數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)歸納

1、必修5 數(shù)列礎(chǔ)知識(shí)歸納數(shù) 列數(shù)列的概念數(shù)列的定義數(shù)列的分類數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列與等比數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算數(shù)列的求和倒序相加錯(cuò)位相減裂項(xiàng)相消其他方法數(shù)列應(yīng)用一、數(shù)列的有關(guān)概念：1數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列(1) 數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)記作an，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號(hào)為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)(也叫通項(xiàng))，記作an(2) 數(shù)列的一般形式：a1，a2，a3，an，簡(jiǎn)記作an2通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式說明：

2、(1) an表示數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項(xiàng)，an = f(n)表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一例如，an = (- 1)n =；(3) 不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式例如，1，1.4，1.41，1.414，(4) 從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集)的函數(shù)f(n)，當(dāng)自變量n從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，通常用an來代替f(n)，其圖象是一群孤立的點(diǎn)3數(shù)列的分類：(1) 按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；(2) 按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列

3、和擺動(dòng)數(shù)列4遞推公式的定義：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an - 1 (或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式5數(shù)列an的前n項(xiàng)和的定義：Sn = a1 + a2 + a3 + +an =稱為數(shù)列an的前n項(xiàng)和要理解Sn與an之間的關(guān)系6等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示即：an為等比數(shù)列Û an + 1 - an = d Û 2an + 1 = an + an + 2 

4、9; an = kn + b Û Sn = An2 + Bn7等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比公比通常用字母q表示(q ¹ 0)，即：an為等比數(shù)列Û an + 1 ：an = q (q ¹ 0) Û注意條件“從第2項(xiàng)起”、“常數(shù)”q由定義可知：等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零二、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列(AP)等比數(shù)列(GP)通項(xiàng)公式an = a1 + (n - 1)dan = a1qn - 1 (a1 ¹ 0，q ¹

5、; 0)前n項(xiàng)和性質(zhì)an = am + (n - m)dan = amqn - mm + n = s + t，則am + an = as + atm + n = s + t，則am × an = as × atSm，S2m - Sm，S3m - S2m，成APSm，S2m - Sm，S3m - S2m，成GP(q ¹ -1或m不為偶數(shù))ak，ak + m，ak + 2m，成AP，d¢ = mdak，ak + m，ak + 2m，成GP，q¢ = qm注：1等差(等比)數(shù)列an的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差(等比)數(shù)列2三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a

6、 - d，a，a + d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a - 3d，a - d，a + d，a + 3d；3三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：a/q，a，aq；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3，a/q，aq，aq3 (為什么？)4an為等差數(shù)列，則 (c > 0)是等比數(shù)列5bn (bn > 0)是等比數(shù)列，則logcbn (c > 0且c1) 是等差數(shù)列6公差為d的等差數(shù)列an中，若d > 0，則an是遞增數(shù)列；若d = 0，則an是常數(shù)列；若d < 0，則an是遞減數(shù)列7等比數(shù)列an中，若公比為q，則(1) 當(dāng)a1 > 0，q > 1或a1 < 0，0 <

7、q < 1時(shí)為遞增數(shù)列； (2) 當(dāng)a1 < 0，q > 1或a1 > 0，0 < q < 1時(shí)為遞減數(shù)列；(3) 當(dāng)q < 0時(shí)為擺動(dòng)數(shù)列； (4) 當(dāng)q = 1時(shí)為常數(shù)列8等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法：(1) a1 > 0，d < 0時(shí)，Sn有最大值；a1 < 0，d > 0時(shí)，Sn有最小值(2) Sn最值的求法： 若已知Sn，可用二次函數(shù)最值的求法(n Î N*)； 若已知an，則Sn取最值時(shí)n的值(n Î N*)可如下確定：Sn最大值(或Sn最小值)三、常見數(shù)列通項(xiàng)的求法：1定義法(利用AP，GP的定義

8、)2累加法(an + 1 - an = cn型)：an = a1 + (a2 - a1) + (a3 - a2) + + (an - an - 1) = a1 + c1 + c2 + + cn - 1(n ³ 2)3公式法：4累乘法(型)：an = a1 ×= a1 × c1 × c2 × × cn - 1(n ³ 2)5待定系數(shù)法：an + 1 = qan + b (q ¹ 0，q ¹ 1，b ¹ 0)型，轉(zhuǎn)化為an + 1 + x = q(an + x)可以將其改寫變形成如下形式：an +

9、1 += q(an +)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式6間接法(例如：an + 1 - an = 4an + 1an Þ)四、數(shù)列的求和方法：除化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和外，還有以下一些常用方法：1拆項(xiàng)求和法(an = bn ± cn)：將一個(gè)數(shù)列拆成若干個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)數(shù)列等等)，然后分別求和如an = 2n + 3n2并項(xiàng)求和法：將數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)(或若干項(xiàng))并成一項(xiàng)(或一組)先求和，然后再求Sn 如“”的求和3裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的每一項(xiàng)拆(裂開)成兩項(xiàng)之差，即an = f(n + 1) - f(n)，使得正負(fù)項(xiàng)能互相抵消，剩下首尾若干項(xiàng)

10、用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)，如：、=-、等4錯(cuò)位相減法：將一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都作相同的變換，然后將得到的新數(shù)列錯(cuò)動(dòng)一個(gè)位置與原數(shù)列的各項(xiàng)相減，這是仿照推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用錯(cuò)位相減法即錯(cuò)位相減法一般只要求解決下述數(shù)列的求和：若an = bncn，其中bn是等差數(shù)列，cn是等比數(shù)列，則數(shù)列an的求和運(yùn)用錯(cuò)位相減法記Sn = b1c1 + b2c2 + b3c3 + + bncn，則qSn = b1c2 + b2c3 + + bn - 1cn + bncn + 1，如an = (2n - 1) × 2n5倒序相加法：將一個(gè)數(shù)列的倒數(shù)第k項(xiàng)(k = 1，2，3，n)變?yōu)轫様?shù)第k項(xiàng)，然后將得到的新數(shù)列與原數(shù)列相加，這是仿照推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法注意：(1) “數(shù)列求和”是數(shù)列中的重要內(nèi)容，在中學(xué)高考范圍內(nèi)，學(xué)習(xí)數(shù)列求和不需要學(xué)習(xí)任何理論，上面所述求和方法只是將一些常用的數(shù)式變換技巧運(yùn)用于數(shù)列求和之中(2) “錯(cuò)位”與“倒序”求和的方法是比較特殊的方法(3) 數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適的方法(4) 重要公式： 1 + 2 + + n =n(n + 1)； 12 + 22 + + n