常用數(shù)學模型及建模方法

1、第三章 常用數(shù)學模型及建模方法本章介紹幾類常見的數(shù)學模型：輪廓模型、擬合模型、機理模型、層次分析模型、優(yōu)化模型和系統(tǒng)仿真模型。通過介紹引入數(shù)學建模的基本思想和方法，使得我們在面對實際問題時有欲望、有信心、有能力運用自己學過的數(shù)學去嘗試地解決問題。本章用到的數(shù)學知識都比較粗淺，目的是降低初學數(shù)學應(yīng)用的難度，一方面使我們馬上看到數(shù)學是如何被應(yīng)用于如此廣泛的自然科學和社會科學領(lǐng)域，另一方面將激發(fā)我們學習數(shù)學研究數(shù)學的意識。 3.1 量綱分析與輪廓模型在生活中，人們常常需要對自己未知的、不熟悉的事務(wù)做判斷，根據(jù)已有經(jīng)驗做估計。例如，人的身高增加5%，做衣服的用料將增加多少？商品由大包裝變?yōu)樾“b，成本

2、將增加多少？等等諸如此類的問題。在回答這些問題時，人們都有意或無意地使用了輪廓模型。本節(jié)從物理學中量綱分析開始接觸輪廓模型。一. 量與量綱1. 量及其度量10. 模型所涉及的主要是量不是數(shù)20. 量（物理量）可以分為： 基本量：基礎(chǔ)的，獨立的量: 長度、質(zhì)量、時間、 導(dǎo)出量：由基本量通過自然規(guī)律導(dǎo)出的量: 速度、加速度、力、30. 量的度量體系 單位制：基本量及其度量單位國際單位（SI）制 基 本 量 名稱 單位 符號 長度 L 米 m 質(zhì)量 M 千克 kg 時間 T 秒 s 電流強度 I 安培 A 溫度 q 開爾文 K 光強 J 坎德拉 cd物質(zhì)的量 N 摩爾 mol 導(dǎo) 出 量 名稱 單

3、位 符 號力 牛 頓 N（kgms-2） 能量 焦 耳 J（kgm2s-2）功率 瓦 特 W（kgm2s-3） 頻率 赫 茲 Hz（s-1）壓強 帕斯卡 Pa（kgm-1s-2） 2. 量綱：10. 量綱：一個物理量Q一般都可以表示為基本量乘冪之積。稱這個乘冪之積的表達式 Q=La M b Tg Ih qd J x N z為該物理量對選定的這組基本量的量綱積或量綱表達式。a b g h d x z 稱為量綱指數(shù)。 例. 長度=L、質(zhì)量=M、時間=T、面積=L2 體積=L3、 速度=LT-1, 加速度=LT-2、力=MLT-2, 能量=ML2T-2. 注 1. 物理量的量綱只依賴于基本量的選擇，

4、獨立于單位的確定。 2. 對于某個物理量Q, 如果 Q=La M b Tg Ih qd J x N z，有a=b=g=h=d=x=z=0，則稱之為無量綱量，記為Q=1 。它將不依賴于選定的基本量。 3. 無量綱量不一定是無單位的量。20. 量綱齊次法則 一個物理規(guī)律的數(shù)學表達式中每一個加項的量綱必須是一致的，或者都是無量綱量。例如, 牛頓第二定律 F=ma, F=MLT-2, ma=MLT-2 滿足量綱齊次法則的物理規(guī)律與這個規(guī)律所涉及的物理量的量綱單位的選擇無關(guān)。二. 量綱分析量綱分析是在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學模型的方法，利用物理量的量綱提供的信息，根據(jù)量綱齊次法則確定物理量之間的關(guān)系。 例1

5、建模描述單擺運動的周期 問題：質(zhì)量為m的小球系在長度為 l的線的一端, 鉛垂懸掛。小球稍稍偏離平衡位置后將在重力的作用下做往復(fù)的周期運動。分析小球擺動周期的規(guī)律。假設(shè)：1. 平面運動，忽略地球自轉(zhuǎn)； 2.忽略可能的磨擦力；3. 忽略空氣阻力； 4.忽略擺線的質(zhì)量和變形. 分析建模 10. 列出有關(guān)的物理量 運動周期 t，擺線長 l，擺球質(zhì)量 m，重力加速度 g，振幅 x. 20. 寫出量綱: t=T，l=L，m=M，g=LT-2，x=1. 30. 形式上寫出規(guī)律: F(t, l, m, g, x)= 0. 40. 寫出規(guī)律中加項 p 的形式: p=t y1 l y2 m y3 g y4 xy5

6、 50. 計算 p 的量綱: p = T y1 L y2 M y3 （LT-2）y4= T y1-2y4 L y2 + y4 M y3 60. 應(yīng)用量綱齊次原理: 由p = 1，可得關(guān)于yi （i 1, 2, , 5）的方程組 y1 2y4 = 0 y2 + y4 = 0 y3 = 0 y5 任意 70. 解方程組: 解空間的維數(shù)是二維。對自由變量（y4，y5）選取基底（1，0）和（0，1）。關(guān)于y1, y2, y3 求解方程組可得基礎(chǔ)解系(2, -1, 0, 1, 0)T, (0, 0, 0, 0, 1)T 80. 求p: 將方程的解代入加項 p 的表達式，可得 p1 = t2 l-1 g，

7、 p2 = x .90. 建模: 單擺運動的規(guī)律應(yīng)為 f (p1, p2) = 0，解出 p1 可得 p1 = k1(p2)，即有 . 100. 檢驗： 周期與 質(zhì)量 m 無關(guān) m=390g m=237gl = 276cm 3.327s 3.350sl = 226cm 3.058s 3.044s 周期與振幅 x (l=276cm, m=390g) x (度) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62k (x) 6.346 6.346 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 可見： 當 x < 150 時,

8、 k( x ) » 2 p。當 x ³ 150 時，k(x) 與 x 有關(guān)。注1：上面推導(dǎo)過程一般化，進一步得到如下著名的物理定理。Buckingham p 定理: 物理量的函數(shù)關(guān)系 F(x1, ¼,xk) = 0 是量綱齊次的, 當且僅當它可以表示成形式 f(p1, ¼, pm) = 0， 其中 ，i=1,2,m < k,為 xj 的無量綱乘積， 即 pi = 1. 注2：在常微分方程(丁同仁、李承治編)書中，通過建立單擺方程 討論單擺運動規(guī)律，得到在初始條件： x (t0)= x0, dx/dt(t0)=0 下，單擺振動周期 T=T(x0)滿足

9、規(guī)律, 當 x0®0 時，T(x0)® 2p(l/g)1/2 當 x0®p 時，T(x0 ) ® ¥。這個討論比較復(fù)雜，最后得到的單擺振動周期規(guī)律與上面利用量綱齊次法則得到的規(guī)律基本一致。三. 量的比例關(guān)系與輪廓模型1. 量的比例關(guān)系. 因為模型表達了不同量綱的量之間的轉(zhuǎn)換規(guī)律，又由量綱分析原理可知:不同量綱的量的乘冪之間一定存在比例關(guān)系。所以在同一模型中，若量 x1和 x2的量綱分別為 x1 = Xa 和 x2 = Xb ，則一定有 x1=k x2 a/ b 舉例例 1. 正立方體：棱長 l0=a，底面周長 l1 = 4a，底面對角線長，對角

10、線長；表面積 S1 = 6a2，底面面積 S2 = a2， 對角面面積 ；體積 V1 = a3，結(jié)論：在簡單的幾何體中， 相應(yīng)部位的面積與相應(yīng)部位長度的平方呈正比；Si µ Lj2 即有Si = k1 Lj2 相應(yīng)部位的體積與相應(yīng)部位長度的立方呈正比；Vi µ Lj3 即有Vi= k2Lj3 相應(yīng)部位的體積與相應(yīng)部位面積的3/2次方呈正比；Vi µ Sj3/2 即有Vi = k3Sj3/2。例2長方體：棱長 (a, b, c)，總棱長L1=4(a+b+c), 底面周長 L2=2(a+b),對角線長 表面積 S1=2(ab+bc+ca), 底面面積 S2= ab,

11、體積 V1=abc, 四棱錐體積 V2=1/3 abc.若長方體 II 有棱長(a*, b*, c*), 且a*/a = b*/b = c*/c = m.則有L1*= mL1, L2*=mL2, L3*= mL3; S1*= m2S1, S2*= m2S2; V1*= m3V1, V2*= m3V2.于是可得Si*/Lk*2=Si/Lk2; Vi*/Lk*3=Vi/ Lk3; Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2.即得 S=k1L2, V=k2L3,V=k3S3/2.結(jié)論：在相似的幾何體中，相應(yīng)部位的面積與相應(yīng)部位長度的平方呈正比； Si µ Lj2，相應(yīng)部位的體積與相應(yīng)部位長度的

12、立方呈正比； Vi µ Lj3相應(yīng)部位的體積與相應(yīng)部位面積的3/2次方呈正比；Vi µ Sj3/2。 同樣的結(jié)論對抽象幾何體一般也成立例3. 生活中的長度、面積和體積。10. 紐約黑鱸的體重W和體長L W(ozs) 17 16 17 23 26 27 41 49 L(in) 12.50 12.63 12.63 14.13 14.50 14.50 17.25 17.75 L3 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592 W/L3 .0087 .0079 .0084 .008 .0085 .0089 .008 .0088 20. 人的體重W和

13、身高LW(kg) 12 17 22 35 48 54 66 75L(cm) 86 108 116 135 155 167 178 185L3(103cm3) 636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332W/L3 .0189 .0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .0117 .011830 蜥蜴的體長與體重 小蜥蜴體長15cm,體重為15g, 當它長到20cm長時體重為多少? (20g, 25g, 35g, 40g)以上的例子表明，不少的動物的體重w與體長l的立方呈正比, 即 wµ l3. 注意自然界中還存在其它情況。40 老虎的身

14、長（不含頭尾）與體重注意到老虎身體的軀干明顯下垂。視老虎的軀干為長度為l，直徑為d，截面面積為s的圓柱體。設(shè)老虎體重為 w 。由彈性力學的研究結(jié)果知，動物在自身體重w作用下軀干的最大下垂度 b µ wl3/(sd2)。 因為 w µ sl, 所以 b/l µ l3/d2. 稱 b/l為軀干的相對下垂度，它應(yīng)視為與動物尺寸無關(guān)的常數(shù)。于是 d2 µ l3, 再考慮到 w µ sl, s µ d2, 結(jié)果得到 w µ l4，即老虎的體重w與體長l的4次方呈正比。 2. 輪廓模型直接利用不同量綱的量之間的比例關(guān)系所得到的模型稱之為

15、輪廓模型。上面已經(jīng)介紹了若干個最簡單的輪廓模型。下面進一步應(yīng)用輪廓模型解決實際問題。例4. 商品的包裝與成本 商 品 價格 含量 單價 價格 含量 單價高露潔牙膏 15.7元 190g 8.3元/100g 5.8元 60g 9.7元/100g詩芬洗發(fā)液 35.9元 400ml 9元/100ml 23.1元 200ml 11.5元/100ml富麗餅干 8.8元 450g 1.9元/100g 3.0元 150g 2元/100g奇寶餅 5.9元 250g 2.3元/100g 4.3元 150g 2.87元/100g建模分析為什么小包裝的商品比大包裝的要貴一些?假設(shè): 10.包裝只計裝包工時和包裝材料

16、。 20.不同規(guī)格的商品包裝外觀相似，包裝材料相似，至少在價格上沒有太大的差異。 30.不同規(guī)格的商品裝包時工作效率相同。 40.不考慮利潤及其他因素對商品價格的影響。參量與變量 W:每件商品凈重（產(chǎn)品的含量）, C(W): 每件商品的總成本, A: 每件商品中產(chǎn)品的成本, B1: 每件商品裝包工時投入, B2: 每件商品包裝材料成本， S: 包裝材料用量, c(W):商品單位重量的平均成本. 分析：C(W) = A + B1 + B2 A = a1W, B1 = a2W, B2 = a3S = a4w2/3， 模型：C(W)= k1W + k2W2/3， c(W) = k1 + k2W-1/

17、3應(yīng)用于價格預(yù)測： 康爾乃奶粉 32.4元 400g; 67.1元 900g. 4 k1 + 42/3 k2 = 32.4 9 k1 + 92/3 k2 = 67.1 解得: k1 = 5.3791, k2 = 4.3192 模型: C(W)=5.3791 W + 4.3192 W2/3. 預(yù)測: W=1800, C(W) = 126.49. W=2500, C(W) = 154.36檢驗: 實際 W=1800, C(W)=115.9, W=2500, C(W)=146.85可賽礦泉水：1.70元 0.6升； 2.20元 1.0升 0.6 k1+ 0.62/3k2 = 1.7 1.0 k1+1

18、.02/3 k2 = 2.2 解得： k1 = -1.21， k2 = 3.41 模型: C(W)=-1.21W + 3.41W2/3.預(yù)測：W=1.5，C(W)= 2.65檢驗: 實際 W=1.5, C(W)= 3.45 分析 10. 輪廓模型不宜于預(yù)報新商品的價格(?) 20. 成本的降低率 r(W)=|dc/dw| = 1/3 k2W-4/3是商品量的減函數(shù). 30. 支出的節(jié)省率 S(W) = W r(W) = 1/3 k2W-1/3也是商品量的減函數(shù). 僅從經(jīng)濟方面考慮，消費者購買小包裝的商品不合算，生產(chǎn)者制造特大包裝的商品也不合算！ 例5. 劃艇比賽的成績 問題1. 劃艇按艇上槳手

19、的人數(shù)分為單人、雙人、四人和八人艇四種，賽程 2000m, 稱劃行時間為比賽成績。 試組建模型描述劃艇的比賽成績與艇上運動員人數(shù)的關(guān)系。 參量、變量n: 人數(shù)， W: 體重，P: 輸出功率,U: 艇重，v: 艇速，F(xiàn): 劃艇受到的阻力，S: 浸沒面積, V：排水體積，D: 比賽距離，T: 比賽成績(時間). 假設(shè)：10.艇身相似，艇重 U 與槳手人數(shù) n 呈正比：U=k3n， 。20.運動員體重 W 相等，每人輸出功率 P 不變, 且與體重 W 呈正比：P=k1W, 。30.劃艇受到的阻力 F與 Sv2 呈正比：F=k2Sv2.40. 艇速 v 定常，于是 T=D/v目標：求比賽成績對人數(shù)的依

20、賴關(guān)系： T=T(n).分析：由物理知識可知,槳手輸出的功完全用于劃艇克服阻力產(chǎn)生定常的速度: n P = k4 F v.由假設(shè)得到：k1 n W = k4 k2 S v3。 于是得到速度模型：v = k9 (nW/S)1/3.由阿基米德原理可知劃艇排水的體積V與載人艇的總重量呈正比, V = k5(U+nW) = nk5(k3+W) = k6n。浸沒面積與排水體積關(guān)系為 S=k7V2/3=k8n2/3。代入速度模型，得到速度對人數(shù)的依賴關(guān)系： v=k9(nW/n2/3)1/3=k10n1/9最后得到比賽成績對人數(shù)的依賴關(guān)系： T=D/v=k n-1/9.檢驗：劃艇四次比賽的成績 種類 成績(劃2000米時間(分) 平均 單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.215 雙人 6.87 6.