數(shù)學解題思想——整體思想

1、數(shù)學解題思想整體思想楊相云 整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子、圖形或概念看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進行有目的、有意識的整體處理。一整體代入 在求代數(shù)式的值時，可先將條件或待求式變形，再整體代入求值，使問題化難為易。例1 已知a是方程的一個根，求代數(shù)式的值。分析：由a是方程的一個根，得，則，再整體帶入即可。二整體設(shè)元 在解決某些比較復雜的式子時，也可以考慮將復雜的式子整體用字母代換，使問題化繁為簡，巧妙獲解。例2 閱讀材料：求的值。解：設(shè)S=，則2S=, 兩式相減得 2S-S=，即S=； 故=。請你

2、仿照此方法計算：（1） ；（2） （其中n為正整數(shù)）。分析：（1）仿照閱讀材料，設(shè)S=，兩邊乘以3后得到關(guān)系式3S=,再與已知等式相減，得2S=,即可求出所求式子的值；（2）設(shè)S=，兩邊乘以3后得到關(guān)系式5S=,再與已知等式相減，得4S=,即可求出所求式子的值；三整體構(gòu)造 就是對已知條件和所求聯(lián)合研究，把問題作為一個整體來構(gòu)造，從而解決問題。例3 甲、乙、丙三種商品，若買甲4件，乙5件、丙2件，共用69元；若買甲5件，乙6件、丙1件，共用84元。問買甲2件，乙3件、丙4件，共需多少錢？ 分析：如果想先求出甲、乙、丙三種商品的單價后再去求甲2件，乙3件、丙4件共需多少錢，顯然是行不通的，因為條件

3、不夠，所以應該講問題作為一個整體來考慮。設(shè)甲、乙、丙單價分別為x元、y元、z元，則，（1）×3-（2）×2得2x+3y+4z=39即可。四整體配湊（化零為整） 在解決某些整體問題時，有時無法從各組成部分去分別突破，這時需要考慮將其組成部分化零為整，從而使問題獲得解決。例3 如圖，ABC中，AB=AC=8，O為ABC的內(nèi)心，過點O作BC的平行線分別交AB、AC于點D、E，則ADE的周長為多少？分析：連接BO、CO,由O為ABC的內(nèi)心，可得BO平分ABC,得到DBO=OBC,由DEBC,得到DOB=OBC,從而DBO=DOB,于是DO=BD,同理可得OE=CE,即ADE的周長=

4、AD+DO+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=16.五整體處理 在解決某些問題時，可以把某些東西看成一個整體，從整體角度去分析，這樣要比從其他角度去分析方便許多。例4 甲、乙兩人從相距20千米的兩地同時出發(fā)，相向而行，甲的速度為6千米/時，乙的速度為4千米/時。一只小狗與甲同時出發(fā)向乙奔去，遇到乙后立即掉頭向甲跑去，遇到甲后又立即掉過頭迎乙.直到兩人相遇為止。若小狗的速度是13千米/時，在這奔跑過程中，小狗的總行程是多少千米？分析：我們可以有以下幾種思路：（1）逐段計算小狗奔跑的路程；（2）逐段計算小狗奔跑的時間；（3）從題目分析來看，小狗來回奔跑的時間之和，恰等于甲、乙二人從出

5、發(fā)到相遇的所需的時間，故小狗奔跑的總時間為2小時，從而輕而易舉地得到小狗奔跑的總路程為13×2=26（千米）。練習：1. 已知，則的值等于=_.C1C20yx2.計算：-=_.3. 如圖,O的半徑為2,C1是函數(shù)y=x2的圖象,C2是函數(shù)y= -x2的圖象,則陰影部分的面積是 4. 7張如圖1的長為a，寬為b（a>b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形 ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示，設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（   ）A.      B.a=3b        C.      D.a=4b 5. 如圖，P為O外一點，PA、PB分別切O于A、B，CD切O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA=5，則PCD的周長為 _.6.已知，AO是ABC的A的平分線，BDAO交AO的延長線于D，點E是BC的中點，求證：7.在一條公路旁，每隔100千米有一個倉庫，共有5個倉庫，1號倉