全等三角形和角平分線專題講解和練習(xí)題

1、全等三角形專題講解專題一全等三角形判別方法的應(yīng)用專題概說(shuō)：判定兩個(gè)三角形全等的方法一般有以下4種：1 .三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“SSS”）2 .兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“ SAS”）3 .兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“ ASA”）4 .兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“ AAS”）而在判別兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，除了可以應(yīng)用以上4種判別方法外，還可以應(yīng)用“斜邊、直角邊” ，即斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL”）.也就是說(shuō)“斜邊、直角邊”是判別兩個(gè)直角三角形全等的特有的方法，它僅適用于判別兩

2、個(gè)直角三角形全等.三角形全等是證明線段相等，角相等最基本、最常用的方法，這不僅因?yàn)槿热切斡泻芏嘀匾慕窍嗟?、線段 相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來(lái).那么我們應(yīng)該怎樣應(yīng)用三角形 全等的判別方法呢？（1）條件充足時(shí)直接應(yīng)用在證明與線段或角相等的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要先證明線段或角所在的兩個(gè)三角形全等，而從近年的中考題來(lái)看， 這類試題難度不大，證明兩個(gè)三角形的條件比較充分.只要同學(xué)們認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個(gè)三角形 全等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等.例1已知：如圖1, CEXAB于點(diǎn)E, BD± AC于點(diǎn)D, BD、CE交于點(diǎn)O,且A

3、O平分/ BAC .那么圖中全等的 三角形有對(duì).（2）條件不足，會(huì)增加條件用判別方法此類問(wèn)題實(shí)際是指條件開(kāi)放題，即指題中沒(méi)有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充使三角形全等的條 件.解這類問(wèn)題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案.例2如圖2,已知AB=AD , / 1 = 72,要使 ABCA ADE ,還需添加的條件是（只需填一個(gè)） 圖2（3）條件比較隱蔽時(shí)，可通過(guò)添加輔助線用判別方法在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時(shí)，可通過(guò)添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個(gè)三角形全等.例 3

4、 已知：如圖 3, AB=AC , / 1 = 72.求證：AO平分/ BAC.分析：要證 AO平分/ BAC,即證/ BAO= /BCO,要證/ BAO= / BCO ,只需證/ BAO和/ BCO所在的兩個(gè)三角形 全等.而由已知條件知，只需再證明BO=CO即可.圖3（4）條件中沒(méi)有現(xiàn)成的全等三角形時(shí)，會(huì)通過(guò)構(gòu)造全等三角形用判別方法有些幾何問(wèn)題中，往往不能直接證明一對(duì)三角形全等，一般需要作輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形例4已知：如圖 4,在RtAABC中，/ ACB=90 o, AC=BC , D為BC的中點(diǎn)，CEXAD于E,交AB于F,連接DF.求證：/ ADC= ZBDF .P說(shuō)明：常見(jiàn)的構(gòu)造三

5、角形全等的方法有如下三種：涉及三角形的中線問(wèn)題時(shí)，常采用延長(zhǎng)中線一倍的方法，構(gòu) 造出一對(duì)全等三角形；涉及角平分線問(wèn)題時(shí)，經(jīng)過(guò)角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線，可以得到一對(duì)全等三角形；證 明兩條線段的和等于第三條線段時(shí)，用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法可以構(gòu)造一對(duì)全等三角形.(5)會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中用全等三角形的判別方法新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，注意培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，形成解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.在近年中考出 現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)理念，應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視.例5要在湖白兩岸 A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無(wú)法直接度量 A, B兩點(diǎn)間的距離.請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)/篇戛學(xué)知識(shí)按以下要求設(shè)計(jì)一

6、測(cè)量方案.(i)畫(huà)出測(cè)量圖案.(2)寫(xiě)出測(cè)量步驟(測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示).圖 5(3)計(jì)算A、B的距離(寫(xiě)出求解或推理過(guò)程，結(jié)果用字母表示).分析：可把此題轉(zhuǎn)化為證兩個(gè)三角形全等.第 (1)題，測(cè)量圖案如圖 5所示.第(2)題，測(cè)量步驟：先在陸地上找 到一點(diǎn)。，在AO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) C,并測(cè)得OC=OA ,在BO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) D,并測(cè)得OD=OB ,這時(shí)測(cè)得CD 的長(zhǎng)為a,則AB的長(zhǎng)就是a .第(3)題易證4 AOBACOD,所以AB=CD ,測(cè)得CD的長(zhǎng)即可得 AB的長(zhǎng).解：(1)如圖6示.(2)在陸地上找到可以直接到達(dá) A、B的一點(diǎn)O,在AO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) C,并測(cè)得OC = OA,

7、在BO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D,并測(cè)得OD=OB,這時(shí)測(cè)出CD的長(zhǎng)為a,則AB的長(zhǎng)就是a.(3)理由：由測(cè)法可得 OC=OA , OD=OB .又/COD=/AOB, .CODQAOB.CD=AB= a ,圖 6評(píng)注：本題的背景是學(xué)生熟悉的，提供了一個(gè)學(xué)生動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，重點(diǎn)考查了學(xué)生的操作能力，培養(yǎng)了 學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí).練習(xí)：1.已知：如圖 7, D是4ABC的邊AB上一點(diǎn)，AB / FC, DF交AC于點(diǎn)E, DE=FE .求證：AE=CE .2 .如圖 8,在 ABC 中，點(diǎn) E 在 BC 上，點(diǎn) D 在 AE 上，已知/ ABD= ZACD , / BDE= / CDE .求證：BD=CD

8、.3 .用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖9所示，先在/ AOB的兩邊上取OP=OQ,再取PM=QN ,連接PN、QM ,得交點(diǎn)C,則射線OC平分/ AOB .你能說(shuō)明道理嗎?4 .如圖10, ABC中，AB=AC ,過(guò)點(diǎn)A作GE/ BC ,角平分線 BD、CF相交于點(diǎn)H,它們的延長(zhǎng)線分別交 GE于點(diǎn)E、G.試在圖10中找出3對(duì)全等三角形，并對(duì)其中一對(duì)全等三角形給出證明.5 .已知：如圖11,點(diǎn)C、D在線段AB上，PC=PD.請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明.所添?xiàng)l件為，你得到的一對(duì)全等三角形是4 .6 .如圖12, / 1 = /2, BC=EF ,那么需要

9、補(bǔ)充一個(gè)直接條件 （寫(xiě)出一個(gè)即可），才能使 ABC DEF .7 圖 13,在 ABD 和 ACD 中，AB=AC , / B=/ C.求證： ABD ACD .BE=CF,EG=GF.8 .如圖14,直線 AD與BC相交于點(diǎn) O,且AC=BD , AD=BC .求證：CO=DO .9 .已知 ABC , AB=AC , E、F分別為AB和AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且ACBG10.已知：如圖 16, AB=AE , BC=ED ,點(diǎn) F 是 CD 的中點(diǎn)，AF ± CD .求證：/ B= / E.A11.如圖17,某同學(xué)把一把三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊大小形狀完全一樣的

10、玻璃，那么最省事的辦法是().(A)帶和去(B)帶去(C)帶去 ( D)帶去12.有一專用三角形模具，損壞后，只剩下如圖 一塊與原模具完全一樣的模具，并說(shuō)明其中的道理.18中的陰影部分，你對(duì)圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后，就可以重新制作13.如圖19,將兩根鋼條 AA'、BB'的中點(diǎn)O連在一起，使 AA'、BB'可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工彳% 則 A'B'的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬 AB ,那么判定 OABOAB的理由是()(A)邊角邊(B)角邊角乂(C)邊邊邊(D)角角邊B專題二角的平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把一個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的

11、平分線.角的平分線有著重要的作用,它不僅把角分成相等的兩部分，而且角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，再加上角的平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸.因此當(dāng)題目中有角的平分線時(shí)，可根據(jù)角的平分線性質(zhì)證明線段或角相等，或利用角的平分線構(gòu)造全等三角形或等腰三角形來(lái)尋找解題思路.(1)利用角的平分線的性質(zhì)證明線段或角相等例 6 如圖 20, Z 1 = Z2, AE XOB 于 E,BDLOA于D,交點(diǎn)為C.求證：AC=BC .說(shuō)明：本題若用全等方法證明點(diǎn)C到OA、OB距離相等，浪費(fèi)時(shí)間和筆墨，不如直接應(yīng)用角平分線性質(zhì)證明，原因在于同學(xué)們已經(jīng)習(xí)慣了用全等的方法，

12、不善于直接應(yīng)用定理，仍去找全等三角形，結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次定理，以后再學(xué)新定理，應(yīng)用時(shí)要注意全等定勢(shì)的干擾，注意采用簡(jiǎn)捷證法.例7已知：如圖21, ABC中，BD=CD , / 1 = / 2.求證：AD平分/ BAC .說(shuō)明：遇到有關(guān)角平分線的問(wèn)題時(shí)，可引角的兩邊的垂線，先證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等，再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等.(2)利用角的平分線構(gòu)造全等三角形過(guò)角平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線段例8如圖22, AB / CD , E為AD上一點(diǎn)，且 BE、CE分別平分/ ABC、/ BCD .求證：AE=ED .分析：由于角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，

13、而點(diǎn) 另MAB、BC、CD的垂線段.E是兩條角平分線的交點(diǎn)，因此我們自然想到過(guò)點(diǎn)以角的平分線為對(duì)稱軸構(gòu)造對(duì)稱圖形例 9 如圖 23,在 ABC 中，AD 平分/ BAC , / C=2/B.求證：AB=AC+CD .分析：由于角平分線所在的直線是這個(gè)角的對(duì)稱軸，因此在AB上截取AE=AC，連接DE ,我們就能構(gòu)造出一對(duì)A全等三角形，從而將線段 AB分成AE和BE兩段，只需證明 BE=CD就可以了.延長(zhǎng)角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線例10如圖24,在 ABC中，AD平分/ BAC , CE± AD于E.求證：/ ACE= / B+/ ECD.分析：注意到 AD平分/ BAC

14、 , CEXAD ,于是可延長(zhǎng) CE交AB于點(diǎn)F,即可構(gòu)造全等三角形.（3）利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形如圖25,在 ABC中，AD平分/ BAC ,過(guò)點(diǎn)D作DE / AB , DE交AC于點(diǎn)E.易證 AED是等腰三角形.因此，我們可以過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形.C例 11 如圖 26,在 ABC 中，AB=AC , BD 平分/ ABC , DEXBD 于 D,交 BC 于點(diǎn) E.求證：CD= BE2分析：要證CD=BE,可將BE分成兩條線段，然后再證明 CD與這兩條線段都相等.2練習(xí)：1.如圖 27,在 ABC 中，/ B=90o, AD 為/ BAC 的平分線，D

15、FLAC 于 F, DE=DC .求證：BE=CF .2,已知：如圖 28, AD是 ABC的中線，DELAB于E, DF± AC于F,且BE=CF .求證：（1） AD是/ BAC的 平分線；（2） AB=AC .3 .在 ABC 中，/ BAC=60 o, / C=40o, AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q.求證：AB+BP=BQ+AQ4 .如圖 30,在 ABC 中，AD 平分/ BAC , AB=AC+CD 求證：/ C=2/ B.5 .如圖31, E為ABC的/ A的平分線 AD上一點(diǎn)，AB >AC.求證：AB-AC >EB-EC.6 .如圖 32,在四邊形 ABCD 中，BC > BA , AD=CD , BD 平分/ ABC . 求證：/ A+ / C=180o.9. AABC 中，AB=AC , / A=100o, BD 是/ B 的平分線.求證： AD+BD=BCA7.如圖33所示，已知 AD/BC, /1 = /2, /3=/4,直線 求證：AD+BC=AB .DC過(guò)點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)C.8.已知，如圖 34, ABC 中，/ ABC=90o, AB=BC , AEAB1是/A的平分線，C