固體物理總復(fù)習(xí)資料及答案..-共20頁

1、固體物理總復(fù)習(xí)題、填空題1 .原胞是 的品格重復(fù)單元。對(duì)于布拉伐格子，原胞只包含一個(gè)原子。2 .在三維晶格中，對(duì)一定的波矢q,有 支聲學(xué)波，支光學(xué)波。3 .電子在三維周期性品格中波函數(shù)方程的解具有 形式，式 中 在晶格平移下保持不變。4 .如果一些能量區(qū)域中，波動(dòng)方程不存在具有布洛赫函數(shù)形式的解，這些能 量區(qū)域稱為 ;能帶的表示有 、 三種圖式。5 .按結(jié)構(gòu)劃分，晶體可分為 大晶系，共 布喇菲格子。6 .由完全相同的一種原子構(gòu)成的格子，格子中只有一個(gè)原子，稱為 格子，由若干個(gè)布喇菲格子相套而成的格子，叫做 格子。其原胞中有 以上的原子。7 .電子占據(jù)了一個(gè)能帶中的所有的狀態(tài)，稱該能帶為 ;沒有

2、任何電 子占據(jù)的能帶，稱為 ;導(dǎo)帶以下的第一滿帶，或者最上面的一個(gè)滿 帶稱為 ;最下面的一個(gè)空帶稱為 ;兩個(gè)能帶之間，不允許存 在的能級(jí)寬度，稱為 。8 .基本對(duì)稱操作包括, , 三種操作。9 .包含一個(gè)n重轉(zhuǎn)軸和n個(gè)垂直的二重軸的點(diǎn)群叫 。10 .在晶體中，各原子都圍繞其平衡位置做簡諧振動(dòng)，具有相同的位相和頻率， 是一種最簡單的振動(dòng)稱為。11 .具有品格周期性勢場中的電子，具波動(dòng)方程為。12 .在自由電子近似的模型中, 隨位置變化小,當(dāng)作 來處理。13 .晶體中的電子基本上圍繞原子核運(yùn)動(dòng)，主要受到該原子場的作用，其他原子場的作用可當(dāng)作 處理。這是晶體中描述電子狀態(tài)的模型。14 .固體可分01

3、5 .典型的晶格結(jié)構(gòu)具有簡立方結(jié)構(gòu)，, , 四種結(jié)構(gòu)。16 .在自由電子模型中，由于周期勢場的微擾，能量函數(shù)將在K=處斷開，能量的突變?yōu)?。17 .在緊束縛近似中，由于微擾的作用，可以用原子軌道的線性組合來描述電 子共有化運(yùn)動(dòng)的軌道稱為,表達(dá)式為。18 .愛因斯坦模型建立的基礎(chǔ)是認(rèn)為所有的格波都以相同的 振動(dòng),忽略了頻率間的差別，沒有考慮 的色散關(guān)系。19 .固體物理學(xué)原胞原子都在 ,而結(jié)晶學(xué)原胞原子可以在頂點(diǎn)也可以在 艮P存在于 020 .晶體的五種典型的結(jié)合形式是 、21 .兩種不同金屬接觸后，費(fèi)米能級(jí)高的帶 電，對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的是的電子。22 .固體能帶論的三個(gè)基本假設(shè)是： 、 023 .

4、費(fèi)米能量與 和 因素有關(guān)。二、名詞解釋1.聲子；2.;布拉伐格子；3.布里淵散射；4.能帶理論的基本假設(shè).5.費(fèi)米能；6.晶體的晶面；7.喇曼散射；8.近自由電子近似。9.晶體；10.布里淵散射；11.晶格；12.喇曼散射；三、簡述題1 .試說明在范德瓦爾斯結(jié)合、金屬性結(jié)合、離子性結(jié)合和共價(jià)結(jié)合中，哪 一種或哪幾種結(jié)合最可能形成絕緣體、導(dǎo)體和半導(dǎo)體。2 .什么是聲子？聲子與光子有什么相似之處和不同之處？3 .什么是德拜溫度？它有什么物理意義？4 .試敘述原子能級(jí)與能帶之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。5 .簡述Bloch定理，解釋簡約波矢k的物理意義，并闡述其取值原則。6 .試說明晶體結(jié)合的基本類型及其特點(diǎn)？7

5、 .共價(jià)結(jié)合中為什么有“飽和性"和“方向性”？8 .什么是晶體熱容的愛因斯坦模型和德拜模型？比較其主要結(jié)果。9 .什么是晶體振動(dòng)光學(xué)支和聲學(xué)支格波？它們有什么本質(zhì)上的區(qū)別？10 .近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點(diǎn)？它們有相同之處？11 .金屬晶體的結(jié)合力是什么？ 一般金屬晶體具有何種結(jié)構(gòu)，最大配位數(shù)為多少？12 .德拜模型在低溫下理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合相對(duì)較好但是仍存在偏差，其產(chǎn)生偏差的根源是什么？13 .原子間的排斥作用取決于什么原因？14 .在能帶頂，電子的有效質(zhì)量m*為什么為負(fù)值？試解釋其物理意義。15 .試述固體物理學(xué)原胞和結(jié)晶學(xué)原胞的相似點(diǎn)和區(qū)別 ？16 .根據(jù)結(jié)合力的

6、不同，晶體可分為幾種類型其各自的結(jié)合力分別是什么？17 .愛因斯坦模型在低溫下理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在偏差的根源是什么？18 .什么是“空穴”？簡述空穴的屬性。四、推導(dǎo)題1 .對(duì)一維簡單格子，按德拜模型，求出品格熱容，并討論高、低溫極限。2 .對(duì)二維簡單格子，按德拜模型，求出品格熱容，并討論高、低溫極限。3 .推導(dǎo)一維單原子鏈的色散關(guān)系4 .推導(dǎo)一維雙原子鏈的色散關(guān)系五、計(jì)算題1 .已知鋁為三價(jià)金屬，原子量為 27,密度為2.7g/cm3,金屬鋁在T= 0 K下的 費(fèi)米波矢、費(fèi)米能和費(fèi)米速度。2 .已知電子在周期場中的勢能為1U(x)= m0 b - (xna),當(dāng) na-b M x M na+

7、b 時(shí)2|U (x) = 0,當(dāng)(n - 1)a b 一 x 一 na - b時(shí)其中：a=4b,8為常數(shù)。(1)畫出勢能曲線，并求出其平均值；(2)用近自由電子模型求出此晶體的第 1及第2個(gè)禁帶寬度。3 .用緊束縛模型，試求解(1)面心立方點(diǎn)陣s態(tài)電子的緊束縛能帶；(2)證明在k=0附近等能面刎為.球璐而，并計(jì)算有效質(zhì)量 m.其中：Es(k) = Es +Cs- J' e 中的Eat,Cs,J均為已知，且在k=0.一.1Rn1 1 O附近時(shí)，即 ka<<1 時(shí)，coskxa 電 1 (一 kxa)22 24.在一維復(fù)式格子中，如果m = 5M1.67M10'kg ,

8、 M = 4, P=15N/m,計(jì)算: m1)光學(xué)波頻率的最大值Cax和最小值0：in,聲學(xué)波頻率的最大值6Aax；2)相應(yīng)聲子的能量Emax、Emin 和 EAax；3)(20 分)1一 cos ka -cos2ka8如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā)8:x的聲子所用的電磁波波長在什么波5 .已知半導(dǎo)體GaAs具有閃鋅礦結(jié)構(gòu)，Ga和As兩原子的最近距離d = 2.45X10-10m。試求：(1)品格常數(shù)；(2)固體物理學(xué)原胞基矢和倒格子基矢；(3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距；(4)密勒指數(shù)為(110)和(171)晶面法向方向間的夾角6 .已知一維晶格中電子的能帶可寫成E(k ) = &#

9、163;ma2 8式中a是晶格常數(shù)，m是電子的質(zhì)量，求:(1)能帶寬度(AE = Emax - Em.)；(2)電子的平均速度。7 .利用緊束縛方法處理體心立方晶體中 S態(tài)電子的能帶，求出:(1) S態(tài)電子的能帶E(k)(2)求出能帶頂和能帶底處的電子的有效質(zhì)量。六、證明題1. 試證明倒格子原胞的體積為(2n)3/Vc,其中Vc為正格子原胞的體積。2. 證明：倒格子矢量G=h1b,+h2b2+h3b3垂直于密勒指數(shù)為(hhhs)的晶面3. 試證明體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。七、說明題1 .原子結(jié)合成晶體時(shí)，原子的價(jià)電子產(chǎn)生重新分布，從而產(chǎn)生不同的結(jié)合力， 試分析說明離子性、共價(jià)性、

10、金屬性和范德瓦耳斯性結(jié)合力的特點(diǎn)。2 .布洛赫電子論作了哪些基本近似？它與金屬自由電子論相比有哪些改 進(jìn)？固體物理總復(fù)習(xí)題答案一、填空題1.最小；1 2.3; 3n 33.中 £) = 81X)； uHr)4.禁帶(帶隙)；擴(kuò)展能區(qū)圖式法；簡約布里淵區(qū)圖式法；周期性能區(qū)圖式法 5. 7; 14 6 .布 喇菲；復(fù)式；兩個(gè) 7 .滿帶；空帶；價(jià)帶；導(dǎo)帶；帶隙8.平移；旋轉(zhuǎn)；反 演-299.雙面群 10.簡正振動(dòng)11.V2 +V(r)y (r) = E(r) 12. 周期勢2m場；微擾13.微擾；緊束縛14.晶體；非晶體；準(zhǔn)晶體15.體心立方；面心立方；六角密排 16. K= n ; 2

11、Vn 17.原子軌道線性組合法；a5(F)=£ am?(r-Rm) 18.頻率；格波 m19.頂點(diǎn)；面心、體心；20.離子結(jié)合；共價(jià)結(jié)合；金屬結(jié)合；范德瓦爾斯結(jié) 合；氫鍵結(jié)合 21 .正；費(fèi)米面附近22.絕熱近似；單電子近似；周期場近似 23.電子密度；溫度二、名詞解釋1 .晶格振動(dòng)中格波的能量量子。每個(gè)振動(dòng)模式的能量均以 壇 為單位，能量遞 增為-整數(shù)倍一一聲子的能量，一個(gè)格波就是一個(gè)振動(dòng)模式，對(duì)應(yīng)一種聲子。2 .由11a +12扇+13-確定的空間格子。3 .當(dāng)光與聲學(xué)波相互作用，散射光的頻率移動(dòng)0 0很小，大約在107 -3父1010 赫，稱為布里淵散射。4 . (1)絕熱近似

12、：將固體分開為電子系統(tǒng)及離子實(shí)系統(tǒng)的一種近似方法；(2)單電子近似(自洽場近似)：利用哈特里 ?？朔椒▽⒍嚯娮訂栴}歸結(jié)為單電子問題；(3)周期場近似：假定單電子勢場具有與品格同樣的平移對(duì)稱性。5 .電子按泡利不相容原理，能量從低至高填充，所達(dá)到的最高能級(jí)。6 .在布拉伐格子中作一族平行的平面，這些相互平行、等間距的平面可以將所有的格點(diǎn)包括無遺，這些相互平行的平面稱為晶體的晶面。7 .當(dāng)光與光學(xué)波相互作用，頻率移動(dòng)大約在 3父1010-3父1013赫，稱為喇曼散 射。8 .假定周期場的起伏比較小，作為零級(jí)近似，可以用勢場的平均值V代替V(x), 把周期起伏V(x) V】做為微擾來處理。9 .晶體

13、是由完全相同的原子、分子或原子團(tuán)在空間有規(guī)則地周期性排列構(gòu)成的固體材料。10 .當(dāng)光與聲學(xué)波相互作用，散射光的頻率移動(dòng)忖'-可很小，大約在 107 -3父101°赫，稱為布里淵散射。11 .晶體中的原子是規(guī)則排列的，用幾組平行直線連接晶體中原子形成的網(wǎng)絡(luò)，稱為品格。12 .當(dāng)光與光學(xué)波相互作用，頻率移動(dòng)大約在 3M1010 -3父1013赫，稱為喇曼散射。三、簡述題1 .試說明在范德瓦爾斯結(jié)合、金屬性結(jié)合、離子性結(jié)合和共價(jià)結(jié)合中，哪一種 或哪幾種結(jié)合最可能形成絕緣體、導(dǎo)體和半導(dǎo)體。答：離子晶體主要依靠正負(fù)離子之間的靜電庫侖力而結(jié)合，結(jié)合力較強(qiáng)，結(jié)構(gòu)甚為穩(wěn)定，結(jié)合能較大，因此，

14、導(dǎo)電性能差，這種結(jié)合可能形成半導(dǎo)體和絕緣 體。共價(jià)結(jié)合的晶體為原子晶體，是由兩原子之間一對(duì)自旋相反的共有化電 子形成的，具結(jié)合力較強(qiáng)，導(dǎo)電性能差，這種結(jié)合可能形成半導(dǎo)體和絕緣體。 金屬性結(jié)合的晶體，原子失去價(jià)電子而成為離子實(shí)，價(jià)電子為全體離子實(shí)所 共有，金屬性結(jié)合就是價(jià)電子與離子實(shí)之間的相互作用而形成的，結(jié)合能較 小，易形成導(dǎo)體。范德瓦爾斯結(jié)合的晶體為分子晶體，這種結(jié)合是一種弱的 結(jié)合，電離能大，易形成絕緣體。2 .什么是聲子？聲子與光子有什么相似之處和不同之處？答：品格振動(dòng)的能量是量子化的，把晶格振動(dòng)能量的量子稱為聲子。聲子與光子相類似，凡是應(yīng)用到光子上的理論，幾乎都可以應(yīng)用到聲子上，相同

15、之處是它們都是波色子，碰撞過程中能夠被產(chǎn)生、或被消滅，能量的交換 是一份一份的，即能量是量子化的。不同之處是聲子只代表振動(dòng)的機(jī)械狀 態(tài)，而不具有動(dòng)量。光子可以在真空中傳播，而聲子只能在介質(zhì)中傳播。3 .什么是德拜溫度？它有什么物理意義？答：德拜彈性波模型的截止頻率0m按/關(guān)系式換算得到的溫度OD稱為德 kB拜溫度。熱容量的特征完全由德拜溫度確定，它近似地代表經(jīng)典比熱理論 適用的高溫范圍同低溫適用的低溫范圍的分界溫度?？梢源致缘刂甘境銎?格振動(dòng)頻率的數(shù)量級(jí)。4 .試敘述原子能級(jí)與能帶之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。答：原子能級(jí)與能帶之間存在著兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系，一是簡單的對(duì)應(yīng)，原子的各不同能級(jí)在固體中將產(chǎn)生一系列相應(yīng)

16、的能帶， 低能級(jí)的能帶較窄，高能級(jí) 的能帶較寬。二是在形成晶體的過程中，不同原子態(tài)之間有可能相互混和， 使對(duì)應(yīng)關(guān)系變的比較復(fù)雜，可認(rèn)為主要是由幾個(gè)能級(jí)相近的原子態(tài)相互結(jié)合 而形成能帶，能帶發(fā)生了明顯的重疊。5 .簡述Bloch定理，解釋簡約波矢k的物理意義，并闡述其取值原則。答：在晶體周期性勢場中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是按品格周期調(diào)幅的平面波，即電子的波函數(shù)具有如下形式,k(r) = eikr(r)k(r) -k(r Rn)其中k為電子的波矢，Rn為格矢，上述理論稱為布洛赫定理。平移算符和能量算符是對(duì)易算符，具有相同的本征態(tài)，為了使平移算符在 波矢k的某個(gè)范圍內(nèi)，一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)于一個(gè)波函數(shù)，我們把

17、波矢限制在-k,- i范圍內(nèi)，這一區(qū)域稱為簡約布里淵區(qū)。在此范圍內(nèi)的波矢，我們 < 2 2 J稱為簡約波矢。6 .試說明晶體結(jié)合的基本類型及其特點(diǎn)？答：晶體中的原子之所以能夠結(jié)合成具有一定幾何結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定晶體，是由于原子之間存在著結(jié)合力，而這種結(jié)合力與原子的結(jié)構(gòu)有關(guān)，不同類型的原子之間具有不同性質(zhì)的結(jié)合力，由于結(jié)合力的性質(zhì)不同，晶體會(huì)具有不同 類型的結(jié)合。一般晶體的結(jié)合可以概括為離子性結(jié)合、共價(jià)結(jié)合、金屬性 結(jié)合和范德瓦爾斯結(jié)合四種基本形式。離子晶體的典型品格中，正、負(fù)離子相間排列，作用力的總效果為庫侖引力，具有結(jié)構(gòu)很穩(wěn)定、導(dǎo)電性能差、 熔點(diǎn)高、硬度高、膨脹系數(shù)小的特點(diǎn)；共價(jià)結(jié)合的晶體是一

18、對(duì)近鄰原子相 互靠近，波函數(shù)交疊，形成共價(jià)鍵，具有飽和性和方向性；金屬性結(jié)合是 共有化的價(jià)電子與離子實(shí)之間的價(jià)鍵結(jié)合，結(jié)構(gòu)密排，具有熔點(diǎn)高、硬度 高、導(dǎo)電、導(dǎo)熱性能好、無飽和性和方向性等特點(diǎn)；范德瓦爾斯結(jié)合產(chǎn)生 在原來穩(wěn)定電子結(jié)構(gòu)的原子或分子之間，結(jié)合后仍保持原來的電子結(jié)構(gòu)， 具有結(jié)合力小、熔 點(diǎn)很低、硬度很小的特點(diǎn)。7 .共價(jià)結(jié)合中為什么有“飽和性"和“方向性” ？答：設(shè)N為一個(gè)原子的價(jià)電子數(shù)目，對(duì)于IV A, VA, VIA, VHA族元素，價(jià)電子 殼層一共有8個(gè)量子態(tài)，最多能接納（8-N）個(gè)電子，形成（8-N）個(gè)共價(jià)鍵。 這就是共價(jià)結(jié)合的“飽和性”。共價(jià)鍵的形成只能在特定的方向

19、上，這些 方向是配對(duì)電子波函數(shù)的對(duì)稱軸方向，在這個(gè)方向上交迭的電子云密度最 大。這就是共價(jià)結(jié)合的“方向性”。8 .什么是晶體熱容的愛因斯坦模型和德拜模型？比較其主要結(jié)果。答： 愛因斯坦模型是假設(shè)晶體中的所有原子都以相同的頻率 00 ,作相互獨(dú) 立的振動(dòng)。德拜模型是把晶體看作各向同性的連續(xù)介質(zhì)， 格波視為彈性波， 色散關(guān)系為直線。愛因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別， 假設(shè)過于簡單， 理論值的關(guān)系與實(shí)驗(yàn)值不符。德拜模型在低溫時(shí)，熱容決定于最低頻率的 振動(dòng)，理論值與實(shí)驗(yàn)值相符。9 .什么是晶體振動(dòng)光學(xué)支和聲學(xué)支格波？它們有什么本質(zhì)上的區(qū)別？答：在一維雙原子的簡單復(fù)式晶格中，求解原子的運(yùn)動(dòng)方程。對(duì)應(yīng)于

20、每一個(gè)q值，都有頻率8和切+的兩類振動(dòng)，且與十與_ ,對(duì)應(yīng)于缶+的格波稱為光學(xué)分支的格波。對(duì)應(yīng)于勺格波稱為聲學(xué)分支的格波。對(duì)于光學(xué)分支的格波，相鄰兩不同原子的振動(dòng)方向相反。而對(duì)于聲學(xué)分 支的格波，相鄰兩原子的振動(dòng)方向相一致，且在長波情況下，聲學(xué)分支的格 波與彈性波相一致。10 .近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點(diǎn)？它們有相同之處？解：所謂近自由電子模型就是認(rèn)為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況，而緊束縛模型則認(rèn)為電子在一個(gè)原子附近時(shí)， 將主要受到該原子場的作用，把其它原 子場的作用看成微擾作用。這兩種模型的相同之處是：選取一個(gè)適當(dāng)?shù)木哂姓?交性和完備性的布洛赫波形式的函數(shù)集，然后將電子的波函數(shù)在所

21、選取的函數(shù) 集中展開，具展開式中有一組特定的展開系數(shù)， 將展開后的電子的波函數(shù)代入 薛定川方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，可以得到一組各展開系數(shù)滿 足的久期方程。這個(gè)久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構(gòu)。11 .答：金屬晶體的結(jié)合力為原子實(shí)與電子云之間的靜電庫侖力，其一般具有面心立方結(jié)構(gòu)及六角密積結(jié)構(gòu)，配位數(shù)為 12。12 .答：它忽略了晶體的各向異性；忽略了光學(xué)波和高頻聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)， 光學(xué)波和高頻聲學(xué)波是色散波，它們的關(guān)系式比彈性波的要復(fù)雜的多。13 .答：兩部分原因：帶正電荷的原子核之間的庫侖排斥力；原子或正

22、負(fù)離子的閉合電子殼層相互交疊時(shí)，由泡利不相容原理而產(chǎn)生的排斥力。14 .答：晶體中的電子除受外場力，還和品格相互作用，設(shè)外場力為F,品格對(duì)電子的作用力為Fi ,電子的加速度a=1（F+Fi ）, Fi體具體形式難以得知，m為了不顯含F(xiàn)i ,則只有a=上，品格作用越小，有效質(zhì)量與真實(shí)質(zhì)量相差越小， m當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時(shí)，與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對(duì)電子散射 作用最強(qiáng)烈。使得加速度與外場力的方向相反，有效質(zhì)量為負(fù)。15 .答：固體物理學(xué)原胞是只考慮周期性的最小的重復(fù)單元，而晶胞是同時(shí)計(jì)及周期性與對(duì)稱性的盡可能小的重復(fù)單元。兩者都體現(xiàn)了晶體結(jié)構(gòu)的周期性，但 是結(jié)晶學(xué)原胞還要考慮到對(duì)稱性

23、，所以其體積往往是固體物理學(xué)原胞的幾倍。 固 體物理學(xué)原胞原子都在頂點(diǎn)，而結(jié)晶學(xué)原胞原子可以在頂點(diǎn)也可以在面心、 體心 即存在于原胞內(nèi)部。16 .答：晶體根據(jù)結(jié)合力不同分為五種晶體類型。離子晶體（正負(fù)離子間靜電庫侖力）分子晶體（范德瓦爾斯力）金屬晶體（電子云和原子實(shí)之間的靜電庫侖力）共價(jià)晶體（共價(jià)鍵）氫鍵晶體（氫鍵作用）17 .答：愛因斯坦模型建立的基礎(chǔ)是認(rèn)為所有的格波都以相同的頻率振動(dòng)，忽略 了頻率間的差別，沒有考慮格波的色散關(guān)系。18 .答：空穴：空缺一個(gè)狀態(tài)的能帶的電流猶如由一個(gè)帶正電荷 e,具有空缺態(tài) 電子的速度的“粒子”對(duì)電流的貢獻(xiàn)。這一粒子稱為“空穴”空穴的屬性：帶正電荷e速度為缺

24、失狀態(tài)電子的速度，有效質(zhì)量為正，數(shù)值等于該電子有效質(zhì)量的絕對(duì)值。四、推導(dǎo)題1 .解：德拜模型格波為彈性波，色散關(guān)系為：0=cq,1 .dq = 一 d，cd«內(nèi)包含的振動(dòng)模式數(shù)目為:dZ =2 模式密度：g( )2 二dZ Ldq = - d 1二 c, m利用： g( )d -0d- mL-do 二 cN是原子總數(shù)得冗二c ma晶格熱容: m=kB .(02 e務(wù)小丁缶 )7T)(')d'KbT(eKbT，(e其中QDCv；m kBLkBT®:二 c 0 (ex -1)2 dxe'/kBT.一 E72 d '_ I),在二維波矢空間內(nèi)，格波

25、等2 .解：德拜模型格波為彈性波，色散關(guān)系為 s =2 頻線是一個(gè)個(gè)圓周，在qT q+dq區(qū)間內(nèi)波矢數(shù)為:Sc，dZ =2 2二qdq(2 二)模式密度：dg()=呸=S 2d 2；二維介質(zhì)由兩支格波，總模式密度:S -g( ) =2nv-1)-m格波振動(dòng)能：E =.0品格熱容：CvQ mS K(KT1m其中： g( )d '二mS令x= kT其中。D'' 'mSkHVd“ J % 0 (e-1)2dx高溫極限：ex ： 1 x與經(jīng)典理論一致。低溫極限：0D /T 二x 20(e -1)dx = 6：(3)(常數(shù))Cv - AT2在低溫下二維品格的熱容量與溫度的

26、平方成正比。3 .解：只考慮臨近原子相互作用，第n個(gè)原子所受的總作用力fn.：Un二 2Un第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程d2d?Un=_ - 2un _ UnJ Un 1設(shè)解的形式為:un 二 Aeiqn1運(yùn)動(dòng)方程- M-2-e'qa- eiqa2.二21。cos qa J .i=M4一：in2回sin12 ).qasin 一 24 .解：質(zhì)量為 M的原子位于2n-1 , 2n+1 , 2n+3質(zhì)量為m的原子位于2n, 2n+2 ,2n+4一 1-1mM4mM . 2 1/2, 2 sin aq (m M )2運(yùn)動(dòng)方程為：M2n+ = P（2Ln+ - N2n書Ln ）；M2n-2n 1 -2

27、n2n 1設(shè)方程解的形式：/2n =Aei"-2naqlffi因?yàn)镸 >m,復(fù)式格子中不同原子振動(dòng)的振幅一般來說是不同的。將J2n 1 =Bei"；n.1aql帶回到運(yùn)動(dòng)方程得到:-m 2A = Yeiaq e"aq )B -2 : A = (2 -m 2)A-(2 1 cosaq)B =0-M (m M)4mM . 2 ,1/2,.二1 1 ；sin aq mM(m M)2B = Yeiaq eJaq)A-2 -B = -(2 - cosaq)A (2 ' M 2)B =0若A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足:2 : - m, 2-2 cosac-2

28、 ： cosaq 2 ： - M 22： (m M )4mM . 2,1/2, = 1 二1 -2 sin aq mM(m M )2五、計(jì)算題1解：由題設(shè)可得金屬鋁的電子濃度為：2.723233293n =3 ( 6.02 10 )=1.8 10 (cm )=1.8 10 (m )KF 二(3二2n)1/3 二(3 二 2 1.8 1029)1/3 =1.75 1010(m)2kF2m3410 2(1.0546 101.75 10 )18 1- =1.87 10 J = 11.7ev2 9.11 10Vf(1.0546 10 24 1.75 1010)319.11 10= 2.03 106m/

29、s2.解：(1)該周期場的勢能曲線如下所示:IIIU12. 2 mb-7b -5b-3b-'b3b5b x其勢能平均值為:-beU (x)dxU -U 一dxbU(x)dx2bbdx12 22-m (b - x )dx424b12, 2=一 m b6(2)根據(jù)近自由電子模型，此晶體的第 1及第2個(gè)禁帶寬度為Ei=2Ui*2=25其中U1和U 2表示周期場U(x)的展開成傅立葉級(jí)數(shù)的第一和第二個(gè)傅立葉系數(shù)。于是有U142 7；'.4b U ( )dMe1 /.2 2i2 4b 1222 4m b4b m (b - )d =2二3U2=工be4b -3b-i-2 '.4b

30、U( )d4b*2 , ,2. 2T2 4b 1.222 m b4b m，(b )d =222 二故此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為E1 =2U13.解：(1)一 2 28m b3JIE2 =2U22, 2 m b近鄰利用緊束縛模型計(jì)算能帶 Es(k) = Eat Cs - J" eik,R r,對(duì)Rn于面心立方點(diǎn)陣，S態(tài)電子波函數(shù)來說，交迭積分相等，原點(diǎn)的最近鄰位 aaa八R = 2(±1,±1,0),2(±1,0,土1)”(0,±1,土1) (3分)將最近鄰的12個(gè)格點(diǎn)的格矢代入公式:近鄰 ttEs(k) = E；t Cs-J- eikRnR

31、n三 E；t Cs - 4J(cos； kxacos； kya1,1,1,1,、cos-kvacos-kza cos- kzacos- kxa)2 y2 z2 z 2 x(2)在k<<1的極限下，將cos1 kxa等用泰勒級(jí)數(shù)展開21112cos kxa =1 - -(- kxa) + 取一級(jí)近似，得22 2Es(k) = E：t CS -12J Jk2 *a2顯然，Es(k)與k的方向無關(guān)，即等能面為球形。有效質(zhì)量m一2-2.:k24.解：1)聲學(xué)波的最大頻率:A 2 -maxM,max =3 1014 rad. s光學(xué)波的最大頻率：Oax=0.2M0ax = 5. M =6.7

32、 1014rad s光學(xué)波的最小頻率：n2 -0=6 1014 rad sm2)相應(yīng)聲子的能量A maxO maxO,minEOmaxeamaxEM =0.198eV；Oax ,EOax = 0.442eV maxEOin=%Oin, Emin=0.396eV3)因?yàn)镋Oax =0.442eV ,對(duì)應(yīng)電磁波的波長為 九=2.8Nm要激發(fā)8 Oax的聲子所用的電磁波波長在近紅外線波段 一Ga原子口 As原子解：(1)由題意可知，GaAs的晶格為復(fù)式面心 立方品格，其原胞包含一個(gè)Ga原子和一個(gè)As原子, 其中Ga原子處于面心立方位置上，而 As原子則處 于立方單元體對(duì)角線上距離 Ga原子1/4體對(duì)

33、角線 長的位置上，如左圖所示：a .3由此可知：d = -a4故 a =gd =g><2.45Ml0,0m=5.59Ml0,0m .3:3(2)由于GaAs的空間點(diǎn)陣為面心立方結(jié)構(gòu)，故其固體物理學(xué)原胞基矢為:a 1 =a(j +k) =2.795M10,0(j+k)a2 =a(k +i) =2.795父10,°(k +i)a3 =|(i +j) =2.795x100(i + j)其倒格子基矢為:2iio=一(i j k) =1.124 10 (-i j k) a2.io=Ji -j k) =1.124 10 (i -j k) a2二0(i j k) =1.124 10,0

34、(i j -k) a(3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距為:duo2 二2 二K iio|1 b 1 +1 b2 +0 b3a _-40=a =2.795 10 m2(4)根據(jù)倒格子矢的性質(zhì)可知，密勒指數(shù)為(110)和(111)晶面法向方向間的夾角即為倒格子矢K 110和K俏之間的夾角，設(shè)為a ,則有:=arccosK110 K 111(1 b 11 b2 0 b3H1 b1 -1 b2 1 b3)K110 K 1111b 1 +1 b2 +0 b川1 b1 -1 b=arccos(-0.3015) = 107.556.解（1）dk-22 ma-2當(dāng) k=0, E(k)= - ma7-11

35、 ;。，Emin二0-2當(dāng)k=n/a, E(k )=2 ma能帶寬度:E =Emax - Em.d 122182 ， maE max222 ma2 22 ma、kEk1dk-2 2maaasin ka - - sin 2ka4sin ka 一1sin2ka 47.解：（1）根據(jù)緊束縛模型,S帶的能量:Es k =飛-A-Js"eikR1Rn為最近鄰格點(diǎn)1asin ka - - 2a sin 2ka = 01. c csinka -sin2ka = 04.,1. , csin ka - sin kacoska = 02sinka = 0對(duì)體心立方，最近鄰的原子有8個(gè)，即a±-

36、,±,±-222代入上式，有:Es k =飛-A-Jseee y尹 ga 號(hào)a j+e,Fata.a Lei ya 電與 j+eHa 母尹；ii:s _A -2Js cos- kxa kya kzacos- - kxa kya kza1 .1.1coskxa-kvak7acoskxakvak7a12 x y z2 x y zAC.cl,1 . cl,1,-A - 2 J s 2 cos kya kza cos- kxa 2 cos- kxa cos kya kzakya；cos1kza)y J <2 JIL 2 y222 y-A -8J Scosi 1kxa cosi

37、1 22(2)根據(jù)Es k -A -8JS cos -2在 kx =ky =kz =0 即 r(0,0,0)處,Es(k )最小為能帶底Es = ；s -A-8Js,，2n一.在 H ,0,0 |處，Es(k)最大<a Jkyai'kza、'.cos.I22 J為能帶頂Emax = ；s-A 8Js.:E k=4Jsasin:kxc2E(k)I 23=2Jsa cos氐；s' kxa，icoskyacosU-Usin:kx：:ky在帶底T(0,0,0)處,有xx一2lE/fkj一22Jsa2*mxy一2-E/FkxFky*myy-2二 mzz = mxx2Jsa2*mvz = mxz -yzxz在帶頂H2元,0,01a*mxx一2 一2f2E/fk2 = -2Jsa2*mxy-22 -一-E/*x：ky*myy*= mzz*2=mxx = -22Jsa2*myz*=m"證明題1.證明：倒格子基矢為:a2 a3a3 aib = 2 n3R = 2n; b3 = 2ai a2a3ai a2 a3aia2ai a2a3倒格子體積：Vc; =b,(b2 b3) =(2 二)3 a