第09章習題解

1、第9章真空中的靜電場9.1 兩個電量都是 q的點電荷分別固定在真空中兩點 A、B，相距2a。在它們 連線的中垂線上放一個電量為q的點電荷，q到A、B連線中點的距離為r。求q所 受的靜電力，并討論q在A、B連線的中垂線上哪一點受力最大？假設 q在A、B的中垂線上某一位置由靜止釋放，它將如何運動？分別就q與q同號和異號兩種情況進行討q論。解：亡丹F 2F1 cosqq r2 32022 2a r 2方向沿兩點電荷連線垂直線遠離它們方向人dF 門令 0dr12 2 2 22dF qqdr 2a r 2 a 2r302 2 3a r2r20.2a2在q為正電荷時，在中垂線某位置由靜止釋放時，q將沿中垂

2、線遠離，作變加速 速直線運動；假設q為負電荷，q以AB連線的中點為平衡位置作振動；假設釋放點為 AB連線中點，靜止釋放時，無論q為正、負電荷均因受力為0而不運動。9.2 在正方形的頂點上各放一個點電荷 q。 1證明放在正方形中心的任意點電荷受力為零。2假設在正方形中心放一個點電荷q ,使得頂點上每個點電荷受到的合力恰好為零，求q與q的關系解：設正方形邊長為a，正方形上各點電荷對中心放置的點電荷的作用力大小 均為：F 1 qq 1 qq2 24 0 、22 0 aa2q所受到的四個力大小相等且對稱， 兩相對頂點上的點電荷為一對平衡力， 即q受力 為0。qq汽一幵 : / : : / : 用q :

3、 : / : :/ :z :設正方形四個頂點上放置的點電荷q為正電荷，由于對稱性，那么可選一個&Q頂點處理，其它點電荷對其的作用力大小為:Fii qq4 o a2i_qq40 2a2i qq24 01 2qq4 o a2各力的方向如下圖，要滿足題意，中心點電荷q應為負電荷。要使頂點上的點電荷所受合力為0,那么F3 F2 2FiCOs45將各量代入q 1 2、E q9.3盧瑟福實驗證明：當兩個原子核之間的距離小到 10 15m時，它們之間的排斥 力仍然遵從庫侖定律。金原子核中有79個質(zhì)子，氦原子核即 粒子中有2個質(zhì)子 質(zhì)子帶電量為1.60 10 19C， 粒子質(zhì)量為6.68 10 27kg .當

4、 粒子與金原子核相 距6.9 10 15m時設這時它們?nèi)匀豢梢钥闯牲c電荷，求 粒子所受的力及其加速度 的大小。解：金原子核帶電量為：1917Q 79 1.60 101.264 10 C，氦原子核帶電量為:1919q 2 1.60 10 C 3.20 10 C氦原子核受的力和加速度分別為:1 Qq廠71.264 10173.219104 3.14 8.85 10126.9 10 15 2764.3N764.36.68 10 271.14 1029m/s29.4 有一個電偶矩為p ql的電偶極子，求在軸線延長線上任一點 A的電場強 度。A點到電偶極子中心的距離為r，并且r ? l。r r解：電矩為

5、P ql的電偶極子，由兩個帶等量異號的點電荷組成q qe I e-0rrrEa EE由于r9.52.0cm,解:EaEaEaqi40 rq212qi42l_21r2 rl1r2 rl一根不導電的細塑料棒彎成一個留有縫隙的圓,圓的半徑為0.5m,縫隙寬塑料棒均勻帶電 3.12 10 9C。求圓心處電場強度的大小和方向。對于一無縫隙的均勻帶電圓，由于帶電體具有對稱性，由場疊加原理可分析得圓心處的場強為0此題彎成圓有縫隙，縫隙之處可以視為同時帶等量的正電荷和負電荷。貝U可得圓心處的場強即為縫隙負電荷產(chǎn)生的場強。2 3.14 0.5 0.0293.12 109-,1 10 C/m2 3.14 0.5

6、0.02縫隙負電荷為11q 0.022 10 C圓心處的電場強度大小為:114 3.14 爲010 12 0.528 If c9.6將電荷線密度為的無限長均勻帶電線分別彎成圖中(a) (b)兩種形狀，設圓弧半徑為R，求兩圖中0點的電場強度。(b)解：由場的疊加原理，此題問題的求解，可將帶電線分段求出各自在考察點處的場強，再疊加求得。利用教材例9.3的結(jié)果，有:Exsin sin4 oREycos cos4 oR對于一半無限長的帶電線，在其-端垂直距離R處產(chǎn)生的電場強度為:y0x，那么有sin4 oRsin4 oREy cos4 oRcos4 oR可見，Ex，Ey的大小相等，即E的方向與y軸成4

7、5，大小為:Ei Z宀對于弧形帶電線產(chǎn)生的場：Rd，其在圓心處的場強為:如下圖，取弧元，所帶電量為：dqdE1 dq7便d4 oRExdEcos4 oR2 cos do4 oREydEsin4 oR2sin04 oR那么有E2,e2Ey4 oR方向沿45(a)帶電線可視為三段組成,O點處的場為三局部在該處產(chǎn)生的場的疊加。如圖所示，那么有:EoE24 oR方向沿45對稱方向ABA(b)帶電線可視為四段組成，0點處的場為四局部在該處產(chǎn)生的場的疊加。女口圖所示:由于Ei E2，四局部帶電線產(chǎn)生的場有對稱性，那么有Eo09.7 求半徑為R、帶電量為Q的均勻帶電球體內(nèi)外的場強分布。解：帶電體為均勻帶電球

8、內(nèi)，其所激發(fā)的場具有球?qū)ΨQ性。利用高斯定理，取同 心球面為高斯面當r R時,即球內(nèi)蜒 dS EdSE4 r1 2 3當r R時,即球外蜒dSEdSE4 r2E for0 4 R3 39.8 求半徑為R、面電荷密度為的無限長均勻帶電圓柱面內(nèi)外的場強分布解：無限長均勻帶電圓柱面產(chǎn)生的場具有柱面對稱性，利用高斯定理，取同軸圓柱面為高斯面，所取高斯圓柱面的半徑為r，高度為當r R時，帶電圓柱面內(nèi)r r蜒 dS EdS E2 r I0E 0當r R時，帶電圓柱面外t r r12 R I0蜒E dSEdS E2 r Ior9.9 半徑分別為R和R2 R2R 的一對無限長共軸圓柱面上均勻帶電，沿軸 線單位長

9、度的電荷分別為佇2。 1求空間各區(qū)域的場強分布。2假設!2，情況如何？解：兩個無限長共軸圓柱面帶電體所激發(fā)的場具有柱對稱性，利用高斯定理,取同軸圓柱面為高斯面，所取高斯圓柱面的半徑為 r，高度為I當r R時：r r蜒E dSEdS E2 r I 02 E s d EE21 120 r當r R2時：蜒rdSEdS E2 r l-(1 2)0E31 1 220 r假設12，那么有E10E2120 rE309.10 1903年，英國物理學家湯姆孫根據(jù)實驗，提出了湯姆孫原子模型：原子 的正電荷均勻分布在半徑約為1.0 10 10m的球體內(nèi)，電子那么在正電荷球內(nèi)運動。1911 年，湯姆孫的學生盧瑟福根據(jù)

10、粒子散射實驗的結(jié)果，提出了原子的核式結(jié)構(gòu)模型：原子的正電荷集中在很小約10-15m的范圍內(nèi)，電子那么在核外運動。在原子范圍內(nèi)， 這兩種原子模型產(chǎn)生的電場強度是不同 的。以金原 子為例，它的正電 荷量為Ze 79 1.6 10 191.26 10 17C，它的原子核半徑為6.9 10_15 1按照盧瑟福的原子模型，求金原子核在核的外表上產(chǎn)生的電場強度的大小。2按照湯姆孫的原子模型，金原子的正電荷所能產(chǎn)生的電場強度的值最大為多少?3根據(jù)上面的計算，在粒子散射實驗中，當粒子帶電量為+ 2e射向原子時，它所受的最大靜電力各為多少？解：由高斯定理，取球面高斯面，球面半徑略大于核半徑，那么有,r r21蜒

11、E dSEdS E4 rQin0金原子核外表上場強大小為:1.26 10174 0 r24 3.141215 28.85 106.9 102.38 1021 N C由習題9.7的結(jié)果1 Qr40 r2可見，r R時，場強最大，即1.26 10173.14 8.85 10121.0 10 10 21.13 1013N C盧瑟福原子模型下，粒子所受最大靜電力為:1921F qE 1.6 10 19 2.38 10380 N湯姆孫原子模型下，粒子所受最大靜電力為：19136F qE 1.6 101.13 101.80 10 N9.11 半徑分別為R,和R2 R2R的一對無限長共軸圓柱面上均勻帶電，沿

12、軸線單位長度的電荷分別為、-。分別把電勢參考點選在無限遠處和軸線上，求:1離軸線為r處的電勢。2兩筒間的電勢差。r RR-irR2rR2解：根據(jù)9.9題的結(jié)果,有120 r0,電勢參考點選在無限遠處時rR2 時,U 01r rR2R21r2UE dlEdrdrInrrr20 r20rrR1 時，ir rRR1r2UE dlEdrdrInrR1R120 r20R1R2InrRi20R1即UInR2RrR220r0rR2RirR2 時,電勢參考點選在軸線處時：or rr R 時， U E dlrRirR2 時，o r rU E dlrr R時，0Edr 0rRiRi1rEdrdrIn -r 2 o

13、r2 0Ri0 r rR1R11UE dIEdrdrrR2R2 20 r20 R0UIn 20Rd20Rr R1R rR2R2r電勢參考點選在無限遠處時，內(nèi)外圓柱面之間的電勢差為UIn雖2 0R1電勢參考點選在軸線處時，內(nèi)外圓柱面之間的電勢差為UlnR9.12如下圖，AB 2L, OCD是以B為圓心、L為半徑的半圓。A點有正電荷LU 土學以及勢的q，B點有負電荷q。 1將單位正點 電荷從O點沿OCD移動到D點，電場力 做了多少功？ 2將單位負點電荷從D 點沿AD的延長線移動到無窮遠處，電場 力做了多少功？解：選取無限遠處為0勢參考點，根據(jù)點電荷產(chǎn)生的電勢 疊加原理，可求得:UoUD1 q 1

14、q4 o 3L 4 o L將單位正點電荷從O點沿OCD移動到D點，電場力做功為:q q0U Oq0U D U O U D60L將單位負點電荷從D點沿AD的延長線移動到無窮遠處，電場力做功為:q0UD 0 UD 亡9.13 半徑為R的均勻帶電圓盤，電荷面密度為 。利用例9.13的結(jié)果，計算 軸線上的電勢分布。并由電勢求軸線上的電場分布。解：由例9.13的結(jié)果，半徑為r的均勻帶電圓環(huán)在其軸線上產(chǎn)生的電勢為：1 QUT4 022 2r x 2將帶電圓盤分割為假設干圓環(huán)，半徑為r，寬為dr圓環(huán)帶電量為:dQ 2 rdr運用以上結(jié)果，其在軸線上產(chǎn)生的勢為：dudQ 4 0 r2X22 rdr2 3X 2

15、2rdr22勺r x 2整個帶電圓盤在軸線上產(chǎn)生的電勢為:.R 12rdrU0414 0222rx2d rX2 X2R2x2 x軸上各點上的電場強度大小為:XR2=x29.14輕原子核結(jié)合成較重的原子核稱為核聚變，核聚變時能釋放大量的能量。例如，四個氫原子核質(zhì)子聚變成一個氦原子核 粒子時，可釋放出28MeV勺 能量，這種核聚變就是太陽發(fā)光發(fā)熱的能量來源。多年來，人們一直在研究如何實現(xiàn) 受控核聚變，以解決人類的能源問題。實現(xiàn)核聚變的困難在于原子核都帶正電荷，相 互排斥，在一般情況下不能相互靠近而發(fā)生結(jié)合。只有在溫度非常高時，原子核熱運 動的速度十分快，才能沖破原子核之間的斥力碰到一起，發(fā)生熱核聚變。根據(jù)統(tǒng)計物3理學可知，溫度為T時，粒子的平均平動動能為3kT，其中k 1.38 10 23J Kt，稱2為玻爾茲曼常數(shù)。質(zhì)子的半徑約為 r=1 10-15m.試計算兩個質(zhì)子因熱運動而到達相互接觸時所需的最低溫度。解：質(zhì)子在其外表附近產(chǎn)生的電勢為:兩個質(zhì)子要相互接觸，那么質(zhì)子的平動能要克服勢能，即必需滿足3kT qU2T6 okr1.6 106 3.14 8.85 101219231.38 10151 10101.11 10 K9.15 題圖是密立根設計的油滴實驗裝置，可以用來測量小油滴的帶電量并因此 提出基元電荷的數(shù)值。被噴霧器噴