量子力學(xué)期末試題

1、量子力學(xué)期末試題1一.填空（3分X5=15分）1. |（r/2）|2 的含義是2. 在非定態(tài)卜，力學(xué)崑的平均值一定隨時(shí)間變化嗎？3. i：Yn（6.（p） =,厶匕廠（&0） =4坐標(biāo)y在動(dòng)量表彖屮的距陣元為5©小二證明（10分X 2=20分）1. （10分）設(shè)A, B是與廳對易的任何矢最算符，證明:（&A）（&9B） = AB+i&9（AxB）.2. （10分）設(shè)力學(xué)龜A不顯含時(shí)間f, H為體系的Hamilton ?：,試證明-護(hù)務(wù)入珂三計(jì)算（65分），2. （15分）在©表象屮，求6；=1. （15分）求一維諧振子的坐標(biāo)X,動(dòng)杲Q及Ham

2、ilton © H在能最表象屮的矩陣表示。、dn + 3. （15分）設(shè)粒子在勢場w（X）= <和& =的本征值和所屬的本征函數(shù)。J，肩 0” = a（求：粒子的能量本征值和本征函數(shù)。（15分）4. （20分）考渥耦合諧振子，H = H° + H',其中方2 方2方2Hq = 、+ 0、） + /Z69 （ay + x；） ； H' = AtjX, （ A 為實(shí)常數(shù)，刻tiW耦合強(qiáng)度）（1）求出H。的本征值及能級的簡并度：（2）以第一激發(fā)態(tài)為例用簡并微擾論計(jì)算對能級的影響（一級近似）試卷1參考答案一.填空（每題3分，共15分）1. 電子自旋向上

3、位置在F處的兒率密度，2. 不一定，3. 茁 （&,0）,-方5曰（&，0），4 =渣魯5（"一 P"）5. 0二證明（每題10分.共20分）1證明原式左端=（oxAx + avAv + o.A.） （axBx + axBy + a:B.）（5 分）=+ yzAyBy + az2AzBz+ a a:AsB: +(y：asA:Bv + a:axA:Bx + axa:AxB: + ax o人3、+ a,oxAxBx又因?yàn)?oG 1 *66 = -OQ= iQ66 = q整理得刀+ i廳（方x鳥）問題得證2證明對于不顯含時(shí)間f的力學(xué)量A有d -1 上式兩邊對/求導(dǎo)

4、，則有匚兀=4丄區(qū)萬=丄丄A,/；,/ dr d/滴涪彷一+£H，H即（3分）（2分）（5分）(5分)-護(hù)兀珂人/dr三計(jì)算題1.解：取占有數(shù)表象,由已知可得:、n + l)（2分）+002dx' / （V ；1）坐標(biāo)x的矩陣表示為故有（3分）（2分）"心=川|”|=_/方0（2分）2.W： J&T-：AA3）能最H = （N + y方血，所以故有200、0 0300 AH =0200 2 0000 / + 2丿（2分）（2分）（2分）（1） 先求7r的本征值和本征函數(shù)0 11 0，設(shè)本征值為,本征態(tài)為則本征方程為：1°解得:的歸一化的本征態(tài)為：（

5、2）同理可求CT,的本征值為彳 相應(yīng)丁9,的01-化本征態(tài)為： 3.I解：-維泄態(tài)薛泄聲方程為2 b /V- y（3分）（2分）（4分）（2分）（4分）4.1)2)2m d.vy/+u(x)i/= E 屮2mE y礦丿根據(jù)波換數(shù)的連續(xù)性條件：0(d) = 0(0) = 0,可得A sin aa + Bcosaa = 0屮=A sin ax故令屮=A sin ax + B cos ax , a =1 sin aa - 0 可得，a =(/? = 1、2,3)a3)由歸一化條件：|/|: Jx = l,可得 A2 suf axdx = 1故有A =所以（2分）（2分）（2分）（3分）（1分）（2分

6、）（2分）（1分）解：Hq = -（-v + -v） + ico （x; +x；） 2/z dx; dx; 2，護(hù)護(hù) 1 、八，護(hù)Q， 12 “=（一丁云亍+0） + （-亍寸 + -/ico x）2/z dx; 22/z dx; 2表示兩個(gè)獨(dú)、Z的諧振子，它們的共同木征態(tài)為： 4心（兀）0”：（心） E“廣（耳+訥 q + （心+訥 q（4分）（4分）= （N + 1）方,N = 1,2,3當(dāng)N給定時(shí)，n. = 0, 1,2,Nn2 = N,N -、N -2,0N+1種組合 因此，能級的簡并度為N+l（2）第一激發(fā)態(tài)為Nl能級簡并度為二匝&°，= （N + 1）方©

7、; = 2hcoQ 相應(yīng)的波旳數(shù)為：田刎旳處他片'） "“一1他|團(tuán)師如引刎丿/嚴(yán)片"=0,.弘=他|團(tuán)0=0（1分）（2分）（2分）（4分）n宀缶 H；“2卅:.= ±2a12a20 - E22a10=022a7E,=硏 + 硏=2 腦。± 二=珈。± -1110 l(r 02®（2分）（1分）量子力學(xué)期末試題2一填空（3分X5=15分）1粒子處于力學(xué)最鳥的本征態(tài)必（F）的迭加態(tài),y/n（r） = -0（尸）+丄“（F）+ （7必（尸）則粒子處J-24 0（門的概率是，C=（取實(shí)數(shù)）2若FG GF =浜，則算符F和G之問滿足

8、測不準(zhǔn)關(guān)系 3在粒子數(shù)表象中，產(chǎn)生算符和湮火算符滿足關(guān)系式：a+ n + 4=: an + =4一個(gè)正電子和一個(gè)負(fù)電子同時(shí)在空間運(yùn)動(dòng)在兩粒子相遇區(qū)域是否可以將其分辨？5中心力場中的粒子處于定態(tài)，則角動(dòng)竜取確定值，対嗎？ 二證明（10分X 2=20分）1. （10分）設(shè)為常數(shù)，Q為泡利算符，證明：=cos+/asuU 4 . 3開x、 2才丫sincos*yja aa2. （10分）證明Hermite算符的屬不同本征值的木征兩數(shù)彼此正交（假定木征值是離散的）。 三計(jì)算（65分1. （15分）設(shè)粒子處J：范鬧在0衛(wèi)的一維無限深勢阱中，狀態(tài)用波換數(shù)V/（.v）=描述求粒子能最的可能測值及相應(yīng)的幾率7

9、2. （20 分）設(shè)體系處' y/=clYll + c2YlQ 狀態(tài)（己歸一化，即 |cf + |cj = l）。 求：（1）的可能測值及平均值：（2）九的可能測值及相應(yīng)的概率;（3）（的可能測值及相應(yīng)兒率位欠最。廳亓=3. （15分）在cr表彖屮.求5亓的本征態(tài)，亓=（sm&cos佟sm&sm®cos&）是（/©）方向的單 cos。 sin6_/<p嚴(yán)孫- cos。，4一維諧振子的能杲算符為H = Ho + H,其中r. 力 d 12 *. > 久 2 2 I 。_可喬巧""才H = 嚴(yán)飛,p|«l

10、用微擾論求能鼠的本征值（準(zhǔn)確到二級近似）和本征隨數(shù)（準(zhǔn)確到一級近似）公式：Xpn（X）=方必七（X）+右憶T（X）試卷2參考答案一填空（每題3分.共15分） _1.丄，|2. （AF）2 - （AG）2 » 3. Jh + 5|川 + 5, Jh + 屮4可以；5不對二證明（每題10分，共20分）1（2分）證明：將嚴(yán)展開成6的級數(shù)嚴(yán)=士（以=（工+工）丄（辺”0）" zU偶諭川由J-cr/ =1,所以偶，町=1, /?奇。:"=G.所以”叫=工型+6工型其屮工回l = cos/i,工回L = isnU因此 嚴(yán)=cos2+b.an2本題若來用其它證法也可紂分2.證明

11、：設(shè)么匕=入0,（1分）（1分）（3分）（2分）（1分）(1)（3分）入必=A”w”并設(shè)存在，把（2）式取復(fù)共軌，得（1分）上嘰=2以左乘W”，積分（3分）（3分）（1分）本題也可（么必，©”）=九（必,必）.由4+ = A ,上式左邊=（0爲(wèi)必）=An（%，必）=0若4”工入，則必有（0”,，0J = O用積分形式證明證明：設(shè)戶為厄密算符，令碼妙,為其本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值為 召,4,人,4,，即有匸 =入札F(/>,=入血伙 H /)(2)（1）式取共軌右乘©并對空間積分可得（2）式左乘診對空間積分得由厄密算符的定義可得（A -入）林0血=0而兔工&,所以

12、有“;如2 0故A Hernnte算符的屬J：不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。三計(jì)算題1.解：已知處范ffl0.n的一維無限深勢阱的波西數(shù)為對應(yīng)能級為E號(1),、4 3;rx . 2nxi/(x)= f=SUlcos"yja aa2 . 3兀x 1 . Inx1 nx±,、= = -sin+ _smt=- sin =/ C伸八(2)ja a Ja ci yja a n 粒子能量可能測值為9亍忙已_ 49話：2ma2 5 7 2nta2故勺相應(yīng)的幾率為：一=/ = 1,3,7|CJ+|C,+|C7匕' 1J7 2 J72. _解：人和厶是八和/：的共同本征兩數(shù)即八厶=

13、茁/如"人，/兒=0 （1）厶的可能測值為方,0.相應(yīng)的幾率為|C,|cJ所以的平均值為方|c（2）八的可能測值為2方2,相應(yīng)的幾率為iQp+ICj2（3）在（,I.）表象中,（2分）（2分）（2分）（2分）（1分）（1分）（2分）（1分）（6分）（3分）（3分）（3分）（2分（2分）（1分）lx的矩陣元公式為（I'm ± 1|/川加=-J（/士加+ 1）（/干m）幾可以求出心1的三維空間屮，lx的矩陣尤為:1 00 11 °>方：1(1 V21: 0：T0:方：一(1 )-V22丿412< 1 >rh此可以求出匚的木征值及Jt木征態(tài)為3

14、.解：在6表象屮，廳亓的矩陣表示為:如=2ksin 0et<p-cos。?(1)代入本征方程on£丿dcosG + bsin 財(cái)"=Aaa sin%" - bcosO= Ab作為a,b的齊次方程，冇解的充要條件為cos 0- 2 sm& 嚴(yán)八=0sin0el<p 一cos。一 A(2)(3)即 -cos' 0+ 兄 一 sill2 & = 0或兄2 = 1,兄二 ±1 用A = 1代入（2）式，得 亠込sh l-cos& 2収適當(dāng)?shù)南嘟呛?，廳帀的本征態(tài)Z為/ Z3、cosei<p,z ” = +1,sin

15、- d*I 2 丿類似可求出另一個(gè)本征態(tài)-cose12l 2丿sin-e-2、_COS_嚴(yán)2解：丹。的本征函數(shù)、木征值記為©r、e：。眾所周知（3分）（4分）（4分）（2分）（2分）（4分）（3分）4.（2分）母。）=（“ +丄護(hù)0” = 0,1,2,在H。表象中，x的矩陣元中不等于0的類型為（n + hI 2 mco）w,=4E 丄咼5a號2麗丄a2a=壽 J（ + 1）G+2）w+2 + （2/? + 1）閥 + +J-1% 因此，不等J零的微擾矩陣尤仃卜列類型： H爲(wèi)=彳咖2牙心札=彳耶2 2 尤”+2 = H：+“ = -fnarxnnxnz = 丁如也 能級耳°的

16、微擾修正為 刖W(wǎng)嚴(yán)勿+訥如；”+2 =才方5/-1）（2分）（2分）（2分）（2分）（2分）E嚴(yán)=疵| % f -1 % |2J=-y（ + +皿 因此En=硝）+礎(chǔ)+即=（i+4-£）（+吳 Z o2（3分）（1分）陀=弓硏一硏） £（J"（"-l）|昭- J（ + l）（"+2）|昭）屮=I疥）+|即=1汨）+ £帥（畀-1）|心- J（“ +1）（ + 2）|心）（3分）（1分）量子力學(xué)期末試題3一填空題（20分，每題2分）1徳布羅意關(guān)系為, 2全同性原理為3波慚數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件為、.4坐標(biāo)y在動(dòng)最表彖中的矩陣元為.5 ； U，p；

17、=6在粒子數(shù)農(nóng)彖屮，產(chǎn)生算符和湮滅算符滿足關(guān)系式：羋+ 1）= : &+» + 4=.7若FG- GF = ik，則算符尸和G之間滿足測不準(zhǔn)關(guān)系.8匸丫3、© =丄見皿0）=9在一唯無限深勢阱屮運(yùn)動(dòng)的粒子，勢阱的寬度為。，如果粒子的狀態(tài)為v<v）= Aa（«-x）.則 A =o10若定態(tài)波函數(shù)y/= Aeitr,則幾率流密度7 =.二證明題（20分）1 證明:wq = i o （io 分）2證IdHennKc算符的屬不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。（10分）三計(jì)算題（60分，每題15分）<01 一粒子在一維勢場（/（x） = Jo,O<x&

18、lt;2n中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級和對應(yīng)的波換數(shù).s,x> 2a設(shè)粒子處范鬧在0衛(wèi)的一維無限深勢阱中，狀態(tài)用波丙數(shù)= sincos2 描述, y/a aa求粒子能最的可能測值及相應(yīng)的兒率"一維諧振子，其能鼠算符為h1 d1 1=+ma）x°2m dx1 2設(shè)此諧振子受到微擾作用亍，國口 1,試求各能級的微擾修正（1級近似），并和精確解比較。在乞表象中，求泡利算符7、7的本征值和本征態(tài)。試卷3參考答案一填空題（20分，每題2分）1 E = hco,p = hk :2波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對值的平方）和在該點(diǎn)找到粒子的兒率成比例;3單値性、有限性、連續(xù)性；（答対一

19、個(gè)得0.5分、答對兩個(gè)得1分、全對2分）；4 ©廠滴曇“-卩"）；5 0,2如6 + 3+ 2;3|" + 3）：戸7 （AF）2 （AG）2 > ；46方'杲（&“）；一方5,丄（°0）:二證明題（20分，每題10分）1證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)” 時(shí)，顯然成立；（2分）假設(shè)當(dāng)n = k 時(shí)成立，即A.Bk=kBk-lA.B,則n = k + 時(shí)，A9BkJH= BkA,B+A9BkB= BkA9B+kBk-AyBB（6 分）因?yàn)锳B,B = 0,故有A,Bi+1 = BkA.B+ kBkA.B =（k +1）用£B（8

20、分）故第一式成立，同理有第二式。（10分）2證明：設(shè)戶為厄密算符，令血碼妙，為英本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值為人人人、人，即有 弘=人如（1）戶0 =（k =#= /） （2）（1）式取共饑右乘©并對空間積分町得J （問）'0dr =兔陋（2）式左乘0：対空間積分得由厄密算符的定義可得（人-如“；0必=0而人工人,所以有神小=0故ft Hemute算符的屬J：不同本征值的木征負(fù)數(shù)彼此正交。 三計(jì)算題（60分，每題15分）1解：一維定態(tài)薛定鄂方程為h1 d1廠一：一丁屮+MQ屮=已屮 2m cbr在0<x<2a范圍:rr d1n丁屮+ E 屮=0 2m dx1)2)2mE

21、 y礦丿根據(jù)波隨數(shù)的連續(xù)性條件：譏2a) = g) = 0,可得A sin 2aa + Feos 2aa = 0、B = 0% = A sm ax故佇屮=Asin ax+ B cos ax , a =由sin2aa = 0可得，a = (n = 1,2,3-)2a3)由歸一化條件：|*°| i/' dx = 1,可得“ A2 suf axdx = 1（2分）（4分）（6分）（8分）（9分）（10 分）（2分）（4分）（6分）（9分）（10 分）対應(yīng)能級為= =sin+ =sinsin => Cn(f>nyjci aJ ci ay/d Cln(IX (2)比較可得：

22、2 1,3,7粒子能量可能測值為匸 開忙口 9亍訐匸 49用方 匕 I =三r，匕=二 ，匕 7 =2mcr 2ma2ma相應(yīng)的系數(shù)滿足關(guān)系：g = -g，c, = 2G歸一化條件為：dx4）坐標(biāo)X的矩陣表示為"珂枷7-捋n + 1)（12 分）（14 分）（15 分）（2分）（3分）（2）（8 分）（9分）（11 分）（12 分）（】3分）（15 分）（2分）（5分）故有加鏟和Q =守g 1,2,3)可得 E -八* - e斤 2m 4a1 Snia1所以n = 1,2,3- (1 血與二石sm亦x2解：已知處J：范由0衛(wèi)的一維無限深勢阱的波函數(shù)為(1)2 . nnx血=/- si

23、n/ = 123 V a a)V7t-h- E”= - liner 3ttx . 2/rxsincos*aa2.3x1. Inx 1才xlic 丄cf+|C + |C = 1故有相應(yīng)的兒率為：Cj： = 1 |c3|2 = |,|c7|2 = 2 6363解:収占有數(shù)農(nóng)象:.V n+ J知d1V25)6)4解:1x= a172由打=_屛,所以dxPnn=，l，Pn)=''' = -iha故自p = ilia（7分）000（9分）72AA能吊出= (N + _)方血,2故仃（11 分）所以= (" + *)冋”（13 分）1/ + 2丿在6表彖屮，廳亓的矩陣表示為COS&、sm%e(1)代入本征方程&h（15 分）（4分）=0（2）（6 分）（3）（8 分）（11 分）（12 分）（15 分）acos0+ hsin0e,<p = Aa asin0e,<p - bcosO = Ah 作為的齊次方程，有解的充耍條件為cos& - 2 sin Oe'9sin Oe><p -cos&-2即 -cos2 0+ A1 -sur 0= 0或 2 = 1,2 = ±1 用2 = 1代入（2）式，得ci