宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)分析方法系列：(課堂放映版、11碩已講)拓?fù)淇臻g、不動(dòng)點(diǎn)定理(共16頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上=附錄：宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)分析方法：不動(dòng)點(diǎn)定理（09、10、11碩已講，2009年01月21日，精細(xì)訂正）我們開(kāi)始討論不動(dòng)點(diǎn)定理，那么什么是不動(dòng)點(diǎn)定理？所謂不動(dòng)點(diǎn)，就是使方程有解的點(diǎn)，這里可以是單變量函數(shù)，也可以是度量空間到自身上的映射。因?yàn)辄c(diǎn)是在的映射下固定不變的點(diǎn)，我們稱為不動(dòng)點(diǎn)。所謂不動(dòng)點(diǎn)定理就是描述方程的解的存在條件的定理。不動(dòng)點(diǎn)的存在性問(wèn)題就稱為不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，不動(dòng)點(diǎn)定理由此得名。有許多不同的不動(dòng)點(diǎn)定理。其中一些是構(gòu)造性的，但大多數(shù)不是構(gòu)造性的，例如，最著名的布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理就不是構(gòu)造性的，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)理只告訴我們不動(dòng)點(diǎn)是存在的，但沒(méi)有說(shuō)明尋找不動(dòng)點(diǎn)的方法。在數(shù)學(xué)中

2、，有許多類似描述解的存在性定理，其中最著名的就是代數(shù)基本定理和微積分中的各種中值定理，正如我們已經(jīng)看到的一樣，這樣的存在性定理在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都是非常重要的。設(shè)想使用計(jì)算機(jī)去尋找近似解，如果我們知道解是存在的，我們就不會(huì)無(wú)的放矢。（不講，跳過(guò)）事實(shí)上，不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是普遍存在的，我們知道的許多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。例如：設(shè)是一個(gè)映射，我們欲解方程，其中。這個(gè)問(wèn)題就等價(jià)于不動(dòng)點(diǎn)方程 或 ；更一般地，等價(jià)于，式中滿足，當(dāng)且僅當(dāng)。我們將介紹三個(gè)重要的不動(dòng)點(diǎn)定理：巴拿赫（Banach）不動(dòng)點(diǎn)定理，布勞威爾（Brouwer）不動(dòng)點(diǎn)定理和角谷（Kakutani）不動(dòng)點(diǎn)定理。一、壓縮映射與巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)

3、定理我們首先介紹巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理，這個(gè)定理也稱為壓縮映射原理。這是一構(gòu)造性定理，定理的證明提供一個(gè)構(gòu)造不動(dòng)點(diǎn)的方法，這個(gè)方法稱為逐次逼近法（即迭代法）。在介紹巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理之前，先引進(jìn)壓縮映射的概念。定義16.26 設(shè)是度量空間，是一個(gè)映射，如果對(duì)任意，有 （16-14）其中，我們說(shuō)滿足李普希茨（Lipschitz）條件，并稱為為壓縮映射，稱為壓縮常數(shù)。雖然，壓縮映射是連續(xù)的，對(duì)于壓縮映射我們有：定理16.23（巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理） 設(shè)是完備度量空間，是一個(gè)壓縮映射，則在上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，任取，并令，有（1），（2），其中，是壓縮常數(shù)。證明：先證明唯一性：設(shè)是的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即是壓縮映射。由于

4、，故，從而再證明存在性：任取，?。ㄟ@就是遞推式！），根據(jù)李普希茨條件，有因此，對(duì)于任何正整數(shù)時(shí)，由三角不等式及李普希茨條件，得其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，所以為非零定數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，故是柯西序列，滿足柯西收斂準(zhǔn)則，由于是完備空間，存在，使得，由連續(xù)性得，于是故。這就證明了不動(dòng)點(diǎn)的存在性。在不等式中，令，即證得（1）中的估計(jì)式。例16-25 設(shè)存在，且，則根據(jù)微分中值定理，我們得是區(qū)間上的壓縮映射，所以在區(qū)間上有不動(dòng)點(diǎn)。例16-26 考慮非線性積分方程 （16-15）其中，應(yīng)用壓縮映射原理，證明積分方程（16-15）存在唯一的實(shí)值連續(xù)函數(shù)解證明 在連續(xù)函數(shù)空間上，取距離為則是一個(gè)完備度量空間，定義映射由于

5、，有設(shè)，于是于是，左邊取最大值，得，故是壓縮映射。由壓縮映射原理，存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，使得，即積分方程（16-15）有唯一解。巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用是非常廣泛的，它可以很容易地導(dǎo)出非線性常微分方程解的存在唯一性定理，也可以導(dǎo)出隱函數(shù)定理。下面兩個(gè)例子說(shuō)明定理的條件不滿足時(shí)，結(jié)論不成立。例16-27 設(shè)是實(shí)數(shù)空間的子空間，易見(jiàn)，是連續(xù)的，滿足，并且沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)。例16-28 設(shè)是實(shí)數(shù)空間的子空間，顯然是壓縮映射，但沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)。（想一想，為什么？）二、布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的結(jié)果之一。它的敘述簡(jiǎn)單，但證明卻很困難，直觀上，任何人都能理解布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的結(jié)論，其證明通

6、常需要在研究生的課程代數(shù)拓?fù)渲薪榻B。布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理在數(shù)學(xué)的許多分支中有大量的應(yīng)用。例如：它是常微分方程理論中的基本工具，它在無(wú)限維空間上的推廣肖德（Schauder）定理被用于偏微分方程和積分方程領(lǐng)域中，建立了許多重要的結(jié)果。在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，著名諾貝爾獎(jiǎng)獲得者納什就是因?yàn)橛貌紕谕柌粍?dòng)點(diǎn)定理證明了多人非合作對(duì)策的基本定理而獲獎(jiǎng)的?，F(xiàn)在我們敘述布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理。定理16.24（布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理） 設(shè)是維單位球到自身的連續(xù)映射，則至少存在中的一點(diǎn)，使得換句話說(shuō)，中的單位球到自身的連續(xù)映射必有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，用我們?nèi)粘５耐ㄋ渍Z(yǔ)言解釋是：設(shè)想有一杯牛奶放在桌子上，輕輕地、連續(xù)地轉(zhuǎn)動(dòng)幾下杯子使牛奶在杯

7、中運(yùn)動(dòng)。當(dāng)牛奶停止運(yùn)動(dòng)后，牛奶中至少有一點(diǎn)恰好回到它原來(lái)所在杯中的位置。對(duì)于的情形，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理為：如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且滿足，則存在，使得. 此時(shí)，對(duì)函數(shù)利用連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理易證。參見(jiàn)圖16-8.必須注意，我們用到了所有的假設(shè)條件，如果有條件不滿足，則定理不成立，例如：函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，這里不成立；另外設(shè)分段定義函數(shù)，且，則也沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，這時(shí)不連續(xù)。對(duì)于的情形，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理成為：?jiǎn)挝粓A盤上到自身的連續(xù)映射，必有一點(diǎn)，其映象為自己。同樣，如果有條件不滿足，則定理不成立，還有一點(diǎn)需要注意，如果把換成其他區(qū)域，定理也可能不成立。例如：在圓環(huán)上，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)映射沒(méi)有不動(dòng)

8、點(diǎn)，如圖16-9.布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的證明方法有很多，大都需要代數(shù)拓?fù)浠蛭⒎中问降慕Y(jié)論。我們將介紹一個(gè)初等的證明，在給出勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的證明之前，先作一些說(shuō)明。設(shè)是一個(gè)度量空間，如果任意到自身的連續(xù)映射均有不動(dòng)點(diǎn)，則稱具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，我們有引理16.3 設(shè)與同胚，則如果具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，那么也具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。證明 設(shè)是同胚映射，且具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，如果是到其自身的連續(xù)映射，那么是到自身的連續(xù)映射，見(jiàn)下面交換圖表。依假設(shè)，存在，使得，即令，則有，即也具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。根據(jù)定理16.14，中的任意凸體與某一個(gè)同胚。因此，如果布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理成立，則中的任意凸體具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。事實(shí)上，我們將對(duì)一類特殊

9、的凸體證明其具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，從而證明布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理。設(shè)中個(gè)點(diǎn)是幾何無(wú)關(guān)的，即線性無(wú)關(guān)，我們稱的子集為一個(gè)維單形，記作；常數(shù)稱為點(diǎn)x的重心坐標(biāo)，點(diǎn)稱為單形的頂點(diǎn)。根據(jù)定義，容易證明，單形中任意一點(diǎn)重心坐標(biāo)是唯一的；任意單形都是凸體。以單形的部分頂點(diǎn)定義的維單形稱為的一個(gè)維面。易見(jiàn)，如果，則的重心坐標(biāo)滿足， （16-16）所以當(dāng)時(shí)，維面中的點(diǎn)都是單形的邊界點(diǎn)。顯然，一個(gè)維單形有個(gè)不同的維面。依定義可見(jiàn)，一維單形是線段，二維單形是三角形，三維單形是四面體，如圖16-10所示，從定理16.14的證明中，可以看出維單形與同胚，我們將證明布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的一個(gè)簡(jiǎn)單形式。定理16.25 任意單形具有不

10、動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。以下的討論都是在給定維單形內(nèi)進(jìn)行的，設(shè)是到自身的連續(xù)映射，我們用表示的重心坐標(biāo)。引理16.4 是的不動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) （16-17）證明 如果是不動(dòng)點(diǎn)，則，于是和有相同的重心坐標(biāo)，即， （16-18）顯然不等式（16-17）成立；反之，如果不等式（16-17）成立，則由于對(duì)任意，有 （16-19）即得式（16-18）也成立。根據(jù)引理16.4，我們證明定理16.25的思路是：假設(shè)沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，即任意點(diǎn)都是的動(dòng)點(diǎn)，不滿足不等式（16-17），然后找到一點(diǎn)滿足不等式（16-17），矛盾，由此證明不動(dòng)點(diǎn)定理成立。為此需要研究動(dòng)點(diǎn)重心坐標(biāo)的性質(zhì)。設(shè)是一動(dòng)點(diǎn)，即，則依等式（16-19），存在，使得。

11、我們定義映射在處的指數(shù)是滿足重心坐標(biāo)嚴(yán)格不等式的最小下標(biāo)，即 （16-20）引理16.5 如果是維面中的點(diǎn)，則有此時(shí)，我們說(shuō)指數(shù)滿足邊界條件。證明 由式（16-16），當(dāng)時(shí)，有，故根據(jù)指數(shù)的定義，只能取其中之一，圖16-11是的情形。下面考察單形的重分。對(duì)于任意正整數(shù)和非負(fù)整數(shù)，滿足取點(diǎn)這樣我們得到個(gè)點(diǎn)，由這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以得以個(gè)大小相同的維小單形，這些小單形只可能在它們的邊界上相交，它們就像細(xì)胞一樣，一個(gè)緊貼一個(gè)，組成整個(gè)單形，因此我們稱這些小單形為單形的胞腔。如圖16-12，這是的情形。設(shè)單形的直徑是d，在的n重分中，每個(gè)胞腔的直徑是，即當(dāng)，胞腔的直徑趨于零。現(xiàn)在我們來(lái)做一個(gè)填數(shù)字的游戲：對(duì)

12、于的重分中每個(gè)頂點(diǎn)，從中選一個(gè)數(shù)字，填在該點(diǎn)上，稱為的指數(shù)，記作.對(duì)于已經(jīng)定義指數(shù)的單形，如果某一胞腔在其個(gè)頂點(diǎn)處的指數(shù)取遍所有數(shù)字，那么就稱這個(gè)胞腔是全指數(shù)的。如圖16-13所示，陰影胞腔是全指數(shù)的。一般來(lái)說(shuō)，全指數(shù)胞腔不一定存在，但上面引理16.5中定義的邊界條件下，全指數(shù)胞腔一定存在，這就是斯潘納（Sperner）引理。引理16.6（斯潘納引理） 設(shè)是維單形，重分；并且表示在中所有頂點(diǎn)上的指數(shù)，滿足條件：如果，有則存在一個(gè)全指數(shù)胞腔。證明 事實(shí)上，我們將證明全指數(shù)胞腔的個(gè)數(shù)是奇數(shù)。我們稱中任意一個(gè)胞腔的每個(gè)維面為維子胞腔。如果是一個(gè)維子胞腔，其個(gè)頂點(diǎn)的指數(shù)分別是，則稱的類型為，記作這里不

13、考慮的順序，需要考慮某一值重?cái)?shù)。例如：我們用表示中類型為的維子胞腔的個(gè)數(shù)，我們要證：=奇數(shù).當(dāng)時(shí)，一維胞腔的面是其端點(diǎn)。設(shè)是珍上一維胞腔，如果的類型是（0,0），則其兩個(gè)端點(diǎn)的指數(shù)均是0；如果的類型是（0,1），則一個(gè)端點(diǎn)的指數(shù)是0，另一個(gè)端點(diǎn)的指數(shù)是1；如果的類型是，則兩個(gè)端點(diǎn)的指數(shù)均是。因此，表示指數(shù)為零的頂點(diǎn)出現(xiàn)在所有胞腔中總的次數(shù)。但如果指數(shù)為零的頂點(diǎn)是單形的內(nèi)點(diǎn)，則該頂點(diǎn)恰是兩個(gè)胞腔的端點(diǎn)，即出現(xiàn)兩次；如果是的邊界點(diǎn)，則只出現(xiàn)在一個(gè)胞腔中，即出現(xiàn)一次，邊界只有一個(gè)指數(shù)為零，故 （16-21）式中表示指數(shù)為零的內(nèi)部頂點(diǎn)個(gè)數(shù)。這說(shuō)明是奇數(shù)。圖16-14是一個(gè)5重分的例子，這里，滿足式（1

14、6-21），故全指數(shù)胞腔有三個(gè)（用粗線段表示）。下面考察一般情形，如果胞腔的類型是，其中，則它有兩個(gè)類型為的面：如果的類型是，則它有一個(gè)類型為的面。因此，表示類型為的子胞腔在所有胞腔中出現(xiàn)的次數(shù)總和。如果在的內(nèi)部，則它是兩個(gè)胞腔的面：如果在的邊界，則它只是一個(gè)胞腔的面，故式中表示類型為的內(nèi)部子胞腔的個(gè)數(shù)，表示類型為的邊界子胞腔的個(gè)數(shù)。根據(jù)邊界條件，類型為的邊界子胞腔只能出現(xiàn)在內(nèi)。由此利用歸納法原理，可得是奇數(shù)，故也是奇數(shù)。現(xiàn)在我們可以證明布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理。布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的證明 設(shè)是單形到自身的連續(xù)映射，且沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，則對(duì)于任意，則式（16-20）定義的指數(shù)是有意義的，并且滿足邊界條件，根

15、據(jù)斯潘納定理，對(duì)于任意整數(shù)，在的重分中存在一個(gè)胞腔是全指數(shù)胞腔，設(shè)其頂點(diǎn)為，滿足由指數(shù)的定義，我們知道：，           （16-22）并且由于當(dāng)時(shí)，胞腔的直徑是趨于零的，故 （16-23）考察序列，由于是緊集，存在收斂子列，由式（16-23）得，由連續(xù)性，得，注意x的重心坐標(biāo)是點(diǎn)x的連續(xù)函數(shù)，由此在不等式（16-22）中，取，并令，得關(guān)于坐標(biāo)的不等式故由引理16.4得，我們完成了布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的證明。三、角谷不動(dòng)點(diǎn)定理許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家都引用過(guò)角谷不動(dòng)點(diǎn)定理，但角谷不動(dòng)點(diǎn)定理對(duì)我

16、們來(lái)說(shuō)是全新的，這里由于它涉及的對(duì)象不是通常的映射，而是一種被稱為集值映射的對(duì)應(yīng)。定義16.27 設(shè)和為任意集合，如果對(duì)每個(gè)，總有一個(gè)確定的非空子集合與之對(duì)應(yīng)，則稱為從到的集值映射，記作一個(gè)直觀的例子是，對(duì)某個(gè)學(xué)校的每一個(gè)學(xué)生表示由知道姓名的人組成的集合。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中集值映射是非常重要的概念。許多問(wèn)題的解往往不止一個(gè)，因此經(jīng)濟(jì)學(xué)家必須討論集值映射而不是函數(shù)，我們以前討論的映射都是集值映射的特例。設(shè)集值映射，則的子集合稱為的圖像，如圖16-15。另一方面，中的每個(gè)子集確定了一個(gè)關(guān)系：如果對(duì)于每一個(gè)是到的一個(gè)集值映射。為了討論不動(dòng)點(diǎn)的存在性，我們必須討論集值映射的連續(xù)性。直觀上說(shuō)，連續(xù)是指當(dāng)在一個(gè)很

17、小的范圍內(nèi)變化，因變量集合也應(yīng)該在很小的范圍內(nèi)變化，我們用距離來(lái)描述遠(yuǎn)近和范圍，因此在下面的討論中均假設(shè)和是度量空間。定義16.28 設(shè)是集值映射，如果對(duì)于中任意收斂于的序列，當(dāng)，且收斂于時(shí)，則有，我們就稱在處上半連續(xù)；如果在每個(gè)處都是上半連續(xù)的，則稱集值映射是上半連續(xù)的。根據(jù)定義，容易證明集值映射是上半連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)其圖像是的閉集，上半連續(xù)可以看作是函數(shù)連續(xù)概念的推廣。事實(shí)上，如果是單值映射，且是緊集，則連續(xù)的充分必要條件是其圖像的閉集，必要性是顯然的，下面我們證明充分性，設(shè)是的閉集，任給和收斂于的序列，令，且，則是中的序列，由于是緊集，存在一收斂子列，設(shè)其收斂點(diǎn)為，于是收斂于，依照設(shè)，故同

18、理，可得的任意收斂子列都收斂于，因此收斂于故是連續(xù)的。要注意：當(dāng)不是緊集時(shí)，圖像為閉集的函數(shù)不一定連續(xù)，例如：的圖像是中的閉集，但在不連續(xù)?，F(xiàn)在我們可以敘述角谷不動(dòng)點(diǎn)定理。定理16.26（角谷不動(dòng)點(diǎn)定理） 設(shè)是凸集，集值映射是上半連續(xù)的，并且對(duì)每個(gè)，集值是凸集，則存在，使得。證明 我們首先證明當(dāng)是中的維單形的情形。設(shè)，在其重分上定義映射如下：當(dāng)是任意胞腔的頂點(diǎn)時(shí)，取等于中的一點(diǎn)；如果不是任何胞腔的頂點(diǎn)，而是某一胞腔中的點(diǎn)，設(shè)其重心坐標(biāo)是()，即記，定義 （16-25）注意，當(dāng)在兩個(gè)胞腔的公共面時(shí)，由兩個(gè)胞腔定義的是一致的，因此是映射，顯然，在每個(gè)胞腔上是連續(xù)的，依粘接定理得是X上的連續(xù)映射。根據(jù)布勞威爾定理，存在，使得 （16-26）如果恰好是一個(gè)頂，則由的定義，有；當(dāng)不是頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)其滿足式（1624）和式（1625），考察下列序列.由博爾查諾一魏爾斯特拉斯定理，存在收劍子列，設(shè)當(dāng)時(shí)，有則由式（16-26）及式（16-25），得 （16-27）由于胞腔是收縮到一點(diǎn)的，所以當(dāng)時(shí)，.注意，且收斂于，而是上半連續(xù)的，故即依假設(shè)，是凸集，由式（16-27），得至此，我們證明了當(dāng)X是單形的