[初二]競賽專題選講之——比較大小

1、初中數(shù)學競賽專題選講比較大小一、內(nèi)容提要1 比較兩個代數(shù)式的值的大小，一般要按字母的取值范圍進行討論，常用求差法。根據(jù)不等式的性質(zhì)：當ab0時，ab；當ab0時，a=b；當ab0時ab。2 通常在寫成差的形式之后，用因式分解化為積的形式，然后由負因數(shù)的個數(shù)決定其符號。3 需要討論的可借助數(shù)軸，按零點分區(qū)。4 實數(shù)（有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱）的平方是非負數(shù)，在決定符號時常用到它。即若a是實數(shù)，則a20，由此而推出一系列絕對不等式（字母不論取什么值，永遠成立的不等式）。諸如(ab)20，a2+10，a2+a+1=(a+)2+0a20，（a2+a+2）0當ab時，（ab）20二、例題例1 試比較a3與a

2、的大小 解：a3a=a(a+1)(a1) a3a=0,即a3=a 以1，0，1三個零點把全體實數(shù)分為4個區(qū)間，由負因數(shù)的個數(shù)決定其符號： 當a1時，a+10,a0,a10（3個負因數(shù)）a3a0即a3a 當1a0時a0,a10（2個負因數(shù)）a3a0即a3a當0a1時，a10（1個負因數(shù)）a3a0即a3a當a1時，沒有負因數(shù)， a3a0即a3a綜上所述當a=0,1，1時， a3=a當a1或0a1時，a3a當1a0或a1時，a3a。（試總結(jié)符號規(guī)律）例2 什么數(shù)比它的倒數(shù)大？解：設這個數(shù)為x，則當并且只當x 0時，x 比它的倒數(shù)大，x 101以三個零點1，0，1把實數(shù)分為4個區(qū)間，由例1可知當x1或

3、1x0時，x比它的倒數(shù)大。例3己知步行的速度是騎車速度的一半，自行車速度是汽車速度的一半，甲、乙兩人同時從A去B，甲乘汽車到中點，后一半用歩行，乙全程騎自行車，問誰先到達？解：設從A到B有x千米，步行速度每小時y 千米，那么甲、乙走完全程所用時間分別是t甲，t乙t甲t乙x0，y0t甲t乙0答：乙先到達B地例4己知abc，求證：a2+b2+c2ab+bc+ca證明：a2+b2+c2ab+bc+ca×2（a2+b2+c2ab+bc+ca）（2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca）（a-b）2+(b-c)2+(c-a)2abc，（a-b）20，(b-c)20，(c-a)20a2+b2

4、+c2ab+bc+ca又證：ab，（a-b）20 a2+b22ab(1)同理b2+c22bc(2) c2+a2>2ca(3)(1)+(2)+( 3)得2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca即a2+b2+c2ab+bc+ca例5比較 3（1a2+a4）與(1+a+a2)2的大小解：3（1a2+a4）(1+a+a2)23（1a+a2）2-2a-2a2-2a3(1+a+a2)22(1+a+a2)26a(1a+a2) =2(1a+a2)( 1a+a2-3a)=2(1a+a2)(1-a)21a+a2（0，(1-a)20當a=1時，3（1a2+a4）(1+a+a2)2當a1時，3（1a2+a4

5、）(1+a+a2)2 例6 解方程 解：以0.5,和2兩個零點分為3個區(qū)間 當x<-0.5時，(2x+1)(x-2)=4, 解得x=1當0.5x<2時，（2x+1）（x-2）=4, 解得x=1 當x2時，（2x+1）+(x2)4解得x=, 在x2范圍無解綜上所述原方程有兩個解x=1, x=1三、練習1 己知a>0,b<0,且a+b<0. 試把a,b,0及其相反數(shù)記在數(shù)軸上。并用“”號把它們連接。2 比較下列各組中的兩個數(shù)值的大?。篴4與a2 與3 什么數(shù)的平方與立方相等？什么數(shù)的平方比立方大？4 甲乙兩人同時從A去B，甲一半路程用時速a千米，另一半路程用時速b千米

6、；乙占總時間的一半用時速a千米,另一半時間用時速b千米,問兩人誰先到達？5 己知a>b>c>d>0且ab=cd， 試比較a+c與b+d的大小6 己知a<b,x<y. 求證：ax+by>ay+bx7 己知a<b<c, x<y<z 求證：ax+by+cz>az+bx+cy ax+by+cz>az+bx+cy(提示：可應用第6題的結(jié)論)8 己知a<b<0,下列不等式，哪些能成立？不能成立的，請舉個反例。ab<1 a2b<09.若a,b,c都是大于1的負數(shù)，（即1a,b,c<0下列不等式哪些不能成立？試各舉一個反例。a+bc>0 (abc)2>1 a2-b2-c2<0 abc>-110.水池裝有編號為的5條水-管，其中有的是進水管，有的是出水管，同時開放其中的兩條水管，注滿水池所用的時間列表如下開放的水管號時間（小時）2156310問單獨開放哪條水管能最快注満水池？答：（1989年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）練習題參考答案1. b<-a<0<a<-b 2. 用求差法：a4-a2=a2(a+1)(a-1)。3. a2-a3=a2(1-a)4. t甲t乙a