概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-公式(全)

1、第1章隨機(jī)事件及其概率1排 列組合 公式Pmm!從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。(m n)!nm!Cm從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。n !(mn)!2加 法和乘 法原理加法原理兩種方法均能完成此事：m+n某件事由兩種方法來完成， 第一種方法可由 m種方法完成，第二種方法 可由n種方法來元成，那么這件事可由m+n種方法來元成。乘法原理兩個(gè)步驟分別不能完成這件事：mx n某件事由兩個(gè)步驟來完成， 第一個(gè)步驟可由 m種方法完成，第二個(gè)步驟 可由n種方法來元成，那么這件事可由mx n種方法來元成。3一 些常見 排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列有序?qū)α⑹录辽儆幸粋€(gè)順序問題4隨 機(jī)試驗(yàn) 和隨機(jī) 事

2、件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，那么稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。5基 本 領(lǐng) 件、樣 本空間 和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件， 它具有如下性質(zhì)： 每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件； 任何事件，都是由這一組中的局部事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為根本領(lǐng)件，用來表示。根本領(lǐng)件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的局部點(diǎn)根本領(lǐng)件丨組成的集合。通常用大寫字母A, B, C,表示事件，它們是的子集。為必然事件，？為不可

3、能事件。不可能事件？的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件； 同理，必然事件Q的概率為 1,而概率為1的事件也不一定是必然 事件。6事 件的關(guān) 系與運(yùn) 算關(guān)系：如果事件A的組成局部也是事件 B的組成局部，A發(fā)生必有事件 B 發(fā)生：A B如果冋時(shí)有 A B , B A，那么稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等 于 B： A=BA B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：A B,或者A+B。屬于A而不屬于B的局部所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也可表示為 A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A B冋時(shí)發(fā)生：A B,或者AB A B=?，那么表示A與B不可能冋時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相

4、容或者互斥。根本領(lǐng)件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱 A的對(duì)立事件，記為 不發(fā)生的事件。互斥未必對(duì)立。運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C)A (B U C) (A U B) n C=(AC) UA。匕表示A(BC)德摩根率：Ai瓦i 1i 1A B A B , ABAB設(shè) 為樣本空間，A為事件，對(duì)每個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),假設(shè)滿足以下三個(gè)條件：1° 0 < P(A) < 1 ,7概2° P( Q ) =1A2 ,有率的公3°對(duì)于兩兩互不相容的事件A1,

5、理化定義PAii 1i 1P(Ai)常稱為可列完全可加性。那么稱P(A)為事件A的概率。1 °1 ,2n ,2°P( 1)P( 2)P( n)1。n8古設(shè)任一事件A，它是由1, 2m組成的，那么有典概型P(A)= ( 1)(2)( m)=P( 1) P( 2)P( m)m A所包含的根本領(lǐng)件數(shù) n根本領(lǐng)件總數(shù)假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)根本領(lǐng)件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述,那么稱此9幾隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A,何概型P(A) ：(,其中L為幾何度量長度'面積、體積010P(A+B)=P(A)+P(B)-P(

6、AB)加法公式當(dāng) P(AB) = 0 時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)11減法公P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) B A 時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)式當(dāng) A=Q 時(shí)，P( B)=1- P(B)12條件概 率定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,那么稱P(AB)為事件a發(fā)生條件P(A)下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A) P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P( Q /B)=1P(B/A)=1-P(B/A)13乘法公 式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，對(duì)事件 A1, A2,An，假設(shè)P(AAAn-1

7、)> 0,那么有P(A1A2 An) P(A1)P(A21 A1)P(A31 AA)P(An | A1 A2 . An 1)。14獨(dú)立性 兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) P(A)P(B)，那么稱事件a、B是相互 獨(dú)立的。假設(shè)事件A、B相互獨(dú)立，且P(A)0，那么有P(B|A) P(AB) P(A)P(B) P(B)P(A)P(A)假設(shè)事件A、B相互獨(dú)立，那么可得到A與B、A與B、A與B也 都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。 多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B

8、)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。15全概公式設(shè)事件B1,B2, ,Bn滿足1° B1,b2, ,Bn兩兩互不相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n),nABi2°i 1J?那么有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。16貝葉斯公式設(shè)事件B1, B2，Bn及A滿足1 ° B1 , B2,，Bn 兩兩互不相容，P(Bi)>0, i 1 , 2,， n ,nABi2°i 1 , P(A) 0 ,那么

9、P(Bi/A)nP(Bi)P(A/Bi), i=1 , 2，n。P(Bj)P(A/Bj)j 1此公式即為貝葉斯公式。P(Bi) , i 1 , 2，n，通常叫先驗(yàn)概率。P(Bi/A) , i 1 , 2，n通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果的概率 規(guī)律，并作出了“由果朔因的推斷。17伯努利概型我們作了 n次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗(yàn)。用p表示每次試驗(yàn) A發(fā)生的概率，那么 A發(fā)生的概率為1 p q

10、，用Pn(k)表示n重伯努利試驗(yàn)中a出現(xiàn)k(0 k n)次的概率，廠八kkn kPn(k) CnP q , k 0,1,2, ,n。第二章隨機(jī)變量及其分布1離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個(gè)值P(X=Xk)=pk, k=1,2,，那么稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也X| X1,X2, ,xk,P(X Xk)'p1,P2, pk,。顯然分布律應(yīng)滿足以下條件：pk 11pk 0 , k 1,2, 2k1。2連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)F (x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，假設(shè)存在非負(fù)函數(shù)f (x),XF(x)f (x)dx那么稱X

11、為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(X)稱為X的概率密度函數(shù)或密度密度函數(shù)具有下面 4個(gè)性質(zhì)：1° f(x) 0。2°f(x)dx 13離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系P(X x) P(x X x dx) f (x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X :4分布函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，那么函數(shù)F(x)P(X x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(aX b) F(b) F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°0 F(x) 1,x；2°F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即X1 X2 時(shí)，有 F(X1)3°

12、F( ) lim F(x)X0，F(xiàn)( ) lim F(x)X4 °F(x 0) F(x)，即F(x)是右連續(xù)的；5 °P(X x) F(x)F(x0)。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)pk ；Xk X,bX對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,F(x)f(x)dx 。5八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件 A發(fā)生的概率為 p。事件AP(X k) Pn(k) C：pkqnk，其中 q 1p,0 p那么稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為n , p的二項(xiàng)分布。記為 X k 1 k當(dāng) n 1 時(shí)，P(X k) p q ，k 0.1，這就是0泊設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為松k分

13、P(X k)書 e ，0，k 0,1,2，布k!那么稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為 X泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布np=入，n78。超 幾 何 分 布 幾 何 分 布 均 勻 分 布P(XknCm ?Cn k) Cn c Nm k 0,1,2 ,ll mi n(M,n)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H( n,N,P(X k) qk1p,k 1,2,3,，其中 p> 0, q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 G(p)。設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a , b內(nèi)，其密度函數(shù)f (x)在f (x)1b a0,aw x < b其他，那么稱隨機(jī)變量 X在a

14、, b上服從均勻分布，記為XU(a,分布函數(shù)為F(x)xf(x)dx0,x<a,x aJb a <a< x< b1, I x>b。當(dāng)a w X1<X2W b時(shí)，X落在區(qū)間x1,x2丨內(nèi)的概率為P(X1XX2)X2X1。a指 數(shù) 分 布f(x)其中 0 ,那么稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為F(x)1 e ,0, Lx 0x<0。記住積分公式:xne Xdx n!正 態(tài) 分 布設(shè)隨機(jī)變量f(x)X的密度函數(shù)為1 e舅,其中20為常數(shù)，那么稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為f(X)具有如下性質(zhì):1°2°假設(shè)F(x)f(x)的圖形是關(guān)

15、于X對(duì)稱的；1當(dāng)X 時(shí)，f()為最大值;2 、2x )，貝X的分布函數(shù)為e 2 dtO。N1(,2參數(shù)(X)1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為2t22dt。P(Xi X X2)6分位數(shù)下分位表：P(X)=；分布函數(shù)為1(x) <2(X)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。 (-x) = 1-(x)且 (0) = 1。2 X 2如果 X N( , 2)，那么N(0,1)。x2x17函數(shù)分布Pi相加作為g(xi)的上分位表：P(X)=。X的分布列為XX1, X2,xn,P(X Xi)P1,P2,Pn,Yg(x1), g(x2),g(xn),P(YVi)P1P2Pn假設(shè)有某些那么Y

16、 g(X)的分布列y g(Xi)互不相等如下:先利用X的概率密度fx(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y) = P(g(X第三章二維隨機(jī)變量及其分布1聯(lián)離散型合分布連續(xù)型如果二維隨機(jī)向量X, Y的所有可能取值為至多可設(shè) =X，Y的所有可能取值為(xi,yj)(i, j 1,2,P(X,Y) (xyj) Pj(i,j 1,2,)為 =X，Y的分布律或稱為 X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合y1y2yjX1pnP12P1X2P21P22P2jXiPi1Pij這里Pij具有下面兩個(gè)性質(zhì):1pj >0 i,j=1,2,;2Pij1 .i j對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)，如果存在非負(fù)函數(shù) f (x, y即 D=(X

17、,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y) D f(x,y)dxdy,D那么稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱 f(x,y)為=X, Y的分分布密度f(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì):(1) f(x,y) > 0;2f (x, y)dxdy 1.維隨機(jī)(X人丫 y)變量的本質(zhì)(X x Y y)3聯(lián) 合分布 函數(shù)設(shè)X 丫為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,y,二元函數(shù)PXF(x,y)稱為二維隨機(jī)向量X，Y的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件( 1，2)lX( 1) x, Y( 210 F(x, y) 1;2F x,y分別對(duì)x和y是非

18、減的，即當(dāng) X2>X1 時(shí)，有 FX2,y 丨?F(X1,y);當(dāng) y>屮時(shí)，有 F(x,y 2) > F(x,y 1);3Fx,y分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即F(x,y) F(x 0,y),F4F( ,) F( ,y) F(x, )0,F(,)1.5丨對(duì)于 X1X2，yy2，F(xiàn)(X2, y2)F(X2, yj F(X1,肘 F(X1, yj 0.4離 散型與 連續(xù)型 的關(guān)系P(X x, 丫y) P(x Xx dx, y Y ydy)f(x, y)dxdy5邊離散型X的邊緣分布為緣分布R? P(X Xi)jY的邊緣分布為Pij(i, j 1,2,)；P?jP(Y yj)iPij

19、(i, j 1,2,)。連續(xù)型X的邊緣分布密度為fx(x)f (x, y)dy;Y的邊緣分布密度為fY(y)f (x, y)dx.6條離散型在X=x的條件下,Y取值的條件分布為件分布P(Y Yj |X Xi)PijPi?7在Y=y的條件下,X取值的條件分布為P(X X |Y yj)PijP?jJ連續(xù)型在Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y)覚；fY(y)在X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x)；(胃fx(X)7獨(dú) 立性一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)離散型Pj Pi?P?j有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)f Y(y)直接判斷，充要條件： 可別離變量 正概率密

20、度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布21X12 (x !)( y 2 ) yf (x, y)e2(1 2)112221 2J12=0隨機(jī)變量的函數(shù)假設(shè)X1,X2,XmXm+1,X相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，那么： h X1, X2,Xm和g Xm+1Xn相互獨(dú)立。特例：假設(shè)X與Y獨(dú)立，那么：h X和g Y獨(dú)立。例如：假設(shè) X與Y獨(dú)立，那么：3X+1和5Y-2獨(dú)立。9二 維正態(tài) 分布設(shè)隨機(jī)向量X, Y的分布密度函數(shù)為f(x, y)12(12)2x 12 (x 1)(y2)1 1 2其中2,0，2記為X，Y=e20,|1是5個(gè)參數(shù)，那么稱X，Y服從二維正態(tài)分布,2,).由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分

21、布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布, 即 XN 1, 12),YN( 2,第但是假設(shè)XN 1, 1),YN( 2, ；) , (X , Y)未必是二維正態(tài)分布。10函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)對(duì)于連續(xù)型，f z(z) = f (x, z x)dx兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布Ci2n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。Z=max,m in(X 1,X2,Xn)Ci i i假設(shè)X1,X2Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx1(X),Fmax(x)Fx1(X)?Fx2(X)(X)Fmin (x)1 1 Fx1(x)?1 FX2(x)1 FXn(

22、x)分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量Xi,X2, Xn相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的分布密度為f(我們稱隨機(jī)變量 W服從自由度為n的2分布，記為 W-所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變分布滿足可加性：設(shè)那么Zt分布設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為f(t)n我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(nti (n) t (n)F分布2 2設(shè)X njY門2，且X與Y獨(dú)立，可以證明Fnini2nini n2f(y)njn2n2y2ni-y- n22 20,y 0我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為ni,第二個(gè)自由度為Fi (niE)iF (n2,nJ第四章 隨機(jī)變量的數(shù)

23、字特征i離散型連續(xù)型一維期望設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分:設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其隨機(jī)期望就是平均值布律為 P( XXk ) = pk ,變量E(X)xf (x)dx的數(shù)k=i,2,n ,字特n要求絕對(duì)收斂征E(X)Xk Pkk 1要求絕對(duì)收斂函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)nE(Y)g(Xk)Pkk 1E(Y)g(x)f(x)dx方差2D(X)=EX-E(X)，D(X)Xk E(X)2pkD(X)x E(X)2f標(biāo)準(zhǔn)差k(X) D(X)，對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量 的k次幕的數(shù)學(xué)期望為 X的 階原點(diǎn)矩，記為k<=E(X)=對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變Vk,即kXi Pi ,ikV k=E(X

24、)=k=1,2,k=1,2,對(duì)于正整數(shù)切比雪夫不等式xk f (x)dx,k，稱隨機(jī)變對(duì)于正整數(shù)k, 與E稱隨機(jī)變量X差的k次幕的數(shù)學(xué)期E(XkE(X)望為X的k階中心矩，記為E(X E(X)kk=1,2,(x Ek=1,2,(Xi E(X)kpi,k(X) f(x)dx設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望EX= ，方差D刃=P( X切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。2期望的性質(zhì)(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)nn(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y) , E(CiXi) CiE(Xi)i 1i 13方差的性質(zhì)(4)E(XY)=E(X)

25、E(Y)，充分條件：X 和 Y 獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。(1) D(C)=0 ; E(C)=C2(2) D(aX)=a D(X) ; E(aX)=aE(X)2(3) D(aX+b)= a D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X± Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和 Y 獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X ± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。期望0-1 分布 B(1, p)P4 常見 分布而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。望和 方差項(xiàng)

26、分布B(n, p)rp泊松分布P()幾何分布G(p)超幾何分布H (n, M, N)nMN均勻分布U(a,b)指數(shù)分布e()a b2r正態(tài)分布N(,)2分布t分布1維機(jī)量數(shù)特51 一一隨變的字期nE(X)Xi Pi?i 1nE(Y)yj|)?jj iE(X)xfX(x)dxE(Y)yfv(y)dy征函數(shù)的期望EG(X,Y)=Gg y )Pji jEG(X,Y)=G(x, y) f (x, y)dxdy方差D(X)人iD(Y)Xj2E(X) Pi?E(Y)2p?jD(X)x E(X)2fD(Y)y E(Y)2fY方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩11為X與XY11 E(X E(X)(

27、YE(Y).與記號(hào)相關(guān)系數(shù)Y的相關(guān)系數(shù)，記作XY有時(shí)可簡記為。XY相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D X與D Y也可分另對(duì)于隨機(jī)變量 X與Y,如果DX>0, D(Y)>0，那么稱| w 1,當(dāng)|=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：P(X完全相而當(dāng)0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的:，丫)=0; )=E(X)E(Y);XY COV(: E(XY D(X+Y)=D(X)+D(Y);Y)=D(X)+D(Y). D(X-方差矩陣XXXYYXYY混合矩對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,如果有E(X kYl)存在，那么稱之為X-Uki6(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);協(xié)、方 差的 性質(zhì)獨(dú)立(ii) (

28、ii) 虬(i )cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);cov(X 1+X2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).假設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，那么XY0;反之不真。和不 相關(guān)(ii )假設(shè)X, YN,那么X與Y相互獨(dú)立的充要條件是 X和Y不相關(guān)。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理1大數(shù)定律X切設(shè)隨機(jī)變量X , X2,相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被比 雪 夫 大 數(shù) 疋 律伯 努 利 大 數(shù) 疋 律辛 欽 大 數(shù) 疋 律同一常數(shù)C所界：DXC(i=1,2,)，那么對(duì)于任意的正數(shù)&，有1 n 1nlim PXiE(Xi)1

29、.nn i 1ni 1特殊情形：假設(shè)X, X -具有相同的數(shù)學(xué)期望 E X=，那么上式成為lim PnniiXi1.設(shè)卩是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，p是事件 A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，那么對(duì)于任意的正數(shù)£,有l(wèi)im Pn1.伯努利大數(shù)定律說明， 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A 發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即lim Pn0.這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。設(shè)X1, X2,，Xn,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列， 且E = ，那么對(duì)于任意的正數(shù)&有l(wèi)imn1 nXin i 11.2中心極限定列設(shè)隨機(jī)變量X1, X2,相互獨(dú)立，服從同一分布，且理維具有相同的

30、數(shù)學(xué)期望和方差：2E(XJ,D(Xk)20(k1,2,，那么隨機(jī)變量XN(,)林n德n伯Xk n格Ynk 1L疋理的分布函數(shù)Fnx對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,有nXk nt2lim Fn(x)nlim P k 1X丄dtn町J 2此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣設(shè)隨機(jī)變量莫Xn為具有參數(shù)n, p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，那么弗對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,有Xn np1xt2拉普lim P/e dt.v2Hill 1n Jxnp(1 P)拉斯疋理3二項(xiàng)定理假設(shè)當(dāng)Nn, Mpn, k不變時(shí),M，那么Nk q n kCM CN MCnkk彳人-Cn P (1 n kp)(N).超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)

31、分布。4泊松定理假設(shè)當(dāng)n時(shí)，叩0，那么c kkCn P“ n k(1 p)-ke k!(n).其中 k=0, 1, 2，n，。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布1 數(shù)理 統(tǒng)計(jì) 的基 本概 念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)或多個(gè)指標(biāo)的 全體稱為總體或母體。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布 的隨機(jī)變量或隨機(jī)向量。個(gè)體總體中的每一個(gè)單兀稱為樣品或個(gè)體。樣本我們把從總體中抽取的局部樣品x1, x2 , ,Xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是 n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相冋分 布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一

32、次抽取的結(jié)果時(shí)，x1, x2, , xn表示n個(gè)隨機(jī)變量樣本；在具體的一次抽取之后，x1, x2, , xn表示n個(gè)具體的數(shù)值樣本值。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù) 和統(tǒng)計(jì)里設(shè)X1,X2, ,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱X1,X2,Xn為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，那么稱X1,X2, , xn丨為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常見統(tǒng)計(jì) 量及其性 質(zhì)樣本均值x1 nn i 1樣本萬差S21 n (I vx)2n 1 i 1 i樣本標(biāo)準(zhǔn)差S石1 n1 i 1 2(Xi x).樣本k階原點(diǎn)矩Mk rn i ik . _Xi ,k1,2,樣本k階中心矩1 nM kn i 1(X X)k,k 2

33、,3,.2E(X),D(X),n2E(S )2, E(S*2) nn1 25其中s*21 n _ 2 (Xi X), n i 1為二階中心矩。2正態(tài)正態(tài)分布設(shè) X1 , X2 ,xn為來自正態(tài)總體N(,2的一個(gè)樣本，那么樣總體本函數(shù)下的 四大 分布def x N(0,1).U朋t分布設(shè) X1 , X2 ,Xn為來自正態(tài)總體N(,2的一個(gè)樣本，那么樣本函數(shù)黒x t( n1),其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。2分布設(shè) Xi, X2,本函數(shù)Xn為來自正態(tài)總體N(,2的一個(gè)樣本，那么樣2def (n 1)S2(n 1),w2其中2n1表示自由度為n-1的2分布。F分布設(shè) Xi, X2 ,X

34、n為來自正態(tài)總體N(,f的一個(gè)樣本，而yi,y2, , yn為來自正態(tài)總體N(,2的一個(gè)樣本，那么樣本函數(shù)F- S2/ ； F(n11川21),S2 / 2其中s21山_(XiX)2,s；1n2- 2十(y y)2；sim 1i 1H 1 i 1Fg 1, n2n11，第二自由度為1表示第自由度為n21的F分布。3正態(tài)X與S2獨(dú)立?？傮w下分布的性質(zhì)第七章參數(shù)估計(jì)1點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1, 2, m，那么其分布函數(shù)可以表成 F (x；1, 2, m).它的 k 階vkE(Xk)(k1,2, m)中也包含了未知參數(shù)即VkVk( 1,2, m)。又設(shè)x1, x2, xn為總體X的

35、n個(gè)樣本值,其樣本的k階原點(diǎn)矩為1 n1Xik (k 1,2,m).n i 1這樣,本矩“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣 的原那么建立方程，即有我們按照V1( 1,m)1 n一Xi ,n i 1V2( 1,m)2Xi ,Vm( 1,m)由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)1, 2 , m )即為參數(shù)1, 2 , m的矩估計(jì)量。假設(shè) 為 的矩估計(jì)，g(x)為連續(xù)函數(shù)，那么 g( ?)為g()的矩估計(jì)。極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為f(X；Xi ,X21,2, m)，其中1,2, m為未知參數(shù)。又設(shè),Xn為總體的一個(gè)樣本，稱nL( 1 ,2, m)f (Xi ；

36、1 ,i 12 , m)為樣本的似然函數(shù)，簡記為 Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為PXXp(x； 1,2, m)，那么稱nL(X1,X2,Xn； 1, 2, m)P(Xii 1；1 ,2 , m)為樣本的似然函數(shù)。假設(shè)似然函數(shù) L(x1,X2, ,xn;1 , 2 , m)在i, 2,m處取到最大值，那么稱1,厶厶 曰 r . /rr ZtK Z_U、r. ?dEr丄Lt 一 厶厶厶4、r.曰.VI、,m分別為曰 /rtZ-Ui,2,m的最大似然估計(jì)1值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì) 量稱為最大似然估計(jì)量。ln Lnn ；4 0m0,1 1,2, , m假設(shè)為 的極大似然估計(jì)，g(x)為單調(diào)函數(shù)，那

37、么g( 3為g()的極大似然估計(jì)。2估計(jì)無偏性設(shè)(X1 , X2 ,Xn)為未知參數(shù) 的估計(jì)量。假設(shè)E=，量評(píng)的 選那么稱為的無偏估計(jì)量。標(biāo)準(zhǔn)E X=E X，E S2=D X有效性設(shè)i1(X1, X,2 , Xn)和 22(X1, X,2 ,Xn )是未知參數(shù) 的兩個(gè)無偏估計(jì)量。假設(shè) D( i) D( 2)，那么稱1比2有效。一致性設(shè)那么稱n是的一串估計(jì)量，如果對(duì)于任意的正數(shù)，都有0,。n為nim P(| n |)的一致估計(jì)量或相合估計(jì)量假設(shè)為的無偏估計(jì)，且D(?)0(n),那么為的一致估計(jì)只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。3置信設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本區(qū)間區(qū)間估計(jì)和置X1,X,2 ,Xn出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量11( X1, X，2 , Xn )與信度22(X1, X,2 , Xn) ( 12)，使得區(qū)間【1, 2以1(01)的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即P 12 1J那么稱區(qū)間1 , 2為的置信區(qū)間，1為該區(qū)間的置信度或置信水平單正態(tài)總設(shè) X1,X,2 ,Xn為總體X