模煳效用約束下的消費者支出最小化

1、模糊效用約束下的消費者支出最小化趙明清*趙明清, 通訊地址：山東省泰安市山東科技大學信息科學與工程學院（271019）， 聯(lián)系電話：05386227430（H）(山東科技大學信息科學與工程學院，271019)摘要 本文利用模糊優(yōu)化方法，討論了消費者的效用約束為模糊約束的條件下，如何確定各種商品購買量以使其支出達到最小的問題。關健詞 模糊規(guī)劃，效用函數，隸屬函數，消費者均衡1 引言 文1討論了消費者在收入約束為模糊約束的條件下，如何確定各種商品的購買量以使其效用達到最大的問題。本文討論的是該問題的對偶問題，即討論消費者在效用約束為模糊約束的條件下，如何確定各種商品的購買量以使其支出達到最小的問題

2、。效用約束的模糊化，使消費者行為分析更加接近實際。目前，尚無人對此問題進行討論。 2 模型的建立與分析 為了討論方便，設消費者僅購買兩種商品，這兩種商品的價格分別為，購買數量分別為；效用函數連續(xù)二次可微且嚴格凹。那么，模糊效用約束下消費者支出最小化問題可用模糊規(guī)劃() 來描述。其中：I表示消費者支出；表示消費者的效用最好不要低于給定的效用U 。根據假設，分別在約束（l是伸縮指標，是效用下限）和=U下的最小值都存在，不妨分別設為。 對于模糊約束構造模糊約束集，其隸屬函數對于目標函數構造模糊目標集，其隸屬函數 為了兼顧,采用模糊判決，選擇，使 = 于是，模糊規(guī)劃（）歸結為求普通數學規(guī)劃 （） 即（

3、） 根據優(yōu)化理論中的Kuhn Tucker定理，（）相應的（KT）條件是即通過分析，便知 (1) (2) (3) (4) (5)由(1)、(2)兩式，得 (6)由(4)、(5)兩式，得 (7)(6)、(7)兩式是消費者均衡即模糊效用約束下的消費者支出最小化的必要條件，可以證明該條件也是消費者均衡的充分條件。 由(6)式，得令 則E，F(xiàn) ，G關于的Jacobi行列式 = = =其中 為的加邊Hessin矩陣。根據對的假設，。所以進而，由隱函數組存在定理，(6)、(7)確定了唯一的一組隱函數稱為模糊需求函數?；蛘哒f，對于給定的，方程組(6)、(7)有唯一解，相應的消費者最小支出隸屬度這也就是模糊規(guī)

4、劃（）的解。3 結論 (1) 消費者均衡的充分要條件是 其中第一式意味著：在模糊效用約束下，當消費者的消費處于最優(yōu)狀態(tài)時，花在各種商品上的最后一個單位貨幣支出所獲得的效用相等。 (2) 模糊效用約束下的消費者最小支出和達到的效用都比普通效用約束下的消費者最小支出和達到的效用小。 (3) 利用模糊數學方法分析經濟問題會更接近實際，但也帶來了分析上的困難。參考文獻1 趙明清. 模糊約束下的消費者均衡. 山東礦業(yè)學院學報，1993.12（2）：1972002 唐林煒等編著. 模糊數學與經濟分析. 山東大學出版社，1999.9： 1411643 中國人民大學數學教研室編. 運籌學通論. 中國人民大學出

5、版社，1987.5： 190196The Minimization of Consumption under the Fuzzy Utility ConstraintZhao Mingqing(College of Information Science & Engineering, Shandong University of Science and Technology, 271019)Abstract By using fuzzy optimization, this paper discusses how to ensure the consumption of merchandises to minimize the expenditure if the utility constraint is a fuzzy one.Keyw