第09章習(xí)題解

1、第9章真空中的靜電場(chǎng)9.1 兩個(gè)電量都是 q的點(diǎn)電荷分別固定在真空中兩點(diǎn) A、B，相距2a。在它們 連線的中垂線上放一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷，q到A、B連線中點(diǎn)的距離為r。求q所 受的靜電力，并討論q在A、B連線的中垂線上哪一點(diǎn)受力最大？假設(shè) q在A、B的中垂線上某一位置由靜止釋放，它將如何運(yùn)動(dòng)？分別就q與q同號(hào)和異號(hào)兩種情況進(jìn)行討q論。解：亡丹F 2F1 cosqq r2 32022 2a r 2方向沿兩點(diǎn)電荷連線垂直線遠(yuǎn)離它們方向人dF 門令 0dr12 2 2 22dF qqdr 2a r 2 a 2r302 2 3a r2r20.2a2在q為正電荷時(shí)，在中垂線某位置由靜止釋放時(shí)，q將沿中垂

2、線遠(yuǎn)離，作變加速 速直線運(yùn)動(dòng)；假設(shè)q為負(fù)電荷，q以AB連線的中點(diǎn)為平衡位置作振動(dòng)；假設(shè)釋放點(diǎn)為 AB連線中點(diǎn)，靜止釋放時(shí)，無論q為正、負(fù)電荷均因受力為0而不運(yùn)動(dòng)。9.2 在正方形的頂點(diǎn)上各放一個(gè)點(diǎn)電荷 q。 1證明放在正方形中心的任意點(diǎn)電荷受力為零。2假設(shè)在正方形中心放一個(gè)點(diǎn)電荷q ,使得頂點(diǎn)上每個(gè)點(diǎn)電荷受到的合力恰好為零，求q與q的關(guān)系解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，正方形上各點(diǎn)電荷對(duì)中心放置的點(diǎn)電荷的作用力大小 均為：F 1 qq 1 qq2 24 0 、22 0 aa2q所受到的四個(gè)力大小相等且對(duì)稱， 兩相對(duì)頂點(diǎn)上的點(diǎn)電荷為一對(duì)平衡力， 即q受力 為0。qq汽一幵 : / : : / : 用q :

3、 : / : :/ :z :設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)上放置的點(diǎn)電荷q為正電荷，由于對(duì)稱性，那么可選一個(gè)&Q頂點(diǎn)處理，其它點(diǎn)電荷對(duì)其的作用力大小為:Fii qq4 o a2i_qq40 2a2i qq24 01 2qq4 o a2各力的方向如下圖，要滿足題意，中心點(diǎn)電荷q應(yīng)為負(fù)電荷。要使頂點(diǎn)上的點(diǎn)電荷所受合力為0,那么F3 F2 2FiCOs45將各量代入q 1 2、E q9.3盧瑟福實(shí)驗(yàn)證明：當(dāng)兩個(gè)原子核之間的距離小到 10 15m時(shí)，它們之間的排斥 力仍然遵從庫侖定律。金原子核中有79個(gè)質(zhì)子，氦原子核即 粒子中有2個(gè)質(zhì)子 質(zhì)子帶電量為1.60 10 19C， 粒子質(zhì)量為6.68 10 27kg .當(dāng)

4、 粒子與金原子核相 距6.9 10 15m時(shí)設(shè)這時(shí)它們?nèi)匀豢梢钥闯牲c(diǎn)電荷，求 粒子所受的力及其加速度 的大小。解：金原子核帶電量為：1917Q 79 1.60 101.264 10 C，氦原子核帶電量為:1919q 2 1.60 10 C 3.20 10 C氦原子核受的力和加速度分別為:1 Qq廠71.264 10173.219104 3.14 8.85 10126.9 10 15 2764.3N764.36.68 10 271.14 1029m/s29.4 有一個(gè)電偶矩為p ql的電偶極子，求在軸線延長(zhǎng)線上任一點(diǎn) A的電場(chǎng)強(qiáng) 度。A點(diǎn)到電偶極子中心的距離為r，并且r ? l。r r解：電矩為

5、P ql的電偶極子，由兩個(gè)帶等量異號(hào)的點(diǎn)電荷組成q qe I e-0rrrEa EE由于r9.52.0cm,解:EaEaEaqi40 rq212qi42l_21r2 rl1r2 rl一根不導(dǎo)電的細(xì)塑料棒彎成一個(gè)留有縫隙的圓,圓的半徑為0.5m,縫隙寬塑料棒均勻帶電 3.12 10 9C。求圓心處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向。對(duì)于一無縫隙的均勻帶電圓，由于帶電體具有對(duì)稱性，由場(chǎng)疊加原理可分析得圓心處的場(chǎng)強(qiáng)為0此題彎成圓有縫隙，縫隙之處可以視為同時(shí)帶等量的正電荷和負(fù)電荷。貝U可得圓心處的場(chǎng)強(qiáng)即為縫隙負(fù)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。2 3.14 0.5 0.0293.12 109-,1 10 C/m2 3.14 0.5

6、0.02縫隙負(fù)電荷為11q 0.022 10 C圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為:114 3.14 爲(wèi)010 12 0.528 If c9.6將電荷線密度為的無限長(zhǎng)均勻帶電線分別彎成圖中(a) (b)兩種形狀，設(shè)圓弧半徑為R，求兩圖中0點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。(b)解：由場(chǎng)的疊加原理，此題問題的求解，可將帶電線分段求出各自在考察點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)，再疊加求得。利用教材例9.3的結(jié)果，有:Exsin sin4 oREycos cos4 oR對(duì)于一半無限長(zhǎng)的帶電線，在其-端垂直距離R處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為:y0x，那么有sin4 oRsin4 oREy cos4 oRcos4 oR可見，Ex，Ey的大小相等，即E的方向與y軸成4

7、5，大小為:Ei Z宀對(duì)于弧形帶電線產(chǎn)生的場(chǎng)：Rd，其在圓心處的場(chǎng)強(qiáng)為:如下圖，取弧元，所帶電量為：dqdE1 dq7便d4 oRExdEcos4 oR2 cos do4 oREydEsin4 oR2sin04 oR那么有E2,e2Ey4 oR方向沿45(a)帶電線可視為三段組成,O點(diǎn)處的場(chǎng)為三局部在該處產(chǎn)生的場(chǎng)的疊加。如圖所示，那么有:EoE24 oR方向沿45對(duì)稱方向ABA(b)帶電線可視為四段組成，0點(diǎn)處的場(chǎng)為四局部在該處產(chǎn)生的場(chǎng)的疊加。女口圖所示:由于Ei E2，四局部帶電線產(chǎn)生的場(chǎng)有對(duì)稱性，那么有Eo09.7 求半徑為R、帶電量為Q的均勻帶電球體內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布。解：帶電體為均勻帶電球

8、內(nèi)，其所激發(fā)的場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性。利用高斯定理，取同 心球面為高斯面當(dāng)r R時(shí),即球內(nèi)蜒 dS EdSE4 r1 2 3當(dāng)r R時(shí),即球外蜒dSEdSE4 r2E for0 4 R3 39.8 求半徑為R、面電荷密度為的無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布解：無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面產(chǎn)生的場(chǎng)具有柱面對(duì)稱性，利用高斯定理，取同軸圓柱面為高斯面，所取高斯圓柱面的半徑為r，高度為當(dāng)r R時(shí)，帶電圓柱面內(nèi)r r蜒 dS EdS E2 r I0E 0當(dāng)r R時(shí)，帶電圓柱面外t r r12 R I0蜒E dSEdS E2 r Ior9.9 半徑分別為R和R2 R2R 的一對(duì)無限長(zhǎng)共軸圓柱面上均勻帶電，沿軸 線單位長(zhǎng)

9、度的電荷分別為佇2。 1求空間各區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分布。2假設(shè)!2，情況如何？解：兩個(gè)無限長(zhǎng)共軸圓柱面帶電體所激發(fā)的場(chǎng)具有柱對(duì)稱性，利用高斯定理,取同軸圓柱面為高斯面，所取高斯圓柱面的半徑為 r，高度為I當(dāng)r R時(shí)：r r蜒E dSEdS E2 r I 02 E s d EE21 120 r當(dāng)r R2時(shí)：蜒rdSEdS E2 r l-(1 2)0E31 1 220 r假設(shè)12，那么有E10E2120 rE309.10 1903年，英國(guó)物理學(xué)家湯姆孫根據(jù)實(shí)驗(yàn)，提出了湯姆孫原子模型：原子 的正電荷均勻分布在半徑約為1.0 10 10m的球體內(nèi)，電子那么在正電荷球內(nèi)運(yùn)動(dòng)。1911 年，湯姆孫的學(xué)生盧瑟福根據(jù)

10、粒子散射實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，提出了原子的核式結(jié)構(gòu)模型：原子的正電荷集中在很小約10-15m的范圍內(nèi)，電子那么在核外運(yùn)動(dòng)。在原子范圍內(nèi)， 這兩種原子模型產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度是不同 的。以金原 子為例，它的正電 荷量為Ze 79 1.6 10 191.26 10 17C，它的原子核半徑為6.9 10_15 1按照盧瑟福的原子模型，求金原子核在核的外表上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。2按照湯姆孫的原子模型，金原子的正電荷所能產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的值最大為多少?3根據(jù)上面的計(jì)算，在粒子散射實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)粒子帶電量為+ 2e射向原子時(shí)，它所受的最大靜電力各為多少？解：由高斯定理，取球面高斯面，球面半徑略大于核半徑，那么有,r r21蜒

11、E dSEdS E4 rQin0金原子核外表上場(chǎng)強(qiáng)大小為:1.26 10174 0 r24 3.141215 28.85 106.9 102.38 1021 N C由習(xí)題9.7的結(jié)果1 Qr40 r2可見，r R時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)最大，即1.26 10173.14 8.85 10121.0 10 10 21.13 1013N C盧瑟福原子模型下，粒子所受最大靜電力為:1921F qE 1.6 10 19 2.38 10380 N湯姆孫原子模型下，粒子所受最大靜電力為：19136F qE 1.6 101.13 101.80 10 N9.11 半徑分別為R,和R2 R2R的一對(duì)無限長(zhǎng)共軸圓柱面上均勻帶電，沿

12、軸線單位長(zhǎng)度的電荷分別為、-。分別把電勢(shì)參考點(diǎn)選在無限遠(yuǎn)處和軸線上，求:1離軸線為r處的電勢(shì)。2兩筒間的電勢(shì)差。r RR-irR2rR2解：根據(jù)9.9題的結(jié)果,有120 r0,電勢(shì)參考點(diǎn)選在無限遠(yuǎn)處時(shí)rR2 時(shí),U 01r rR2R21r2UE dlEdrdrInrrr20 r20rrR1 時(shí)，ir rRR1r2UE dlEdrdrInrR1R120 r20R1R2InrRi20R1即UInR2RrR220r0rR2RirR2 時(shí),電勢(shì)參考點(diǎn)選在軸線處時(shí)：or rr R 時(shí)， U E dlrRirR2 時(shí)，o r rU E dlrr R時(shí)，0Edr 0rRiRi1rEdrdrIn -r 2 o

13、r2 0Ri0 r rR1R11UE dIEdrdrrR2R2 20 r20 R0UIn 20Rd20Rr R1R rR2R2r電勢(shì)參考點(diǎn)選在無限遠(yuǎn)處時(shí)，內(nèi)外圓柱面之間的電勢(shì)差為UIn雖2 0R1電勢(shì)參考點(diǎn)選在軸線處時(shí)，內(nèi)外圓柱面之間的電勢(shì)差為UlnR9.12如下圖，AB 2L, OCD是以B為圓心、L為半徑的半圓。A點(diǎn)有正電荷LU 土學(xué)以及勢(shì)的q，B點(diǎn)有負(fù)電荷q。 1將單位正點(diǎn) 電荷從O點(diǎn)沿OCD移動(dòng)到D點(diǎn)，電場(chǎng)力 做了多少功？ 2將單位負(fù)點(diǎn)電荷從D 點(diǎn)沿AD的延長(zhǎng)線移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處，電場(chǎng) 力做了多少功？解：選取無限遠(yuǎn)處為0勢(shì)參考點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì) 疊加原理，可求得:UoUD1 q 1

14、q4 o 3L 4 o L將單位正點(diǎn)電荷從O點(diǎn)沿OCD移動(dòng)到D點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為:q q0U Oq0U D U O U D60L將單位負(fù)點(diǎn)電荷從D點(diǎn)沿AD的延長(zhǎng)線移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處，電場(chǎng)力做功為:q0UD 0 UD 亡9.13 半徑為R的均勻帶電圓盤，電荷面密度為 。利用例9.13的結(jié)果，計(jì)算 軸線上的電勢(shì)分布。并由電勢(shì)求軸線上的電場(chǎng)分布。解：由例9.13的結(jié)果，半徑為r的均勻帶電圓環(huán)在其軸線上產(chǎn)生的電勢(shì)為：1 QUT4 022 2r x 2將帶電圓盤分割為假設(shè)干圓環(huán)，半徑為r，寬為dr圓環(huán)帶電量為:dQ 2 rdr運(yùn)用以上結(jié)果，其在軸線上產(chǎn)生的勢(shì)為：dudQ 4 0 r2X22 rdr2 3X 2

15、2rdr22勺r x 2整個(gè)帶電圓盤在軸線上產(chǎn)生的電勢(shì)為:.R 12rdrU0414 0222rx2d rX2 X2R2x2 x軸上各點(diǎn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為:XR2=x29.14輕原子核結(jié)合成較重的原子核稱為核聚變，核聚變時(shí)能釋放大量的能量。例如，四個(gè)氫原子核質(zhì)子聚變成一個(gè)氦原子核 粒子時(shí)，可釋放出28MeV勺 能量，這種核聚變就是太陽發(fā)光發(fā)熱的能量來源。多年來，人們一直在研究如何實(shí)現(xiàn) 受控核聚變，以解決人類的能源問題。實(shí)現(xiàn)核聚變的困難在于原子核都帶正電荷，相 互排斥，在一般情況下不能相互靠近而發(fā)生結(jié)合。只有在溫度非常高時(shí)，原子核熱運(yùn) 動(dòng)的速度十分快，才能沖破原子核之間的斥力碰到一起，發(fā)生熱核聚變。根據(jù)統(tǒng)計(jì)物3理學(xué)可知，溫度為T時(shí)，粒子的平均平動(dòng)動(dòng)能為3kT，其中k 1.38 10 23J Kt，稱2為玻爾茲曼常數(shù)。質(zhì)子的半徑約為 r=1 10-15m.試計(jì)算兩個(gè)質(zhì)子因熱運(yùn)動(dòng)而到達(dá)相互接觸時(shí)所需的最低溫度。解：質(zhì)子在其外表附近產(chǎn)生的電勢(shì)為:兩個(gè)質(zhì)子要相互接觸，那么質(zhì)子的平動(dòng)能要克服勢(shì)能，即必需滿足3kT qU2T6 okr1.6 106 3.14 8.85 101219231.38 10151 10101.11 10 K9.15 題圖是密立根設(shè)計(jì)的油滴實(shí)驗(yàn)裝置，可以用來測(cè)量小油滴的帶電量并因此 提出基元電荷的數(shù)值。被噴霧器噴