高等數(shù)學(xué)公式定理整理

1、高等數(shù)學(xué)公式定理整理1.01版本定理，公式整理僅用于參考，具體學(xué)習(xí)請多做題目以增進(jìn)對知識的掌握。藍(lán)色為定理 紅色為公式 三角函數(shù)恒等公式：兩角和差和差化積積化和差倍角公式（部分）：很重要！1、 函數(shù)函數(shù)的特性：1. 有界性：假設(shè)函數(shù)在D上有定義，如果存在正數(shù)M，使得對于任何的xD都滿足|f(x)|M。則稱f（x）是D的有界函數(shù)。如果正數(shù)M不存在，則稱這個(gè)函數(shù)是D上的無界函數(shù)。2. 單調(diào)性設(shè)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID。X1，x2I，那么，如果x1<x2,那么就是單調(diào)增加函數(shù)；如果x1>x2,那么就是單調(diào)減少函數(shù)。3. 奇偶性如果f(-x)=f(x),那就成為偶函數(shù)，如果f(-x)

2、=-f(x)，那就是奇函數(shù)。4. 周期性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在不為零的數(shù)T，使得任一xD有（x±T）D，且f（x±T）=f（x）總是成立，就稱該函數(shù)為周期函數(shù)，如sin x，cos x，它們就是以2為周期的周期函數(shù)。反函數(shù)：就是用自變量X來表示原函數(shù)Y，如下列式子：原函數(shù)f(x)=x+5，它的反函數(shù)為x=f(x)-5,也就是f（x）=x-5；復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)：重要?。毫鶄€(gè)基本初等函數(shù)是：冪函數(shù)（xa）,指數(shù)函數(shù)（ax），對數(shù)函數(shù)（logax，lg x【log10x】，ln x【logex】），三角函數(shù)（sinx，cosx，tanx，ctnx，secx，cscx），反三

3、角函數(shù)（常見反三角函數(shù)為arcsinx，arccosx，arctanx）復(fù)合函數(shù)就是初等函數(shù)，初等函數(shù)是基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的運(yùn)算后得到的，分段函數(shù)不是初等函數(shù)。2、 極限與連續(xù)極限就是一個(gè)數(shù)無限趨近于一個(gè)值，函數(shù)極限就是函數(shù)無限趨近于一個(gè)值，用limxx0 f（x）=A如何得知一個(gè)函數(shù)有極限？算出左極限和右極限。并且左右極限相等。極限運(yùn)算法則limxx0 f（x）±g(x)=limxx0 f（x）±limxx0 g（x）=A±Blimxx0 cf（x）=climxx0 f（x）=cAlimxx0 f（x）·limxx0 g（x）=limxx0 f（x

4、）·g（x）=A·B=（B0）重要！：兩個(gè)重要極限1. 夾逼準(zhǔn)則如果xn，yn，zn 滿足xnynzn 那么這就是夾逼準(zhǔn)則。2.圖 1如圖1，AOC=x（0<x<2/），由于|BD|=x，弧BC=x，|CA|=tan x且OBC面積扇形OBC面積AOC面積，于是有：化簡兩邊同時(shí)除以sinx根據(jù)夾逼準(zhǔn)則得出所以3. （這是標(biāo)準(zhǔn)公式，題目有類似的把它轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)公式即可）4. 無窮大量和無窮小量（1） 性質(zhì)1，無窮小量和有界函數(shù)的積仍為無窮小量（2） 性質(zhì)2，兩個(gè)無窮小量之積仍為無窮小量（3） 性質(zhì)3，兩個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量定理1，在自變量變化過程中，函數(shù)有

5、極限的充分必要條件是函數(shù)可寫成常數(shù)和無窮小量的和。定理2，b與a是等價(jià)無窮小的充分必要條件為b=a+o（a）定理3,設(shè)aa,bb，且limb/a存在，則lima/b=lima/b。無窮小量的比較： 其中等價(jià)無窮小可運(yùn)用到極限運(yùn)算中（加減關(guān)系不能用，乘除關(guān)系可以用，且x趨于0）等價(jià)公式：當(dāng)x0時(shí)，sinxx ，tanxx， arcsinxx ，arctanxx ，1-cosx(1/2)*（x2）secx-1， （ax）-1x*lna (（ax-1)/xlna)， （ex）-1x ，ln(1+x)x ，(1+Bx)a-1aBx，(1+x)1/n-1（1/n）*x，loga(1+x)x/lna ，（

6、1+x)a-1ax(a0)，5. 連續(xù)定義 設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若lim（x0）y=0，則稱函數(shù)f（x）在x0這個(gè)點(diǎn)連續(xù)。條件：（1）f（x0）有定義，有數(shù)值；（2）lim（xx0）有極限，（3）且左右極限相等；才連續(xù)。左右連續(xù)和左右極限相同，如圖：就是說只有左右連續(xù)相等，且有定義，那么才連續(xù)。（1） 間斷點(diǎn)根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義，可以分成四個(gè)間斷點(diǎn)。可去間斷點(diǎn)：左右極限存在且相等，但是卻沒有定義。跳躍間斷點(diǎn)：左右極限存在卻不相等，在該點(diǎn)有（無）定義。震蕩間斷點(diǎn)：極限不存在，函數(shù)值在幾個(gè)數(shù)之間搖擺。無窮間斷點(diǎn)：在區(qū)間內(nèi)極限區(qū)域無窮大。閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：1、 a,b區(qū)間里

7、連續(xù)函數(shù)，必定存在最小值和最大值；2、 函數(shù)f（x）在a,b區(qū)間連續(xù)，則在a,b必定有界；3、 若函數(shù)f(x)在a,b連續(xù)，且f(a)=A,f(b)=B,又AB，C是介于A，B的一個(gè)值，則必定存在一個(gè)點(diǎn)，使得f（）=C；4、 若函數(shù)f(x)在a,b連續(xù)，且f(a)，f(b)異號，則一定存在一個(gè)x0（a，b），使得f（x0）=0；3、 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是f(x)在x點(diǎn)函數(shù)的切線的斜率；求某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)；導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式： 1.y=c(c為常數(shù)) y'=02.y=xn y'=nx(n-1)3.y=ax y'=axlnay=ex y'=ex

8、y=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos2x8.y=cotx y'=-1/sin2x9.y=arcsinx y'=1/1-x210.y=arccosx y'=-1/1-x211.y=arctanx y'=1/1+x212.y=arccotx y'=-1/1+x2函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：鏈?zhǔn)椒▌t：例：隱函數(shù)求導(dǎo)法：（1） 兩端同時(shí)求導(dǎo)（2） 等式兩端取對數(shù)1. 先將等式兩邊取自然對數(shù)；2.對等式兩邊求導(dǎo)；參數(shù)方程求導(dǎo)法：羅爾定理：a

9、,b連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且f(a)=f(b),則有一個(gè)數(shù)，使得f()=0。拉格朗日定理：a,b連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，則(a,b)至少有一點(diǎn)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)即羅必塔法則，求極限，如果函數(shù)的關(guān)系諸如或者的未定式，可以直接對分子分母求導(dǎo)運(yùn)算。如果是 0·時(shí)可通過來求。如果是0-0或-可以通分來求。函數(shù)的單調(diào)性和極值：四步走：1.求定義域；2.求導(dǎo)；3.在定義域中求一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)（駐點(diǎn)）；4.列表說明單調(diào)增減函數(shù)的凹凸率，1.求定義域；2.求二階導(dǎo)；3.求定義域中二階導(dǎo)為0的點(diǎn)（拐點(diǎn)）；4.根據(jù)拐點(diǎn)和定義域列表。二階導(dǎo)為正數(shù)則是凹，為負(fù)數(shù)則是凸；4、 不定積分不

10、定積分和導(dǎo)數(shù)是逆運(yùn)算關(guān)系；不定積分求法分三種：直接積分（直接使用基本公式求）；第一類換元積分（用一個(gè)字母代替變量，如：）；第二類換元積分法（當(dāng)被積函數(shù)中有諸如這樣的根式，可令根式為u，然后依次往下，帶入原式）；分部積分法：5、 定積分1. 求定積分上限函數(shù)和下限函數(shù)2.牛頓拉布尼茨公式（用不定積分的公式求，最后不加常數(shù)c）3.廣義積分（積分上（下）限無窮和瑕積分）（1）積分區(qū)間的無窮區(qū)間即求廣義積分的斂散性，如果（2） 瑕積分（在無窮間斷點(diǎn)的廣義積分）這題可別被外表蒙蔽，因?yàn)楹瘮?shù)極限在f（0）外連續(xù)，在f（0）處無定義，所以x=0是被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)；于是：6、 微分方程1. 可分離變量的通解，直接計(jì)算2. 齊次方程通解，用u代替3. 一階線性非齊次方程的通解形如附：一階線性齊次方程的通解4. 可降解二階微分方程通解5. 二階線性齊次方程通解形如參數(shù)方程求法如果r1，r2是不相同的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（單根），那么如果r1，r2是兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根（重根），那么如果r1，r2是兩個(gè)非實(shí)數(shù)根（共軛復(fù)數(shù)根），那么二階線性非齊次微分方程的通解二階線性非齊次方程的通解等于 對應(yīng)二階線性