數(shù)列通項(xiàng)公式及其求和公式

1、、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法(1)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,求通項(xiàng)an；(2)數(shù)學(xué)歸納法：先猜后證(3)疊加法(迭加法)：an(anam)(an1an2)Lai)向；疊乘法(迭乘法)：anan an 1 an 2a3 a2aan 1 an 2 an 3a2 a1【疊加法主要應(yīng)用于數(shù)列把這個(gè)式子變成an 1 an 滿足 an 1 an an f(n),代入各項(xiàng),f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可 得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，1b1b2222可求出an,從而求出Sn!(4)構(gòu)造法(待定系數(shù)法)：形如ankan 1b、an kan 1 bn (k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列;

2、n項(xiàng)和.】【用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和：所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)的特征，構(gòu)造出我們熟知的基本數(shù)列的通項(xiàng)的特征形式，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)或前(5)涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決.【根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)公式的常見類型】用累加法求通項(xiàng)公式，即a1=a,an+1anf(n)型，其中f(n)是可以和數(shù)列，af(n1)f(n2ffa類型1：an1anf(n)思路(疊加法)an an 1 f (n 1),依次類推有：an 1 an 2f (n 2)、斗 2 0 3 f(n 3)、a2ai f ,將各式疊加并整理得n 1an a1f(n),即 ani 1ain

3、1f(n)i 1例題1:已知a11 ， an求an解：: an an 1anan 1n ,依次類推有:41421、& 2 4 3 n 2、包 a1將各式疊加并整理得anainn， ani 2n(n 1)2類型2：an1panf(n)思路(轉(zhuǎn)化法)an pa, 1 f (ni),遞推式兩邊同時(shí)除以annpai1n 1f(n 1)npan,我們令up那么問題就可以轉(zhuǎn)化為類型一進(jìn)行求解了例題：已知a12,an14an2n1,求an解：:an14an2nan4an12n，則今4nan14n1,依此類推有bn1bn2、bn2bn3，各式疊加得bnbl，即bnbi.an4nbanf(n)f(n)是可求積數(shù)

4、求通項(xiàng)anf(n1)f(n2)f(2)f(1R類型3：an1f(n)an思路（疊乘法）：且anf（n1）,依次類推有:盟f(nan22)、anan3f(n3）、a2a1f(1),將各式疊乘并整理得ana1f(1)f(2)f(3)f(n2)f(n1),anf(1)f(2)f(3)f(n2)f(n1)ai例題：已知a11，n1，求an.解：an11ananan1,依次類推有:an1an2anana3a2a2a11a11將各式疊乘并整理得anan43n(n1)a1=a,an+1panq型（其中出q是常數(shù)）,可以采用待定系數(shù)法、換元法求通項(xiàng)公式,p(an六）,設(shè)bnan言則bn1pbn.利用的方法求出

5、bn進(jìn)而求出an類型4：anpanq（其中p、q是常數(shù)）1時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列；當(dāng)p0,q0時(shí)，數(shù)列an是等比數(shù)列;0且p1,q0時(shí)，可以將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為an1-q-pan-q-,則數(shù)列p1p1是以q一為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列.a11思路（構(gòu)造法）：設(shè)an1pan，即p1q得q,數(shù)列an是以a1為P1首項(xiàng)、p為公比的等比數(shù)列，則anqaiqpn1,即ana-qpn1-q-p1p1p11p例題：已知數(shù)列an滿足an2an13且a11,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：設(shè)an12an，即3,a11，數(shù)列an3是以a134為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列an342n12n1,即an2n13ai=a,an+1pa

6、n qn型，其中 p q是常數(shù)且q0,q 1,衛(wèi)。,設(shè)之bn,則411 q q q q qq q即化為.類型5:nan+1 pan rq思路（構(gòu)造法）：anpan rqan1n 1qq p，則 n 1，從而解得n n I1 q rqPqrp q那么an是以亙nq P q q P q例題：已知a1 1, anan 1解：.設(shè)an亙4nn 122包 1是以1 1 12n 32 3 6p為公比的等比數(shù)列 q21則n n 1，解得1 2n2n 11 a為公比的等比數(shù)列，即 an22n1一2,13n 11 1 12n 1一 一an 3 6 23an+1an型，其中p、q是常數(shù)且an0,可以采用等式兩邊取

7、倒數(shù)panq類型6：an1can(c0)dpan_-1思路（轉(zhuǎn)化法）：對(duì)遞推式兩邊取倒數(shù)得an1Pancand1d1,那么an1Can，令bnc1、,這樣,an問題就可以進(jìn)行求解了例題：已知a14,an12an2an解：.對(duì)遞推式左右兩邊取倒數(shù)得an12an2an11一即一an1an令-anbn則bn12bn1.設(shè)bn1數(shù)列bn2是以7為首項(xiàng)、41，-為公比的等比數(shù)列，則2bn22n1，即bn2n27-2n1，2n1an廠7aanb類型7：an1(c0、adbc0)cand思路（特征根法）：遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為aX-b即CX2(da)Xcxdb0.當(dāng)特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根X1X21時(shí)，數(shù)列a

8、n11為等差數(shù)列，我們可設(shè)adan2cOn1ad2can1，,1一（為待定系數(shù),ad2c可利用a1、O2求得）；當(dāng)特征方程有兩個(gè)不等實(shí)根X1、X2時(shí),數(shù)列ananXiX2是以工匕1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，我們可設(shè)aa1X2anXiX2an1(為待定系數(shù),a1X2可利用已知其值的項(xiàng)間接求得）；當(dāng)特征方程的根為虛根時(shí)數(shù)列an通項(xiàng)的討論方法與上同理，此處暫不作討論.，什1例題：已知a12an4an13(nan122),求an解：當(dāng)n2時(shí)，遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為4x3日口2x即x2x22x30,解得X11、x23一an數(shù)列an1是以a1為首項(xiàng)的等比數(shù)列ax223設(shè)an_J1n1,由a11得222則3an32

9、3,即an1an 33n 113n 1,從而 an#1，an3n 13n,n 11,n10g 2 3(q 1)* anq(q 1)另外，還有必要熟練掌握一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.正整數(shù)和公式有:二、數(shù)列求和的幾種常見方法數(shù)列問題中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是高考用來考查考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法理解程度的良好素材，是歷年高考的一大熱點(diǎn)，在高考命題中，多以與不等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn)，一般數(shù)列的求和，主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，因此，我們有必要對(duì)數(shù)列求和的各種方法進(jìn)行系統(tǒng)探討.1、公式求和法通過分析判斷并證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列后，可直接利用等差、等比數(shù)列的求和公式

10、求和，或者利用前n個(gè)正整數(shù)和的計(jì)算公式等直接求和.運(yùn)用公式求解的注意事項(xiàng)：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算.特別地，注意數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)需要討論q1和q1的情況.等差數(shù)列求和公式：Snn(a1an)nan(n1)d22na1等比數(shù)列求和公式：Sna1(1qn)nk2n(n1)(2n1)；nk31n(n1)2k16k12例1、已知數(shù)列 f n的前n項(xiàng)和為Sn ,且Sn 列an的前n項(xiàng)和Tn.分析：根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系入手求出 f2n2n.右 a1f 1 , an 1 f an n N ,求數(shù)n ,再根據(jù)an1 f an ( n N )求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式后，

11、確定數(shù)列的特點(diǎn)，根據(jù)公式解決解：當(dāng)n2時(shí)，fnSnSn12n1.當(dāng)n1時(shí)，f1S13,適合上式fn2n1nN,af13,an12an1nN，即an112(an1)，數(shù)列an1是首項(xiàng)為4、公比為2的等比數(shù)列.n1n1cn123n1n2.an1a1122,an21nN；Tn222n2n4.【能力提升】公式法主要適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列的求和，一些綜合性的數(shù)列求和的解答題最后往往就歸結(jié)為一個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題1變式訓(xùn)練1：已知log3x，求xxxx的刖n項(xiàng)和.變式訓(xùn)練2：設(shè)512n(nN*),求f(n)S的最大值.(n32)012、倒序相加法.我們在學(xué)知識(shí)時(shí),如果

12、一個(gè)數(shù)列an,與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法不但要知其果，更要索其因，知識(shí)的得出過程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類知識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”Sa1a2Snanan 1an 1 ann 1 n則a2 A2Sna1ana2an 1A an例2、已知函數(shù)F x3x 22x1 -1一.求 F 22009F 22009F 20082009分析：由所求的和式的特點(diǎn), 用倒序相加法求和.易想到探究：和為1的兩個(gè)自變量函數(shù)值的和是否為常數(shù).從而確定可否3x 22x

13、31 x 221 x 13.，設(shè)S F-200920092008八 .S200920082009F 20072009F20092S200820092200920072009F 200820093 20086024，所以S3012.變式訓(xùn)練1：求sin21sin22sin2 3sin2 88 sin 289的值【能力提升】倒序相加法來源于課本，是等差數(shù)列前項(xiàng)和公司推導(dǎo)時(shí)所運(yùn)用的方法，它是一種重要的求和方法.當(dāng)求一個(gè)數(shù)列的有限項(xiàng)和時(shí),若是“與首末兩端等距離”的兩項(xiàng)和都相等，即可用此法例3:已知f (x)f(2)f(3)f(4)解：;由f (x)2x1 x211 x2原式 f(1)f(2)f(3)f

14、(4)變式訓(xùn)練2:如已知函數(shù)f(x)對(duì)任意xCR都有f(x)n f(0)f(-) nf(2) nf () +,nf()nf(U)f(1)*N )，求 Snf(x)2x1 x2f (1) f (2) f (2008)11f(2) 叼f(20083、裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng),使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.般地，我們把數(shù)列的通項(xiàng)分成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求c得其和.適用于類似 (其中an是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，C為常數(shù))的數(shù)列，以及部分無anan 1理數(shù)列和含階乘的數(shù)列等.用裂項(xiàng)法求需要掌握些常見的裂項(xiàng)方法(2n1)( 2n

15、1)2 2n 12n 1k)%)是公差為d的等差數(shù)列,1akak解：;ak akdakTnakaka1a2a1a1a2a2a3a3a4anan 1分析：根據(jù)給出的遞推式求出數(shù)列a21, a223 an ,再根據(jù)a35二，an353an23an的特點(diǎn)拆項(xiàng)解決an 1anan 1解：.由已知條件，得an 2 an 1an 1an22、，an以a2 a1 一為首項(xiàng)，一為公比33的等比數(shù)列，故an1anan a1a2 a1a3 a2Lanan 1anan12Tn 4a1a2223a2 a33a3a4n23anan 1【能力提升】用裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是先將形式復(fù)雜的式子轉(zhuǎn)化為兩個(gè)式子的差的形式因此需要

16、掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧.變式訓(xùn)練1：在數(shù)列an中，anlbn2一，求數(shù)列bn an a n 1的前n項(xiàng)的和.變式訓(xùn)練:2 :求和:變式訓(xùn)練3:求和：d 11S 1 12 12112 1. 3, 2L 31 214.3J3 L n1.n 1. n4、錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式.即若在（差比數(shù)列）anbn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求出前n項(xiàng)和.例題：Sn12x3x24x3nxn1xSnx2x23x34x4n1xn1nxn一1xSn1xx2xn1nxnn.，-1xnxnn1當(dāng)x1時(shí)，S

17、n3，當(dāng)x1時(shí)，Sn123n1x1x2【能力提升】錯(cuò)位相減法適用于數(shù)列anbn，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.若等比數(shù)列bn中公比q未知，則需要對(duì)公比q分q1和q1兩種情況進(jìn)行分類討論.11一一一例6、已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a1一,公比為q的等比數(shù)列，設(shè)bn2310g1annN，數(shù)44列Cn滿足Cnanbn.求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Sn.分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可以知道數(shù)列bn為等差數(shù)列，這樣數(shù)列Cn就是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列,因而可考慮用錯(cuò)位相減法來解決解：:由題意知,anbn3log1 an42,故 bn3nSn13n3n4Sn3n3n 3;兩式相減，得Sn43n

18、3nc 2 3n 2Sn 變式訓(xùn)練求Sn1 2x3x24x3nnx變式訓(xùn)練2、若數(shù)列an的通項(xiàng) an (2n 1)3n ,求此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.變式訓(xùn)練3、求數(shù)列2,3,2,，空，前n項(xiàng)的和.2222232n5、（分組）拆項(xiàng)求和法（裂項(xiàng)重組法）所謂裂項(xiàng)重組法就是針對(duì)一些特殊的數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以通過拆分、合并、分組，將所求和轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和例7、已知數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an 分析：該數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等比數(shù)列 等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列進(jìn)行分組求和2n 3n 1,求數(shù)列2n與一個(gè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.3n 1組成的，所以可將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)【解析】Sna1a22252n3n 1=21222nc .21 2n3n 1 .=1 2n 2 3n 1n 1=22.【能力提升】在求和時(shí),定要認(rèn)真觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果它能拆分成幾項(xiàng)的和，而這些項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就可以用此方法求和例8、數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn n N ,若數(shù)列an的各項(xiàng)按如下規(guī)則排歹U ：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1一,一,一,一,一, 23344455556，若存在自然數(shù)kk N ，使Sk 10,Sk 1 10,則ak分析：數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律是分母為 可以并項(xiàng)求解.2的一項(xiàng),分母為3的兩項(xiàng),分母為4的三項(xiàng),，故這個(gè)數(shù)列的和解：