正交實(shí)驗(yàn)法及其應(yīng)用

1、正交實(shí)驗(yàn)法及其應(yīng)用 為了研制新產(chǎn)品，提高產(chǎn)品的質(zhì)量和數(shù)量，降低原材料消耗，都需要做試驗(yàn)。一項(xiàng)試驗(yàn)如何安排，就得選擇方法。一個(gè)好的試驗(yàn)方法，只要用少量試驗(yàn)既能得到較好的效果和分析出較為正確的結(jié)論；如果試驗(yàn)方法不好，不但試驗(yàn)次數(shù)多，而且結(jié)果還不一定理想。正交試驗(yàn)法就是利用一套規(guī)格化的表(正交表)來安排試驗(yàn)方案，使得試驗(yàn)次數(shù)盡可能地少；并通過對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的簡單分析，有助于我們?cè)趶?fù)雜的影響因素中抓住主要因素，從而找出較好的實(shí)驗(yàn)方案?！罢辉囼?yàn)法”應(yīng)用的范圍非常廣泛，現(xiàn)已成為比較簡便、易行的一種應(yīng)用數(shù)學(xué)方法。這里分兩部分：簡單介紹正交試驗(yàn)的基本方法和利用該方法對(duì)蘆薈多糖提取條件進(jìn)行優(yōu)化。其中第一部分包括：

2、正交試驗(yàn)法解決的問題；涉及的相關(guān)術(shù)語；如何用正交表安排試驗(yàn)以及怎樣分析試驗(yàn)結(jié)果。另外，有時(shí)試驗(yàn)過程中不僅因素的水平變化對(duì)指標(biāo)有影響，而且，有些因素間各水平的聯(lián)合搭配對(duì)指標(biāo)也產(chǎn)生影響，這種聯(lián)合搭配作用稱為交互作用，這里不作介紹。第二部分應(yīng)用正交實(shí)驗(yàn)法對(duì)蘆薈多糖提取條件進(jìn)行了優(yōu)化，得到很好的試驗(yàn)結(jié)果，大大加快了試驗(yàn)的進(jìn)程，并節(jié)約了試驗(yàn)的耗材。第一部分正交試驗(yàn)的基本方法一、 什么是“正交試驗(yàn)法” 采用什么樣的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案能夠做到優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低稍耗？要使實(shí)驗(yàn)順利進(jìn)行應(yīng)該改進(jìn)哪些實(shí)驗(yàn)條件？由于實(shí)驗(yàn)結(jié)果是受許多方面的因素的影響，往往需要進(jìn)行試驗(yàn)來增加對(duì)具體實(shí)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)，以便摸索其中的規(guī)律性。 凡是要做試驗(yàn)就

3、存在著如何安排試驗(yàn)和如何分析試驗(yàn)結(jié)果的問題?？茖W(xué)的實(shí)驗(yàn)安排應(yīng)能做到兩點(diǎn)：1)在試驗(yàn)安排上盡可能地減少試驗(yàn)次數(shù) 2)在進(jìn)行較少次數(shù)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，能夠利用所得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析出指導(dǎo)下一步實(shí)驗(yàn)的正確結(jié)論，并得到較好的結(jié)果。 “正交試驗(yàn)法”就是一種科學(xué)地安排與分析多因素試驗(yàn)的方法。下面通過一個(gè)例子初步說明一下它是解決什么問題的。例. 研究人參皂苷的提取工藝試驗(yàn)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，乙醇用量、乙醇濃度、提取時(shí)間、回流次數(shù)等對(duì)人參皂苷的提取有顯著影響。所以在提取過程中需要考察乙醇用量()、乙醇濃度 ()、回流時(shí)間 ()、回流次數(shù) ()這四個(gè)因素。每個(gè)因素比較三種不同的條件（見表）試驗(yàn)考察因素試驗(yàn)比較條件乙醇用量（

4、A單位：倍）456乙醇濃度（B單位：%）606570回流時(shí)間（C單位：min）304560回流次數(shù)（D單位：次）468 類似這樣的問題，在實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常遇到。這類問題稱之為多因素試驗(yàn)問題?！罢辉囼?yàn)法”正是解決這類問題的行之有效的一種方法。 為了敘述的方便，下面介紹一下涉及到的術(shù)語和符號(hào)。一般，把試驗(yàn)需要考察的結(jié)果稱為指標(biāo)。如產(chǎn)品的性能、質(zhì)量、成本、產(chǎn)量等均可做為衡量試驗(yàn)效果的指標(biāo)。本例中的人參皂苷的量就是試驗(yàn)的指標(biāo)。把在試驗(yàn)中要考察的對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)可能有影響的因素簡稱為因素。本例中的乙醇用量()、乙醇濃度 ()、回流時(shí)間 ()、回流次數(shù) ()就是四個(gè)因素。把每個(gè)因素在試驗(yàn)中要比較的具體條件稱為水平。

5、如4、5、6就是乙醇用量這個(gè)因素的三個(gè)水平，60、65、70就是乙醇濃度這個(gè)因素的三個(gè)水平。 例1中共有四個(gè)因素，每個(gè)因素都是三個(gè)水平，稱之為三水平四因素試驗(yàn)，簡記為34型試驗(yàn)。為了書寫方便，我們引入了一些符號(hào)。通常用大寫字母A、B、C、D等代表因素。用在字母右下方加足標(biāo)1、2、等表示因素的不同水平，本例中A1，表示A因素取“1”水平即取4，B2表示B因素取“2”水平，即取65，。這樣，我們可以把例1中的因素水平寫成：A1=4；A2=5；A3=6。在選定了因素、水平之后，很自然地要考慮試驗(yàn)怎樣進(jìn)行的問題。在我們所舉的例題中共有四個(gè)三水平的因素，各因素所取的水平之間全部可能的搭配有3x 3x 3

6、x 33481種。當(dāng)然，我們?nèi)绨迅饕蛩厮∷介g全部可能搭配的全面試驗(yàn)作完，就可以選出其中最好的試驗(yàn)條件。但是，每次都做全面試驗(yàn)不僅是不必要的，而且當(dāng)因素、水平取得較多時(shí)，往往也是不可能做到的。因此，我們希望只選做其中的一部分試驗(yàn)，就能相當(dāng)好地反映全面試驗(yàn)可能出現(xiàn)的各種情況，以便從中選出較好方案。 那么，究竟選則哪一部分試驗(yàn)才能反映全面的情況呢?顯然，隨手拈來幾個(gè)試驗(yàn)是不可能滿足上述要求的?！罢辉囼?yàn)法”就能夠幫助我們選擇一部分有代表性的試驗(yàn)方案，并給出了科學(xué)地分析試驗(yàn)結(jié)果的方法。利用“正交試驗(yàn)法”可以解決多因素、多水平及多指標(biāo)這一類的試驗(yàn)問題。采用“正交試驗(yàn)法”雖然試驗(yàn)次數(shù)比較少，但同樣能夠

7、明確回答下面的幾個(gè)問題：1 因素的主次。如例1中所考察的四個(gè)因素中哪個(gè)是影響產(chǎn)量的主要因素，哪個(gè)是比較次要的，哪些是影響很小的。2 因索與指標(biāo)的關(guān)系。如例1中每個(gè)因紊各取不同水平時(shí)產(chǎn)量是怎樣變化的。3 什么是較好的生產(chǎn)條件。也就是例l中所考察的四個(gè)因素各取什么水平能獲得較滿意的產(chǎn)量。4 進(jìn)一步試驗(yàn)的方向。因素水平確定之后，全面試驗(yàn)的次數(shù)可由各因素水平數(shù)的乘積算得。如本例中有三水平因素四個(gè)，所以全面試驗(yàn)的次數(shù)為3x 3x 3x 3=81。如另一試驗(yàn)為二水平五因素試驗(yàn)?zāi)敲慈嬖囼?yàn)的次數(shù)應(yīng)為2×2x 2x 2x 232。二、用正交法安排試驗(yàn)前面介紹了“正交試驗(yàn)法是解決什么樣問題的?！罢辉?/p>

8、驗(yàn)法”是用正交表安排試驗(yàn)的。這部分?jǐn)⑹鋈绾斡谜槐戆才旁囼?yàn)。根據(jù)試驗(yàn)的目的，確定了試驗(yàn)指標(biāo)，例1中指標(biāo)為人深皂苷產(chǎn)量，又分析了可能影響指標(biāo)的因素，選取了各因素的水平于是可以列出因素水平表。例1的因素水平表(見表11)如下。在確定了因素、水平之后，就要選一張合適的正交表來安排試驗(yàn)方案。為此，先介紹一下正交表。表l2是一張正交表，記為L9(34)。其符號(hào)和數(shù)字的意義是除了L9(34)之外，還有一些常用的正交表，如，二水平表有L4(23)、L8(27)、L16(215)，三水平表還有L27(318)，等(可見有關(guān)書中的附錄)，其中的符號(hào)和數(shù)字的含義與L9(34)類似。 例1是一個(gè)三水平試驗(yàn)，應(yīng)該從三

9、水平表L9(34)、L27(318)中選一張比較合適的表。例1中只有四個(gè)因素，這兩張表都至少有四個(gè)列。因此都可用來安排這個(gè)試驗(yàn)。選用它們則分別要做9次、27砍試驗(yàn)。我們要求盡量少做試驗(yàn)，L9(34)表正好可以安排四個(gè)因素，所以就選用這張表。 怎樣用它來安排試驗(yàn)?zāi)?具體做法很方便，只要把A、B、C、D四個(gè)因素分別填在表中的1、2、3、4列的上方就行了。這叫做排表頭。一按說來，一列只排一個(gè)因素，不要排兩個(gè)，就是說不要“混雜”，至于哪一個(gè)因素排在四一列上是可以任意的。但是，表頭一旦排定，試驗(yàn)方案也就由正交表完全確定了。表l3給出了例1中四個(gè)因素的一種排法。把表13中各列的數(shù)字“l(fā)”、“2”、“3”分

10、別看作所填因素在各號(hào)試驗(yàn)中的水平，就可以寫出這個(gè)方案所要做的九次試驗(yàn)的具體條件了。例如，第一行就是第一號(hào)試驗(yàn)A因素下面表中的數(shù)字為“1”(見表I-4)，就是說A因素應(yīng)取“1”水平A1。其它因素下面表中的數(shù)字均為“1”，就是說共余因素也應(yīng)取“l(fā)”水平B1C1D1。所以第一號(hào)試驗(yàn)的條件就是A1B1C1D1。同樣，可以寫出其余各號(hào)試驗(yàn)的條件。我們將這九次試驗(yàn)的條件分別寫出是：我們把翻譯好的試驗(yàn)條件列成試驗(yàn)方案表(見表15)。表1-5 試驗(yàn)方案表 因素試驗(yàn)號(hào)乙醇用量（A單位：倍）乙醇濃度（B單位：%）回流時(shí)間（C單位：min）回流次數(shù)（D單位：次）146030424654563470608456045

11、855656046570306766060686653089670454從表13決定的試驗(yàn)方案可以看出，用正交表安排試驗(yàn)有下述兩個(gè)特點(diǎn)：(1)每個(gè)因素的各個(gè)不同水平在試驗(yàn)中出現(xiàn)了相同的次數(shù)。 例如A因素的“1”水平出現(xiàn)在第1、2、3號(hào)試驗(yàn)中，“2”水平出現(xiàn)在第4、5、6號(hào)試驗(yàn)中，“3”水平出現(xiàn)在第7、8、9號(hào)試驗(yàn)中，每個(gè)水平各出現(xiàn)三次。又如C因素的“1”水平出現(xiàn)在第1、6、8號(hào)試驗(yàn)中，“2”水平出現(xiàn)在第2、 4、9號(hào)試驗(yàn)中，“3”水乎出現(xiàn)在第3、5、7號(hào)試驗(yàn)中，每個(gè)水平各出現(xiàn)三次。其它因素也是一樣。(2)任何兩個(gè)因素的各種不同水平的搭配，在試驗(yàn)中都出現(xiàn)了，并且出現(xiàn)了相同的次數(shù)。 例如A與B兩個(gè)

12、因素的不同水平的全部搭配A1B1、A1B2、AlB3、A2B1、A2B2 、A2B3、A3B1、A3B2、A3B3，分別出現(xiàn)在第1至第9號(hào)試驗(yàn)里，每種搭配只出現(xiàn)一次。同樣，B與D兩個(gè)因素的不同水平的全部搭配B1D1、B1D2、B1D3，B2D1、B2D2，B2D3、B3D2、B3D3，分別出現(xiàn)在第1、7、4、5、2、8、9、6、3號(hào)試驗(yàn)中，每種搭配只出現(xiàn)一次。表中的任何兩個(gè)因素均滿足。由于上述特點(diǎn)，“正交試驗(yàn)法”安排的試驗(yàn)方案是有代表性的，能夠比較全面地反映各因素各水平對(duì)指標(biāo)影響的大致情況。因此，用“正交試驗(yàn)法”安排試驗(yàn)就能夠減少試驗(yàn)次數(shù)。根據(jù)試驗(yàn)的目的、要求確定指標(biāo)、因素和水平后，選擇合適的

13、正交表排表頭，寫出試驗(yàn)方案表，以上是整個(gè)試驗(yàn)的第一階段叫做安排試驗(yàn)。三、用正交表分析試驗(yàn)結(jié)果一極差分析根據(jù)表15排好的試驗(yàn)方案，按各號(hào)試驗(yàn)規(guī)定的試驗(yàn)條件，進(jìn)行了人參皂苷的提取工藝試驗(yàn)，并把收口后的組合件進(jìn)行拉脫試驗(yàn)后，得到了九個(gè)拉脫力數(shù)據(jù)。將它們填入jI(34)表右側(cè)數(shù)據(jù)攔內(nèi)(見表l6)?，F(xiàn)在，我們從九個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，利用正交表來分析試驗(yàn)結(jié)果。表l6首先分析因素A。因素A排在第1例，所以，要從第1列來分析。如果把包含A因素“1”水平的三次試驗(yàn)(第1、2、3號(hào)試驗(yàn))算做第一組，同樣，把包含A因素“2”水平、“3”水平的各三次試驗(yàn)(第4、5、6號(hào)及第7、8、9號(hào)試驗(yàn))分別算第二組、第三組。那么，九

14、次試驗(yàn)就分成了三組。在這三組試驗(yàn)中，各因素的水平出現(xiàn)的情況見表17，由表17可以看出，在Al、A 2、A3各自所在的那組試驗(yàn)中，其它因素(B、C、D)的1、2、3水平部分別出現(xiàn)了一次。把第一組試驗(yàn)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)相加，即將第一列l(wèi)水平所對(duì)應(yīng)的第1、2、3號(hào)試驗(yàn)數(shù)據(jù)相加(見表l6)，其和記作I。 I=3.27+4.14+4.30=11.71把第二組試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)相加，即將第一列2水平所對(duì)應(yīng)的第4、5、6號(hào)試驗(yàn)數(shù)據(jù)相加，其和記作II。 II4.36十4.29十4.39=13.04 同樣，將第一列3水平所對(duì)應(yīng)的第7、8、9號(hào)試驗(yàn)數(shù)據(jù)相加，其和記作III。III5.15十5.22十5.5215.89于是

15、、就可以將I看作是這樣三次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)和，即在這三次試驗(yàn)中，只有A1水平出現(xiàn)三次，而B、C、D三個(gè)因素的l、2、3水平各出現(xiàn)一次(見表17)，數(shù)據(jù)和I反映了三次A1水平的影響，和B、C、D每個(gè)因素的1、2、3水平各一次的影響。同樣，II(III)反映了三次A2(A3)水平及B、C、D每個(gè)因素的三個(gè)水平各一次的影響。比較I、II、III的大小時(shí)，可以認(rèn)為B、C、D對(duì)I、II、III的影響大體相同的。因此，可以把I、II、III之間的差異看作是由于A取了三個(gè)不同的水平而引起的。用同樣的方法分析因素B。B因素排在第2列，所以要從第2列來分析。把包含B1水平的第1、4、7號(hào)試驗(yàn)數(shù)據(jù)相加記作I，把包含B2

16、水平的第2、5、8號(hào)試驗(yàn)數(shù)據(jù)相加記作II。把包含B3水平的第3、6、9號(hào)試驗(yàn)數(shù)據(jù)相加記作III。計(jì)算結(jié)果如下：I=3.27+4.36+5.15=12.78II=4.14+4.29+5.22=13.65III=4.30+4.39+5.52=14.21同樣，在B因素取某一水平的三次試驗(yàn)中，其它A、C、D的三個(gè)水平也是各出現(xiàn)一次。所以，按第二列計(jì)算的I、II、III之間的差異同樣是由于B取了三個(gè)不同的水平而引起的。 按照這個(gè)方法，我們便可把各因素的I、II、III計(jì)算出來?？傊?，按正交表各列計(jì)算的I、 II、III數(shù)值的差異，就反映了各列所排因素取了不同水平對(duì)指標(biāo)的影響。 在計(jì)算完各列的I、II、I

17、II之后，還要把每一列的I、II、III中最大值和最小值之差算出來，我們把這個(gè)差值叫作極差，記作R。這樣，使可算出這四列(即四個(gè)因素)的極差，結(jié)果如下：第一列(A因素) R=15.89-11.714.18；第二列(B因素) R14.21-12.781.43； 第三列(C因素) R14.02-12.881.14； 第四列(D因素) R13.88-13.080.8。 每一列算出的極差大小、反映了該列所排因素選取的水平變動(dòng)對(duì)指標(biāo)影響的大小。至此，計(jì)算了各列的I、 II、IIII及R，并把這些結(jié)果填入表16的相應(yīng)位置上。這樣，就完成了試驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算這一步。根據(jù)這些計(jì)算結(jié)果就可以回答在第一節(jié)末尾提出的四

18、個(gè)問題。1)各因素對(duì)指標(biāo)的影響誰主誰次呢? 根據(jù)極差R這一欄的數(shù)據(jù)可知，第1列A較大，第四列D最小。這反映了因素A水平變動(dòng)時(shí)，指標(biāo)波動(dòng)最大，因素D的水平變動(dòng)時(shí)，指標(biāo)波動(dòng)很小。由此可根據(jù)極差的大小順序排出因素的主次順序： 主一次 A； B、 C； D(這里，R值相近的因素用“、”號(hào)隔開，而R值相差較大的因素用“；”號(hào)隔開；另外，還可以用圖形直觀地描述這些關(guān)系。)。 2)各因素取什么水平好呢? 選取因素的水平是與要求的指標(biāo)有關(guān)的。要求的指標(biāo)越大越好，應(yīng)該取使指標(biāo)增大的水平，即各因素I、II、III中最大的那個(gè)水平。反之，加要求的指標(biāo)越小越好，則取其中最小的那個(gè)水平。例1的試驗(yàn)?zāi)康氖翘岣弋a(chǎn)量，所以應(yīng)

19、該挑選每個(gè)因素I、II、III中最大的那個(gè)水平，即A3、B3、C2、D3。（也可從所作的圖上挑出各因素圖形中最高點(diǎn)的水平得到。） 3)什么是較好的生產(chǎn)條件? 各因素的好水平加在一起，是否就是較優(yōu)生產(chǎn)條件?從I、 II、III的計(jì)算可以看出，各因素選取的水平變動(dòng)時(shí)，指標(biāo)被動(dòng)的大小，實(shí)際上是不受其它因素的水平變動(dòng)影響的。所以，把各因素的好水平簡單地組合起來就是較好生產(chǎn)條件。但是，實(shí)際上選取較好生產(chǎn)條件時(shí)，還要考慮因素的主次，以便在同樣滿足指標(biāo)要求的情況下，對(duì)于一些比較次要的因素按照優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低消耗的原則選取水平，得到更為結(jié)合生產(chǎn)實(shí)際要求的較好生產(chǎn)條件。 對(duì)于主要因素，一定要按有利于指標(biāo)的要求選取

20、水平(即取計(jì)算結(jié)果選出的好水平)。而次要因素可同時(shí)考慮其它指標(biāo)。例l中對(duì)于次要因素D，就可根據(jù)其它方面的要求選取水平。最后決定選D2。較優(yōu)生產(chǎn)條件是：A3B3C2D2即：最佳提取工藝為藥材加倍量%乙醇 ,提取次 ,每次。 需要指出的是，例1中得到的較好生產(chǎn)條件，恰恰不包括在已做過的九次試驗(yàn)中。這是由于使用正交表安排的九個(gè)試驗(yàn)是有代表性的，能夠比較全面地反映四個(gè)因素各個(gè)水平對(duì)產(chǎn)量的影響，在對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了計(jì)算分析后，再從較好的搭配中挑出更好的生產(chǎn)條件，這樣就不會(huì)漏掉。 4)各因素的水平變化時(shí)，指標(biāo)的變化規(guī)律怎祥呢? 從數(shù)據(jù)或圖中分析可以看出，因素A、B、D隨著值的增加產(chǎn)量是逐漸提高的。其中，A、B增加較顯著，因此在進(jìn)一步作試驗(yàn)還有希望進(jìn)一步提高；而D的影響到D3時(shí)已經(jīng)不夠明顯，且增加了試驗(yàn)