正確理解 泊松分布 通俗解釋

1、    很多人在上概率論這門課的時候就沒搞明白過泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。如果我們學習的意義是為了通過考試，那么我們大可停留在“只會做題”的階段，因為試卷上不會出現(xiàn)“請發(fā)表一下你對泊松公式的看法”這樣的題目，因為那樣一來卷子就變得不容易批改，大部分考試都會出一些客觀題，比如到底是泊松分布還是肉松分布。而如果我們學習的目的是為了理解一樣東西，那么我們就有必要停下來去思考一下諸如“為什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意義是什么？”這樣的“哲學”問題。       如果我們要向一個石器時代的人解釋什么是

2、電話，我們一定會說：“電話是一種機器，兩個距離很遠的人可以通過它進行交談”，而不會說：“電話在 1876 年由貝爾發(fā)明，一臺電話由幾個部分構成”（泊松分布在 1876 年由泊松提出，泊松分布的公式是）所以我們問的第一個問題應該是“泊松分布能拿來干嘛？”     泊松分布最常見的一個應用就是，它作為了排隊論的一個輸入。比如在一段時間t（比如 1 個小時）內來到食堂就餐的學生數(shù)量肯定不會是一個常數(shù)（比如一直是 200 人），而應該符合某種隨機規(guī)律：假如在 1 個小時內來 200 個學生的概率是 10%，來 180 個學生的概率是 20%一般認為，這種隨機規(guī)律

3、服從的就是泊松分布。       這當然只是形象化的理解什么是泊松分布，若要公式化定義，那就是：若隨機變量X 只取非負整數(shù)值0,1,2,., 且其概率分布服從       則隨機變量X 的分布稱為泊松分布，記作P()。這個分布是S.-D.泊松研究二項分布的漸近公式時提出來的。泊松分布P ()中只有一個參數(shù) ，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。生活中，當一個隨機事件，例如來到某公共汽車站的乘客、某放射性物質發(fā)射出的粒子、顯微鏡下某區(qū)域中的白血球等等，以固定的平均瞬時速率(或稱密度

4、)隨機且獨立地出現(xiàn)時，那么這個事件在單位時間（面積或體積）內出現(xiàn)的次數(shù)或個數(shù)就近似地服從泊松分布。（泊松分布圖可能長這樣）在上文中已經提到了，泊松分布的均值和方差都是，如何推導的呢？看下圖：       其實泊松分布在日常中還是很好辨別的，因為他有一個累計的過程。曾看到一篇用泊松分布來分析美國治安的例子，引來給大家看看：美國槍擊案假定它們滿足"泊松分布"的三個條件：（1）槍擊案是小概率事件。（2）槍擊案是獨立的，不會互相影響。（3）槍擊案的發(fā)生概率是穩(wěn)定的。顯然，第三個條件是關鍵。如果成立，就說明美國的治安沒有惡化；如果不成立，就說明

5、槍擊案的發(fā)生概率不穩(wěn)定，正在提高，美國治安惡化。根據(jù)資料，1982-2012年槍擊案的分布情況如下：計算得到，平均每年發(fā)生2起槍擊案，所以 = 2 。上圖中，藍色的條形柱是實際的觀察值，紅色的虛線是理論的預期值?？梢钥吹剑^察值與期望值還是相當接近的。 我們用"卡方檢驗"，檢驗觀察值與期望值之間是否存在顯著差異?？ǚ浇y(tǒng)計量 = (觀察值-期望值)2/期望值        計算得到，卡方統(tǒng)計量等于9.82。查表后得到，置信水平0.90、自由度7的卡方分布臨界值為12.017。因此，卡方統(tǒng)計量小于臨界值，這表明槍擊案的觀察值與期望值之間沒有顯著差異。所以，可以接受"發(fā)生槍擊案的概率是穩(wěn)定的"假設，也就是說，從統(tǒng)計學上無法得到美國治安正在惡化的結論。       但是，也必須看到，卡方統(tǒng)計量9.82離臨界值很接近，p-value只有0.18。也就是說，對于"美國治安沒有惡化&quo