第三章曲線與曲面

1、第三章第三章 曲線與曲面曲線與曲面3.1 曲線與曲面曲線與曲面3.2曲面立體的投影曲面立體的投影3.3平面截割平面體平面截割平面體3.4直線與曲面立體相交直線與曲面立體相交3.5平面體與曲面體相交平面體與曲面體相交3.6兩曲面體相交兩曲面體相交 3.1 曲線與曲面曲線與曲面（一）曲線（一）曲線曲線曲線可以看成是一個(gè)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的軌跡?？梢钥闯墒且粋€(gè)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的軌跡。平面曲線平面曲線：曲線上各點(diǎn)都是在同一個(gè)平面內(nèi)（如圓、橢圓、雙曲：曲線上各點(diǎn)都是在同一個(gè)平面內(nèi)（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）。線、拋物線等）?？臻g曲線空間曲線：曲線上各點(diǎn)不在同一個(gè)平面內(nèi)（如圓柱螺旋線等）。：

2、曲線上各點(diǎn)不在同一個(gè)平面內(nèi)（如圓柱螺旋線等）。曲線曲線 圓的投影圓的投影（1）圓所在的平面平行于投影面時(shí)，圓的投影反映實(shí)形（同樣大）圓所在的平面平行于投影面時(shí)，圓的投影反映實(shí)形（同樣大小的圓）；小的圓）；（2）圓所在的平面傾斜于投影面時(shí)，圓的投影不反映實(shí)形（成為）圓所在的平面傾斜于投影面時(shí)，圓的投影不反映實(shí)形（成為橢圓）；橢圓）；（3）圓所在的平面垂直于投影面時(shí)，圓的投影積聚為一條直線）圓所在的平面垂直于投影面時(shí)，圓的投影積聚為一條直線（長(zhǎng)度等于直徑）。（長(zhǎng)度等于直徑）。（二）曲面（二）曲面 曲面曲面可以看成是由直線或曲線在空間按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成?？梢钥闯墒怯芍本€或曲線在空間按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而

3、形成。 曲面曲面 直線曲面直線曲面：由直線運(yùn)動(dòng)而形成的曲面稱(chēng)為。：由直線運(yùn)動(dòng)而形成的曲面稱(chēng)為。 曲線曲面曲線曲面：由曲線運(yùn)動(dòng)而形成的曲面稱(chēng)為。：由曲線運(yùn)動(dòng)而形成的曲面稱(chēng)為。 回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體是由一母線（直線或曲線）繞一固定軸線作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成是由一母線（直線或曲線）繞一固定軸線作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成的，因此圓柱體、圓錐體、球體和環(huán)體都是回轉(zhuǎn)體。的，因此圓柱體、圓錐體、球體和環(huán)體都是回轉(zhuǎn)體。 曲線與曲面曲線與曲面曲面的形成曲面的形成圓柱曲面圓柱曲面是一條直線圍繞一條軸線始終保持平行和等距是一條直線圍繞一條軸線始終保持平行和等距旋轉(zhuǎn)而成。旋轉(zhuǎn)而成。 母線母線圓錐面圓錐面是一條直線與軸線交于一點(diǎn)始終保持一定夾角旋

4、轉(zhuǎn)而成的。是一條直線與軸線交于一點(diǎn)始終保持一定夾角旋轉(zhuǎn)而成的。 母線母線曲面的形成曲面的形成球面球面是由一個(gè)圓或圓弧線以直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。是由一個(gè)圓或圓弧線以直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。 曲面的形成曲面的形成（三）素線與輪廓線（三）素線與輪廓線 形成曲面的母線，它們?cè)谇嫔系娜魏挝恢梅Q(chēng)為形成曲面的母線，它們?cè)谇嫔系娜魏挝恢梅Q(chēng)為素線素線。 我們把確定曲面范圍的外形線稱(chēng)為我們把確定曲面范圍的外形線稱(chēng)為輪廓線輪廓線（或（或轉(zhuǎn)向輪廓線轉(zhuǎn)向輪廓線），輪廓），輪廓線也是可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線。線也是可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線。 當(dāng)回轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)軸在投影體系中擺放的位置合理時(shí)，當(dāng)回轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)軸在投影體系中擺放的位置合理時(shí)，輪

5、廓線與素線重輪廓線與素線重合合，這種素線稱(chēng)為，這種素線稱(chēng)為輪廓素線輪廓素線。 在三面投影體系中，常用的四條輪廓素線分別為：形體在三面投影體系中，常用的四條輪廓素線分別為：形體最前邊素線、最前邊素線、最后邊素線、最左邊素線最后邊素線、最左邊素線和和最右邊素線。最右邊素線。 曲面的形成曲面的形成曲面的形成曲面的形成（四）緯圓（四）緯圓 由回轉(zhuǎn)體的形成可知，由回轉(zhuǎn)體的形成可知，母線上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌母線上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，該圓垂直軸線，跡為圓，該圓垂直軸線，此圓既為此圓既為緯圓緯圓。 回轉(zhuǎn)軸母線輪廓素線OO1緯圓曲面的分類(lèi)曲面的分類(lèi)按母線的形狀分直紋曲面曲紋曲面按母線的運(yùn)動(dòng)形式分有導(dǎo)線導(dǎo)面的曲

6、面回轉(zhuǎn)曲面有導(dǎo)線導(dǎo)面的直紋曲面有導(dǎo)線導(dǎo)面的直紋曲面 直線形的母線在固定的直線或曲線上滑動(dòng)，所形成的曲面叫做有導(dǎo)線的直紋曲面；如果母線在滑動(dòng)時(shí)，又始終平行于某一個(gè)固定的平面或曲面，這樣形成的曲面叫做有導(dǎo)線導(dǎo)面的直紋曲面。P導(dǎo)平面曲導(dǎo)線直導(dǎo)線3.2 3.2 曲面立體的投影曲面立體的投影由曲面或曲面和平面圍合而成的立體稱(chēng)為曲面立體。圓柱體的投影分析圓柱體的投影分析（回轉(zhuǎn)軸垂直于H面） 水平投影是一個(gè)圓，這個(gè)圓既是上底圓和下底圓的重合投影，反映實(shí)形，又是圓柱面的積聚投影，其半徑等于底圓的半徑，回轉(zhuǎn)軸的投影積聚在圓心上（通常用細(xì)點(diǎn)畫(huà)線畫(huà)出十字對(duì)稱(chēng)中心線） 。 正面投影和側(cè)面投影是兩個(gè)相等的矩形，矩形的高

7、度等于圓柱的高度，寬度等于圓柱的直徑（回轉(zhuǎn)軸的投影用細(xì)點(diǎn)畫(huà)線來(lái)表示） 。圓柱體的投影分析圓柱體的投影分析（回轉(zhuǎn)軸垂直于H面） 正面投影的左、右邊線分別是圓柱最左、最右的兩條輪廓素線的投影，這兩條素線把圓柱分為前、后兩半，他們?cè)赪面上的投影與回轉(zhuǎn)軸的投影重合。 側(cè)面投影的左、右邊線分別是圓柱最前、最后的兩條輪廓素線的投影，這兩條素線把圓柱分為左、右兩半，他們?cè)赩面上的投影與回轉(zhuǎn)軸的投影重合。ac(b )圓柱表面取點(diǎn)圓柱表面取點(diǎn)素線法acbb (c) a 圓錐體的投影分析圓錐體的投影分析（回轉(zhuǎn)軸垂直于H面） 水平投影是一個(gè)圓，這個(gè)圓是圓錐底圓和圓錐面的重合投影，反映底圓的實(shí)形，其半徑等于底圓的半徑

8、，回轉(zhuǎn)軸的投影積聚在圓心上，錐頂?shù)耐队耙猜湓趫A心上（通常用細(xì)點(diǎn)畫(huà)線畫(huà)出十字對(duì)稱(chēng)中心線） 。 正面投影和側(cè)面投影是兩個(gè)相等的等腰三角形，高度等于圓錐的高度，底邊長(zhǎng)等于圓錐底圓的直徑（回轉(zhuǎn)軸的投影用細(xì)點(diǎn)畫(huà)線來(lái)表示） 。圓錐體的投影分析圓錐體的投影分析（回轉(zhuǎn)軸垂直于H面） 正面投影的左、右邊線分別是圓錐最左、最右的兩條輪廓素線的投影，這兩條素線把圓柱分為前、后兩半，他們?cè)赪面上的投影與回轉(zhuǎn)軸的投影重合，在H面上的投影與圓的水平中心線重合。 側(cè)面投影的左、右邊線分別是圓錐最前、最后的兩條輪廓素線的投影，這兩條素線把圓柱分為左、右兩半，他們?cè)赩面上的投影與回轉(zhuǎn)軸的投影重合，在H面上的投影與圓的豎直中心線

9、重合。圓錐表面取點(diǎn)圓錐表面取點(diǎn)aaa11方法一：素線法。方法一：素線法。 方法二：緯圓法。方法二：緯圓法。球體的投影分析球體的投影分析球體的三個(gè)投影為直徑相等并等于球體直徑的圓。但這三個(gè)圓并不是球體上同一個(gè)圓周的投影。PVa(c )b球體表面上取點(diǎn)球體表面上取點(diǎn)ac(b )acb緯圓法圓環(huán)的投影分析圓環(huán)的投影分析圓環(huán)的水平投影由赤道圓和喉圓的水平投影組成，正面投影的左、右是兩個(gè)小圓（反映母圓的實(shí)形，但有半邊看不見(jiàn)，畫(huà)成虛線），小圓的公切線分別是環(huán)面上最上和最下兩個(gè)緯圓的正面投影。m圓環(huán)表面取點(diǎn)圓環(huán)表面取點(diǎn)m緯圓法3.3 3.3 平面截割曲面體平面截割曲面體 平面與曲面立體相交，也叫截割，所得截

10、交線一般情況下是平面曲線，或是由曲線和直線圍合而成的平面圖形。 截交線同樣具有閉合性閉合性和共有性共有性的特點(diǎn)。截交線的求法截交線的求法 表面取點(diǎn)法：表面取點(diǎn)法：（1）素線法：在曲面立體的表面上取若干素線，求出素線與截平面的交點(diǎn)，然后依次光滑連接即可。（2）緯圓法：在曲面立體的表面上取若干緯圓，求出緯圓與截平面的交點(diǎn)，然后依次光滑連接即可。 輔助平面法：輔助平面法： 以某些特殊位置平面為輔助平面，求出輔助平面與曲面立體和截平面的交線，則這兩條交線的交點(diǎn)即為截交線上的點(diǎn)，將這些點(diǎn)依次光滑連接即為所求截交線。作圖步驟作圖步驟1、進(jìn)行線面分析，判斷截交線的形狀和性質(zhì)。2、根據(jù)截平面和曲面立體所處的位

11、置，決定采用什么方法求截交線。3、求出特殊位置點(diǎn)的投影。4、根據(jù)需要求出若干一般位置點(diǎn)的投影。5、光滑且順序的連接各點(diǎn)，作出截交線，并判別可見(jiàn)性。6、整理輪廓線。截交線截交線平面與圓柱面截交平面與圓柱面截交截平面截平面P的的位置位置截平面垂直于圓柱軸線截平面垂直于圓柱軸線截平面傾斜于圓柱軸線截平面傾斜于圓柱軸線截平面平行于圓柱軸線截平面平行于圓柱軸線截交線空間截交線空間形狀形狀圓圓橢圓橢圓兩條平行直線兩條平行直線投影圖投影圖求圓柱體截交線求圓柱體截交線341265785（6）7（8）187256342、作特殊位置點(diǎn)的投影。3、作一般位置點(diǎn)的投影。4、畫(huà)截交線。5、整理輪廓。解題步驟：1、進(jìn)行線

12、面分析，判斷截交線的形狀和特點(diǎn)。23（4）1345334554122112求圓柱體截交線求圓柱體截交線想象立體的形狀并繪出側(cè)面投影圖想象立體的形狀并繪出側(cè)面投影圖截平面截平面p位位置置截平面垂直于圓錐截平面垂直于圓錐軸線軸線截平面與錐面上所截平面與錐面上所有素線相交有素線相交截平面平行于圓錐截平面平行于圓錐面上一條素線面上一條素線截平面平行于圓錐面上截平面平行于圓錐面上兩條素線兩條素線截平面通過(guò)錐頂截平面通過(guò)錐頂截交線空截交線空間形狀間形狀圓圓橢圓橢圓拋物線拋物線雙曲線雙曲線兩條素線兩條素線投影圖投影圖平面與圓錐面截交圓錐面截交333求圓錐體截交線求圓錐體截交線求圓臺(tái)截交線求圓臺(tái)截交線12(3

13、)6(7)4(5)17654321543267平面與球體截交平面與球體截交球體被任意方向的平面截割，其截交線在空間都是圓。1212343456567878abcdbacd2134567 8abcd求球體的截交線求球體的截交線22112求球體的截交線求球體的截交線3.4 3.4 直線和曲面立體相交直線和曲面立體相交 直線和曲面立體相交所得的交點(diǎn)也叫貫穿點(diǎn)貫穿點(diǎn)。 求作直線和曲面立體的貫穿點(diǎn)，如同求直線與平面立體的貫穿點(diǎn)一樣，一般也采用輔助平面法。步驟如下： （1）過(guò)已知直線作一個(gè)輔助平面（特殊位置平面）； （2）求輔助平面與曲面立體的截交線； （3）確定截交線與已知直線的交點(diǎn)，該交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。

14、 在特殊情況下，如曲面的投影具有積聚性，或直線的投影積聚，則可直接求出貫穿點(diǎn)。求貫穿點(diǎn)求貫穿點(diǎn)(直線與圓柱、圓錐貫穿直線與圓柱、圓錐貫穿)ababcdc(d)12213.5 3.5 平面立體和曲面立體相交平面立體和曲面立體相交 平面立體和曲面立體相交，也稱(chēng)相貫，所得的相貫線一般是由若干段平面曲線或平面曲線和直線所圍成。 各段曲線就是平面立體的各棱面截割曲面體所得的截交線；每一段相貫線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，就是平面立體的棱線與曲面立體相交的貫穿點(diǎn)。相貫線的求法相貫線的求法 求平面立體與曲面立體的相貫線，可歸結(jié)為求平面與曲面立體的截交線和直線與曲面立體的貫穿點(diǎn)。 作相貫線投影圖的方法：作相貫線投影圖的方法：

15、通常情況下，先求出貫穿點(diǎn)（即相貫線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)），再按照求曲面立體的截交線的方法求出每段曲線或直線?！纠咳缦聢D所示，求四棱錐【例】如下圖所示，求四棱錐與圓柱與圓柱的相貫線。的相貫線。 解：解： 1）求連接點(diǎn)。）求連接點(diǎn)。2）求特殊點(diǎn)。）求特殊點(diǎn)。 3）判別可見(jiàn)性并連線。）判別可見(jiàn)性并連線。 平面體與圓柱相交平面體與圓柱相交PWQW平面體與圓錐相交平面體與圓錐相交解題步驟：（1）進(jìn)行線面分析，判斷相貫線的形狀；（2）作相貫線上轉(zhuǎn)折點(diǎn)、特殊位置點(diǎn)的投影；（3）根據(jù)情況作若干個(gè)相貫線上一般位置點(diǎn)的投影；（5）整理輪廓。（4）光滑地連接各點(diǎn)，并判斷可見(jiàn)性；312321231【例】【例】 如下圖所示，給出

16、圓錐薄殼基如下圖所示，給出圓錐薄殼基礎(chǔ)的主要輪廓線，求作相貫線。礎(chǔ)的主要輪廓線，求作相貫線。 解：解：1）求特殊點(diǎn)。）求特殊點(diǎn)。 3）連點(diǎn)。）連點(diǎn)。 4）判斷可見(jiàn)性。）判斷可見(jiàn)性。 2）同樣用素線法求出兩對(duì)稱(chēng)的一般點(diǎn)）同樣用素線法求出兩對(duì)稱(chēng)的一般點(diǎn)E、F的正面投影的正面投影e、f及側(cè)面投影及側(cè)面投影e、f； 平面體與球體相交平面體與球體相交3.6 3.6 兩曲面立體相交兩曲面立體相交 兩曲面立體相交所得的相貫線，一般情況下是空間曲線，特殊情況下是平面曲線或直線?？臻g曲線圓直線和圓的組合直線兩個(gè)橢圓求曲面立體相貫線的方法求曲面立體相貫線的方法選擇輔助平面的原則是：選擇輔助平面的原則是：一定要使選

17、用的輔助平面與曲面立體的截一定要使選用的輔助平面與曲面立體的截交線是直線或圓，并且其投影也是直線或圓。交線是直線或圓，并且其投影也是直線或圓。1.積聚投影法積聚投影法:相交兩曲面體，如果有一個(gè)表面投影具有積聚性時(shí)，相交兩曲面體，如果有一個(gè)表面投影具有積聚性時(shí)，就可利用該曲面體投影的積聚性作出兩曲面的一系列共有點(diǎn)，然后就可利用該曲面體投影的積聚性作出兩曲面的一系列共有點(diǎn)，然后依次連成相貫線。依次連成相貫線。 2.輔助平面法輔助平面法:根據(jù)三面共點(diǎn)原理，作輔助平面與兩曲面相交，求出兩輔根據(jù)三面共點(diǎn)原理，作輔助平面與兩曲面相交，求出兩輔助截交線的交點(diǎn)，即為相貫點(diǎn)。助截交線的交點(diǎn)，即為相貫點(diǎn)。相貫線上

18、的特殊點(diǎn)包括：相貫線上的特殊點(diǎn)包括：可見(jiàn)性分界點(diǎn)，曲面投影輪廓線上的可見(jiàn)性分界點(diǎn)，曲面投影輪廓線上的點(diǎn)，極限位置點(diǎn)（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。點(diǎn)，極限位置點(diǎn)（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。 求共有點(diǎn)時(shí)求共有點(diǎn)時(shí)，應(yīng)先求特殊點(diǎn)，再求一般點(diǎn)。，應(yīng)先求特殊點(diǎn)，再求一般點(diǎn)。 求曲面立體相貫線的步驟求曲面立體相貫線的步驟（1）進(jìn)行線面分析，判斷曲面立體的形狀、大小、相對(duì)位）進(jìn)行線面分析，判斷曲面立體的形狀、大小、相對(duì)位置；置；（2）分析相貫線的形狀；）分析相貫線的形狀；（3）分析曲面立體的哪個(gè)投影具有積聚性，相貫線的哪個(gè)）分析曲面立體的哪個(gè)投影具有積聚性，相貫線的哪個(gè)投影已知，哪個(gè)投影要求；投影已知，哪個(gè)投影要求；（4）作出相貫線上的特殊點(diǎn)的投影；）作出相貫線上的特殊點(diǎn)的投影；（5）根據(jù)需要作出若干一般位置點(diǎn)的投影；）根據(jù)需要作出若干一般位置點(diǎn)的投影；（6）光滑并順序的連接各點(diǎn)作出相貫線，并判斷可見(jiàn)性；）光滑并順序的連接各點(diǎn)作出相貫線，并判斷可見(jiàn)性；（7）整理輪廓線。）整理輪廓線。求曲面立體的相貫