)稱(chēng)分布的問(wèn)題，不能直接用高斯定理求 解。但半徑為 Ri的球和半徑為 R2的空腔是球?qū)ΨQ(chēng)的，利用這一特 點(diǎn)，把帶電體看成半徑為 Ri的均勻帶電+ t的球體與半徑為 R2的 均勻帶電-t的球體迭加，這相當(dāng)于空腔處補(bǔ)上電荷體密度分別為R2 t和-?的兩個(gè)球體，這時(shí)空腔內(nèi)