備戰(zhàn)2014中考數(shù)學專題講座第21講：動態(tài)幾何之面動問題探討

1、福州五佳教育錦元數(shù)學工作室 編輯數(shù)學因運動而充滿活力，數(shù)學因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究，在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關系的“變”與“不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（滾動）等，就問題類型而言，有最值問題、面積問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設計的考題，可謂璀璨奪

2、目、精彩四射。1618講，我們從運動對象的角度對軸對稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（滾動）問題進行了探討， 1921講我們從運動對象的角度對點動、線動、面動問題進行探討。面動問題就是在一些基本幾何圖形上，設計一個動面（包括平移和旋轉(zhuǎn)），或由點動、線動形成面動，并對面在運動變化的過程中產(chǎn)生的等量關系、變量關系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關系等進行研究。結(jié)合2013年全國各地中考的實例，我們從四方面進行動態(tài)幾何之線動問題的探討：（1）平面幾何中三角形的面動問題；（2）平面幾何中四邊形的面動問題；（3）平面幾何中圓的面動問題；（4）解析幾何中的面動問題。一、平面幾何中三角形的面動問題：典型例題：版權(quán)歸福州

3、五佳教育錦元數(shù)學工作室鄒強，轉(zhuǎn)載必究例1：（2013年天津市3分）如圖，在ABC中，AC=BC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180得CFE，則四邊形ADCF一定是【】A矩形 B菱形 C正方形 D梯形【答案】A?！究键c】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=CE，DE=EF，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ADCF是例2：（2013年青海西寧3分）如圖，矩形的長和寬分別是4和3，等腰三角形的底和高分別是3和4，如果此三角形的底和矩形的寬重合，并且沿矩形兩條寬的中點所在的直線自右向左勻速運動至等腰三角形的底與另一寬重合

4、設矩形與等腰三角形重疊部分（陰影部分）的面積為y，重疊部分圖形的高為x，那么y關于x的函數(shù)圖象大致應為【 】例3：（2013年福建莆田4分）如圖，將RtABC（其中B=35，C=90）繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到AB1C1的位置，使得點C、A、B1在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角等于【 】 A55 B70 C125 D145例4：（ 2013年廣西梧州3分）如圖，ABC以點O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180后得到ABCED是ABC的中位線，經(jīng)旋轉(zhuǎn)后為線段ED已知BC=4，則ED=【 】例5：（2013年貴州遵義3分）如圖，將邊長為1cm的等邊三角形ABC沿直線l向右翻動（不滑動），點B從開始到結(jié)束，所經(jīng)過路徑的長

5、度為【 】A B C D3cm例6：（2013年遼寧鐵嶺3分）如圖，點G、E、A、B在一條直線上，RtEFG從如圖所示是位置出發(fā)，沿直線AB向右勻速運動，當點G與B重合時停止運動設EFG與矩形ABCD重合部分的面積為S，運動時間為t，則S與t的圖象大致是【 】【答案】D?！究键c】面動問題的函數(shù)圖象，相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想和分類思想的應用?！痉治觥吭OGE=a，EF=b，AE=m，AB=c，RtEFG向右勻速運動的速度為1， 當E點在點A左側(cè)時，S=0。當點G在點A左側(cè)，點E在點A右側(cè)時，如答圖1，AE=tm，GA=a（tm）=a+mt，PAEF，GAPGEF。例7：（2013年內(nèi)蒙

6、古包頭3分）如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE、BE、CE，將ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到CBE的位置若AE=1，BE=2，CE=3，則BEC= 度EE=2，BEE=45。EE2+EC2=8+1=9，EC2=9。EE2+EC2=EC2。EEC是直角三角形，EEC=90。BEC=135。例8：（2013年廣東廣州3分）如圖，RtABC的斜邊AB=16, RtABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到，則的斜邊上的中線的長度為 . 例9：（2013年廣西賀州3分）如圖，在ABC中，AB=6，將ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60后得到DBE，點A經(jīng)過的路徑為弧AD，則圖中陰影部分的面積是 【答案】?！究键c】旋轉(zhuǎn)

7、問題，扇形面積的計算，轉(zhuǎn)換思想的應用?！痉治觥扛鶕?jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知ABD=60，ABCDBE，SABCSDBE。例10：（2013年山西省13分）數(shù)學活動求重疊部分的面積。問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖（1），將兩塊全等的直角三角形紙片ABC和DEF疊放在一起，其中ACB=E=90，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經(jīng)過點C，DF交AC于點G。求重疊部分（DCG）的面積。（1）獨立思考：請解答老師提出的問題。（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DEAB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖(2)，你能求出重疊部分(DGH)的

8、面積嗎？請寫出解答過程。（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學習，將DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，再提出一個求重疊部分面積的問題。“愛心”小組提出的問題是：如圖(3)，將DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點M，N，使DM=MN，求重疊部分(DMN)的面積。任務：請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出DMN的面積是 .請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎上按順時針方向旋轉(zhuǎn)）?！敬鸢浮拷猓海?）ACB=90，D是AB的中點，DC=DB=DA。B=DCB。又ABCFDE，F(xiàn)DE=B。FDE=DCB。DGBC。AGD=

9、ACB=90。DGAC。又DC=DA，G是AC的中點。CG=AC=8=4，DG=BC=6=3。SDCG=CGDG=43=6。 ABCFDE（ASA）。 SDDMNSDGH=。 開放型（答案不唯一）。例11：（2013年重慶市B12分）已知：在矩形ABCD中，E為邊BC上的一點，AEDE，AB=12，BE=16，F(xiàn)為線段BE上一點，EF=7，連接AF。如圖1，現(xiàn)有一張硬紙片GMN，NGM=900，NG=6，MG=8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點N與點E重合，點G在線段DE上。如圖2，GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，同時，點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿

10、AD向點D勻速移動，點Q為直線GN與線段AE的交點，連接PQ。當點N到達終點B時，GMNP和點同時停止運動。設運動時間為t秒，解答問題：（1）在整個運動過程中，當點G在線段AE上時，求t的值；（2）在整個運動過程中，是否存在點P，使APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；（3）在整個運動過程中，設GMN與AEF重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關系式以及自變量t的取值范圍。例12：（2013年廣東省9分）有一副直角三角板，在三角板ABC中，BAC=90，AB=AC=6，在三角板DEF中，F(xiàn)DE=90，DF=4，DE=。將這副直角三角板按如圖（1）所示位置擺放，點B與

11、點F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上，現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當點F運動到點A時停止運動。（1）如圖（2），當三角板DEF運動到點D與點A重合時，設EF與BC交于點M，則EMC= 度；（2）如圖（3），在三角板DEF運動過程中，當EF經(jīng)過點C時，求FC的長；（3）在三角板DEF運動過程中，設BF=x，兩塊三角板重疊部分面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并求出對應的x取值范圍。例13：（2013年黑龍江大慶6分）如圖，把一個直角三角形ACB（ACB=90）繞著頂點B順時針旋轉(zhuǎn)60，使得點C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點D，點A旋轉(zhuǎn)到點E的位置F，G分別是BD，BE上的點

12、，BF=BG，延長CF與DG交于點H（1）求證：CF=DG；（2）求出FHG的度數(shù)例14：（2013年湖北襄陽7分）如圖1，點A是線段BC上一點，ABD和ACE都是等邊三角形（1）連結(jié)BE，CD，求證：BE=CD；（2）如圖2，將ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到ABD當旋轉(zhuǎn)角為 度時，邊AD落在AE上；在的條件下，延長DD交CE于點P，連接BD，CD當線段AB、AC滿足什么數(shù)量關系時，BDD與CPD全等？并給予證明的性質(zhì)求出AC=AE，ACE=60，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出PCD=ACD=30，從而得到ABD=DBD=BDD=ACD=PDC=30，然后利用“角邊角”證明BDD與CPD全等

13、。例15：（2013年山東臨沂11分）如圖，矩形ABCD中，ACB=30，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC，BD的交點處，以點P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點分別為E，F(xiàn)（1）當PEAB，PFBC時，如圖1，則的值為 ；（2）現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)（060）角，如圖2，求的值；（3）在（2）的基礎上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當6090，且使AP：PC=1：2時，如圖3，的值是否變化？證明你的結(jié)論二、平面幾何中四邊形的面動問題：典型例題：版權(quán)歸福州五佳教育錦元數(shù)學工作室鄒強，轉(zhuǎn)載必究例1：（2013年湖北恩施3分）如圖所示，在直角坐標系中放置一

14、個邊長為1的正方形ABCD，將正方形ABCD沿x軸的正方向無滑動的在x軸上滾動，當點A離開原點后第一次落在x軸上時，點A運動的路徑線與x軸圍成的面積為【 】A B C D例2：（2013年遼寧盤錦3分）如圖，將邊長為4的正方形ABCD的一邊BC與直角邊分別是2和4的RtGEF的一邊GF重合正方形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿GE向右勻速運動，當點A和點E重合時正方形停止運動設正方形的運動時間為t秒，正方形ABCD與RtGEF重疊部分面積為s，則s關于t的函數(shù)圖象為【 】【答案】B?！究键c】面動問題的函數(shù)圖象，正方形和直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應用。【分析】分類討論

15、：例3：（2013年湖北黃岡3分）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線L上，將矩形ABCD沿直線L作無滑動翻滾，當點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經(jīng)過的路線長為 .例4：（2013年江蘇南京2分）如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到矩形ABCD的位置，旋轉(zhuǎn)角為a (0a0)的圖象和矩形ABCD的第一象限，AD平行于x軸，且AB=2，AD=4，點A的坐標為(2，6) （1）直接寫出B、C、D三點的坐標； （2）若將矩形向下平移，矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上，猜想這是哪兩個點，并求矩形的平移距離和反比例函數(shù)的解析式【答案】解：（1）B（2，4），C（6，4）

16、，D（6，6）。（2）猜想矩形的A、C兩頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上。例9：（2013年浙江金華、麗水12分）如圖1，點A是軸正半軸上的動點，點B的坐標為（0，4），M是線段AB的中點。將點M繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)900得到點C，過點C作軸的垂線，垂足為F，過點B作軸的垂線與直線CF相交于點E，點D是點A關于直線CF的對稱點。連結(jié)AC，BC，CD，設點A的橫坐標為，（1）當=2時，求CF的長；（2）當為何值時，點C落在線段CD上；設BCE的面積為S，求S與之間的函數(shù)關系式；（3）如圖2，當點C與點E重合時，將CDF沿軸左右平移得到，再將A，B，為頂點的四邊形沿剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖

17、形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形。請直接寫出符合上述條件的點坐標，【答案】解：（1）當=2時，OA=2， 點B（0，4），OB=4。 又BAC=900，AB=2AC，可證RtABORtCAF。 如圖3，當時，點的坐標為（2，0）， 根據(jù)，為拼成的三角形，此時點的坐標為（2，4）。例10：（2013年山東德州12分）如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tanBAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到DOC，拋物線經(jīng)過點A、B、C（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，其坐標為t，設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD

18、于F，求出當CEF與COD相似時，點P的坐標；是否存在一點P，使PCD得面積最大？若存在，求出PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）在RtAOB中，OA=1，OB=3OA=3。DOC是由AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90而得到的，DOCAOB。OC=OB=3，OD=OA=1。A、B、C的坐標分別為（1，0），（0，3）（3，0）代入解析式得，解得：。例11：（2013年遼寧錦州14分）如圖，拋物線經(jīng)過ABC的三個頂點，點A坐標為（0，3），點B坐標為（2，3），點C在x軸的正半軸上（1）求該拋物線的函數(shù)關系表達式及點C的坐標；（2）點E為線段OC上一動點，以OE為邊在第一象限內(nèi)作

19、正方形OEFG，當正方形的頂點F恰好落在線段AC上時，求線段OE的長；（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當點E和點C重合時停止運動設平移的距離為t，正方形DEFG的邊EF與AC交于點M，DG所在的直線與AC交于點N，連接DM，是否存在這樣的t，使DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（4）在上述平移過程中，當正方形DEFG與ABC的重疊部分為五邊形時，請直接寫出重疊部分的面積S與平移距離t的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍；并求出當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？【答案】解：（1）拋物線經(jīng)過點A（0，3），B（

20、2，3），解得：。在RtMNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=。當DMN是等腰三角形時：若DN=MN，則=，解得t=。若DM=MN，則DM2=MN2，即22+（）2=（）2，解得t=2或t=6（不合題意，舍去）。若DM=DN，則DM2=DN2，即22+（）2=（）2，解得t=1。綜上所述，當t=1、2或時，DMN是等腰三角形。 （4）當正方形DEFG與ABC的重疊部分為五邊形時，如答圖3，定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，由實際問題列函數(shù)關系式，二次函數(shù)的最值，分類思想和轉(zhuǎn)換思想的應用?！痉治觥浚?）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，令y=0解方程，求出點C的坐標。（2）如答圖

21、1，由CEFCOA，根據(jù)比例式列方程求出OE的長度。（3）如答圖2，若DMN是等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論。（4）當正方形DEFG與ABC的重疊部分為五邊形時，如答圖3，由S=S正方形DEFGS梯形MEDNSFJK求出S關于t的表達式，然后由二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值。例12：（2013年江蘇揚州10分）如圖，拋物線交y軸于點A，交x軸正半軸于點B（1）求直線AB對應的函數(shù)關系式；（2）有一寬度為1的直尺平行于x軸，在點A、B之間平行移動，直尺兩長邊所在直線被直線AB和拋物線截得兩線段MN、PQ，設M點的橫坐標為m，且0m3試比較線段MN與PQ的大小例13：（2013年湖南婁底10分）如圖，在ABC中，B=45，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H（1）求證：；（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運動（當矩形的邊PQ到達A點時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍【答案】解：（1）證明：矩形EFPQ