2007年溫州中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷

1、2007年溫州中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷（A卷）說(shuō)明:1、 本卷滿分150分;考試時(shí)間：110分鐘.2、 請(qǐng)?jiān)诖鹁砑埳洗痤}.3、 考試結(jié)束后,請(qǐng)將試卷、答卷紙、草稿紙一起上交.一、選擇題（每小題6分，共計(jì)36分）1、方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2、某班進(jìn)行一次標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)試，試卷由25道選擇題組成，每題答對(duì)得4分，不答得0分，答錯(cuò)扣1分那么下列分?jǐn)?shù)中不可能的是（ ）A95B89C79D75第3題圖3、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列6個(gè)代數(shù)式：、中，其值為正的式子的個(gè)數(shù)是（ ）A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)4、兩個(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液，在一個(gè)瓶子中酒精與水的容積之比是，而在另一個(gè)瓶子

2、中是，若把兩瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精與水的容積之比是（ ）ABCD5、已知直角三角形有一條直角邊的長(zhǎng)是質(zhì)數(shù)，另外兩條邊長(zhǎng)是兩個(gè)自然數(shù)，那么它的周長(zhǎng)是（ ）ABCD第6題圖6、如圖，ABC中，AB=AC，A=40°，延長(zhǎng)AC到D，使CD=BC，點(diǎn)P是ABD的內(nèi)心，則BPC=（ ）A145°B135°C120°D105°二、填空題：（共6小題，每題6分，共36分）7、設(shè)直線與坐標(biāo)軸所構(gòu)成的直角三角形的面積為，則 8、已知方程無(wú)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 9、已知，則 第10題圖10、如圖，電路中有4個(gè)電阻和一個(gè)電流表A，若沒(méi)有電流通過(guò)電流表A，

3、問(wèn)電阻器斷路的可能情況共有 種？11、已知為正整數(shù)，若，當(dāng)m最小時(shí)分?jǐn)?shù) 第12題圖12、如圖所示，在中，已知BD=2DC，AM=3MD，過(guò)M作直線交AB,AC于P,Q兩點(diǎn)則 三、解答題（共6題，共78分）13、（本題滿分12分, 共2小題）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，且ABC的面積求的取值范圍；若分別為一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位數(shù)字，求出所有這樣的兩位數(shù)14、（本題滿分12分, 共3小題）第13題圖如圖，在半徑為6，圓心角為90° 的扇形OAB的上，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，PHOA，垂足為H，OPH的重心為G設(shè)PH= x，SPGH = y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.PGH的

4、面積是否有最大值？如果有，求出最大面積，并求出此時(shí)PH的長(zhǎng)度；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由如果PGH為等腰三角形，試求出線段PH的長(zhǎng)15、（本題滿分12分，共2小題）2001年某月某日午夜，某校師生收看在莫斯科即將產(chǎn)生的2008年夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市的電視現(xiàn)場(chǎng)直播，結(jié)果北京獲得主辦權(quán)，欣喜之余，他們發(fā)現(xiàn)：在場(chǎng)的師生人數(shù)恰是該天日數(shù)，男生數(shù)就是該月月數(shù)，且?guī)煛⑸?、月、日?shù)皆為質(zhì)數(shù)，男生數(shù)多于教師數(shù)，男生數(shù)多于女生數(shù)，女生數(shù)多于教師數(shù)經(jīng)計(jì)算，學(xué)生數(shù)、月數(shù)、日數(shù)的和與教師數(shù)的差恰是2008年奧運(yùn)會(huì)的屆數(shù)，又知屆數(shù)也是一個(gè)質(zhì)數(shù)試問(wèn)：北京獲2008年奧運(yùn)會(huì)主辦權(quán)是幾月幾日？2008年奧運(yùn)會(huì)是第幾屆？16、

5、（本題滿分12分,共3小題）黑板上有三個(gè)正整數(shù)（不計(jì)順序）允許進(jìn)行如下的操作：擦去其中的任意一個(gè)數(shù)，寫(xiě)上剩下的兩個(gè)數(shù)的平方和如：擦去，寫(xiě)上，這次操作完成后，黑板上的三個(gè)數(shù)為問(wèn)：當(dāng)黑板上的三個(gè)數(shù)分別為1，2，3時(shí)，能否經(jīng)過(guò)有限次操作使得這三個(gè)數(shù)變?yōu)?6，57，58（不計(jì)順序）若能，請(qǐng)給出操作方法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；是否存在三個(gè)小于2000的正整數(shù)，使得它們經(jīng)過(guò)有限次操作后，其中的一個(gè)數(shù)為2007若能，寫(xiě)出正整數(shù)，并給出操作方法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由； 是否存在三個(gè)小于2000的正整數(shù)，使得它們經(jīng)過(guò)有限次操作后，其中的一個(gè)數(shù)為2008若能，寫(xiě)出正整數(shù)，并給出操作方法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；17、（本

6、題滿分15分）如圖，已知O2交O1于A、B兩點(diǎn)，且過(guò)O1的圓心O1，AC是O1的弦，直線CB交O2于點(diǎn)D（異于A、B）求證：DO1AC18、（本題滿分15分）已知為實(shí)數(shù)，且，一元二次方程的兩根為試求的值數(shù)學(xué)答卷紙題號(hào)一二三總分1314151617得分評(píng)卷人一、 選擇題（每小題6分，共計(jì)36分）題號(hào)123456答案二、 填空題（每小題6分，共36分）7、 8、 9、 10、 11、 12、 三、 解答題（共6題，共78分）得分評(píng)卷人13、（本題滿分12分,共2小題）得分評(píng)卷人14、（本題滿分12分,共3小題）得分評(píng)卷人15、（本題滿分12分, 共2小題）得分評(píng)卷人16、（本題滿分12分，共3小題

7、）得分評(píng)卷人17、（本題滿分15分）得分評(píng)卷人18、（本題滿分15分）備 用 題二次函數(shù)的圖像上兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為，O是坐標(biāo)原點(diǎn)如果AOB是直角三角形，求AOB的周長(zhǎng)解：A()，B()，由勾股定理，OA邊最短1°若OB為斜邊，則OB2 = OA2 + AB2，即得，AOB的周長(zhǎng)為；2°若AB為斜邊，則AB2 = OA2 + OB2，即，得，AOB的周長(zhǎng)為評(píng)注：較易，但容易漏一種情況，可考慮作靠前的解答題！說(shuō)明：本份試卷較去年題目來(lái)說(shuō)，選擇題難度降低了一些；填空題相當(dāng)或略高；解答題相當(dāng)；但運(yùn)算量及技巧有所提高。整體難度應(yīng)與去年持平。本試卷對(duì)主干知識(shí)、基本數(shù)學(xué)思想、主要數(shù)

8、學(xué)方法覆蓋較好。應(yīng)有較好的信度、效度及區(qū)分度?？梢缘脑挘褂煤蠓答佉幌滦Ч?。數(shù)學(xué)試卷答案 一、 選擇題（每小題6分，共計(jì)36分）題號(hào)123456答案CBADCA1答案：C，分類(lèi)討論去絕對(duì)值符號(hào)之后再求解之；另外，可以借助圖像法；2答案：B3答案：A，由圖像可知a <0，且，從而，又，令得，令得；4答案：D，由比例性質(zhì)，5答案：C：6答案：A，連結(jié)PD，由內(nèi)心性質(zhì)知BPD=90° +A，又BCD=90° +A，從而B(niǎo)、D、C、P四點(diǎn)共圓易知，D=35°，故BPC=180°35° =145°二、 填空題（每小題6分，共36分）7答案

9、：，直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為，故；8答案：m<18，由絕對(duì)值的幾何意義知，函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故由方程無(wú)解，得9答案：，另解：由，得代入計(jì)算，較煩！10答案：11種，分類(lèi)討論：若最右邊的電阻斷路，則左邊并聯(lián)的三個(gè)電阻，無(wú)論斷路與否，電流表沒(méi)有電流通過(guò)，共8種情況；若最右邊的電阻通路，則左邊并聯(lián)電阻將斷路，共3種情況11答案：，若均為正整數(shù)，且，求m最小時(shí)的分?jǐn)?shù)由題意知nb>ma，mc>nd，可設(shè)（為正整數(shù)），解得，當(dāng)時(shí)，又互質(zhì)，故12解：法1：（特殊值法）考慮到P、Q的任意性，取點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，由梅涅勞斯定理，有，又，；法2：延長(zhǎng)QP交BC于點(diǎn)N，利用梅

10、涅勞斯定理可得三、解答題（共6題，共78分）13解：設(shè)，則是方程的兩個(gè)不同的實(shí)根有，又點(diǎn)C的縱坐標(biāo)因此，即，故由知，因?yàn)楸?除余數(shù)為0或1，故被4除余數(shù)也為0或1從而這兩個(gè)方程中符合題意的整數(shù)解有故所求兩位數(shù)為23，65，34，8614解：延長(zhǎng)PG交OH于點(diǎn)D，PG:GD = 2:1，SPGH =SPOH =SPOH 由勾股定理得OH；，令，則，是關(guān)于t的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)，即當(dāng)PH=時(shí)，PGH有大面積3；延長(zhǎng)HG交OP于點(diǎn)E，則HE =OP = 3，HG =HE = 2，又DH =OH =，DP =，PH =DP =PGH為等腰三角形，有三種可能情況：1°GP = P

11、H，即解得；2°GP = GH，即解得，不合；3°PH = GH，即綜上，若PH為2或時(shí)，PGH為等腰三角形15解：設(shè)教師數(shù)為，學(xué)生數(shù)為，月數(shù)為，日數(shù)為，女生數(shù)為，奧運(yùn)會(huì)屆數(shù)為f，由題意得在中，由皆為質(zhì)數(shù)，故中必有偶質(zhì)數(shù)2，又，；在中，由為質(zhì)數(shù)，故中必有一個(gè)是偶數(shù)，由得為偶數(shù)；又，c = 3, 5, 7,11當(dāng)時(shí)，由知無(wú)解；當(dāng)時(shí)，由及“為偶數(shù)”得，不合；當(dāng)時(shí)，由及“為偶數(shù)”得或若，則，不合；若，則，當(dāng)時(shí)，由及“為偶數(shù)”得若，則，不合；若，則，不合；若，則，不合；若，則，不合綜上，答：北京獲得2008年奧運(yùn)會(huì)主辦權(quán)是2001年7月13日，2008年奧運(yùn)會(huì)是第29屆注：該題只給

12、出答案而沒(méi)有相應(yīng)過(guò)程，不應(yīng)給分！16解：不能；當(dāng)黑板上的三個(gè)數(shù)為1、2、3時(shí)，不論進(jìn)行哪種操作都不能改變3個(gè)數(shù)的奇偶性，即三個(gè)數(shù)必為2個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù)，因此不能變?yōu)?6、57、58。不能；若能，則2007一定可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，即又任意一個(gè)自然數(shù)m，必有，所以，而，因此不可能不能；若能，由知，因?yàn)?，不妨設(shè)（其中m、n為正整數(shù)），因此又任意一個(gè)自然數(shù)m，必有，所以，而，因此不可能17解證：連接，因?yàn)?，四點(diǎn)共圓，為等腰的角平分線18解：由已知，得及是方程的兩根而方程的兩根為，解得，于是，題設(shè)方程可化為由是方程的兩根，則，且由得，從而顯然，將兩邊分別除以得而備 用 題二次函數(shù)的圖像上兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為，O是坐標(biāo)原點(diǎn)如果AOB是直角三角形，求AOB的周長(zhǎng)解：A()，B()，由勾股定理，OA邊最短1°若OB為斜邊，則OB2 = OA2 + AB2，即得，AOB