初中數(shù)學行程問題專題(20210127134429)

1、初中列方程解應用題（行程問題）專題行程問題是指與路程、速度、時間這三個量有關(guān)的問題。我們常用的基本公式是：路程=速度X時間；速度=路程+時間；時間=路程+速度行程問題是個非常龐大的類型，多年來在考試中屢用不爽，所占比例居高不下。原因就是行程問題可以融入多種練習 ，熟悉了行程問題的學生，在多種類型的習題面 前都會顯得得心應手。下面我們將行程問題歸歸類，由易到難，逐步剖析。1.單人單程：例1:甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運行速度從80km/h提高到100km/h,運行時間縮短了 3h。甲，乙兩城市間的路程是多少【分析】如果設(shè)甲，乙兩城市間的路程為 x km,那么列車在兩城市

2、間提速前的運 行時間為王h ,提速后的運行時間為 h.80100【等量關(guān)系式】 提速前的運行時間一提速后的運行時間二縮短的時間.【列出方程】 -3. 80 100例2:某鐵路橋長1000m,現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了 1 min ,整列火車完全在橋上的時間共 40so求火車的速度和長度?！痉治觥咳绻O(shè)火車的速度為xm/s,火車的長度為ym,用線段表示大橋和火100060xI1000yy 40 40x 【等量關(guān)系式】 火車1 min行駛的路程二橋長+火車長；火車40s行駛的路程=橋長-火車長【列出方程組】60x 1000 y 40x 1000 y2.單人雙程（等

3、量關(guān)系式：來時的路程 =回時的路程）：例1:某校組織學生乘汽車去自然保護區(qū)野營，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了 6.5h；返回時汽車以40km/h的速度下坡，又以 50km/h的速度走平路，共用了 6h.學校距自然保護區(qū)有多遠?！痉治觥咳绻O(shè)學校距自然保護區(qū)為 xkm,由題目條件：去時用了 6.5h,則有些 同學會認為總的速度為 km/h,然后用去時走平路的速度 +去時爬坡的速度=總的 6.5速度，得出方程60 30 ,這種解法是錯誤的，因為速度是不能相加的。不妨設(shè)6.5平路的長度為xkm,坡路的長度為y km,則去時走平路用了 h,去時爬坡用了60義h,而

4、去時總共用了 6.5h,這時，時間是可以相加的；回來時汽車下坡用了包h,3040回來時走平路用了,而回來時總共用了 6h.則學校到自然保護區(qū)的距離為50(x y)km o【等量關(guān)系式】去時走平路用的時間+去時爬坡用的時間=去時用的總時間回來時走平路用的時間+回來時爬坡用的時間=回來時用的總時【列出方程組】x60x50y 06.530-y- 6403.雙人行程:(I )單塊應用:只單個應用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問題。1)同時同地同向而行：A,B兩事物同時同地沿同一個方向行駛例：甲車的速度為60km/h ,乙車的速度為80km/h ,兩車同時同地出發(fā)，同向而 行。經(jīng)過多少時間兩車相距

5、280km0【分析】如果設(shè)經(jīng)過xh后兩車相距280km,則甲走的路程為60xkm,乙走的路程為80xkm,根據(jù)題意可畫出如下示意圖:80x km乙60x km280km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離+280=乙車行駛的距離【列出方程】 60x 280 280x2）同時同地背向而行：A, B兩事物同時同地沿相反方向行駛例：甲車的速度為60km/h ,乙車的速度為80km/h ,兩車同時同地出發(fā)，背向而行。經(jīng)過多少時間兩車相距 280kmo【分析】如果設(shè)經(jīng)過xh后兩車相距280km,則甲走的路程為60xkm,乙走的路 程為80xkm,根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲 乙J 60x km 丁80x km

6、280 km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=280【列出方程】60x 80x 2803）同時相向而行（相遇問題）：例：甲，乙兩人在相距10km的A,B兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍,兩人同時處發(fā)1.5h后相遇，求甲，乙兩人的速度。【分析】 如果設(shè)甲的速度為 xkm/h,則乙的速度為2xkm/h,甲走過的路程為1.5xkm,乙走過的路程為1.5 2xkm,根據(jù)題意可畫出如下示意圖:kmx 2x kmAB10 km280 km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=10【列出方程】1.5x 1.5 2x 104）追及問題：例：一對學生從學校步行去博物館，他們以 5k

7、m/h的速度行進24min后，一名教師騎自行車以15km/h的速度按原路追趕學生隊伍。這名教師從出發(fā)到途中與學生隊 伍會合共用了多少時間【分析】如果設(shè)這名教師從出發(fā)到途中與學生隊伍會合共用了xh,則教師走過的路程為15xkm,學生走過的路程為教師出發(fā)前走過的路程加上教師出發(fā)后走過的路程，而學生在教師出發(fā)前走過的路程為5 24 km,學生在教師出發(fā)后走過的路程60為5x km ,又由于教師走過的路程等于學生走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：學生 *5 '24km丁 5x-km60教師產(chǎn)75x km二【等量關(guān)系式】教師走過的路程=學生在教師出發(fā)前走過的路程 +學生在教師出發(fā)后走過的路程

8、【列出方程】15X 5 24 5x605）不同時同地同向而行（與追擊問題相似）：例：甲，乙兩人都從A地出發(fā)到B地，甲出發(fā)1h后乙才從A地出發(fā)，乙出發(fā)3h后 甲，乙兩人同時到達 B地，已知乙的速度為50km/h,問，甲的速度為多少【分析】如果設(shè)甲的速度為x km/h,則乙出發(fā)前甲走過的路程為 x km,乙出發(fā) 后甲走過的路程為3xkm,甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲 走過的路程，而乙走過的路程為 50 3km,甲走過的路程等于乙走過的路程。根據(jù)題 意可畫出如下示意圖：甲 x km 33x kmZT50X 3 km【等量關(guān)系式】 乙走過的路程=乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲

9、走過的路 程【列出方程】50 3 x 3x 6）不同時相向而行例：甲，乙兩站相距448km, 一列慢車從甲站出發(fā)，速度為 60km/h ; 一列快車從乙站出發(fā)，速度為100km/ho兩車相向而行，慢車先出發(fā) 32min ,快車開出后多少 時間兩車相遇【分析】如果設(shè)快車開出后xh兩車相遇，則慢車走過的路程為60x 60 32 km,32快車走過的路程為100xkm。根據(jù)題意可畫出如下示意圖:60x448km【等量關(guān)系式】總路程=快車出發(fā)前慢車走過的路程 +快車出發(fā)后慢車走過的路程+快車走過的路程【列出方程】448 60 32 60x 400x60注：涉及此類問題的還有同時不同地同向而行、不同時不

10、同地背向而行、不同 時不同地同向而行、不同時不同地背向而行，與上面解法類似，只要畫出示意圖問 題就會迎刃而解，就不再一一給出解答了，此類問題會在后面練習中給出習題。(n)結(jié)合應用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題兩兩結(jié)合起來應4) 相向而行+背向而行例：A, B兩地相距36km,小明從A地騎自行車到B地，小麗從B地騎自行車到A地，兩人同時出發(fā)相向而行，經(jīng)過 4h后兩人相遇；再過0.5h,小明余下的路程是 小麗余下的路程的2倍。小明和小麗騎車的速度各是多少【分析】如果設(shè)小明騎車的速度為 x,小麗騎車的速度為y,相遇前小明走過的路程為x,小麗走過的路程為y;相遇后兩人背向而行，小明走過的路

11、程為0.5x,小麗走過的路程為0.5y。根據(jù)題意可畫出如下示意圖:小明小麗相遇前匚 x . 丁 一 一 y3AB36km小明小麗【等量關(guān)系式】相遇前小明走過的路程+相遇前小麗走過的路程=總路程相遇后小明余下的路程=2X相遇后小麗余下的路程【列出方程組】x y 36y 0.5x 2 (x 0.5y)2)同向而行+相向而行例：一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以35千米/時的速度前進，突然，1號隊員以45千米/時的速度獨自行進，行進 10千米后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以 45千 米/時的速度往回騎，直到與其他隊員會合。1號隊員從離隊開始到與其他隊員重新會合，經(jīng)過了多長時間【分析】由題意“1號隊員以45千米

12、/時的速度獨自行進，行進 10千米后掉轉(zhuǎn)車頭”可知1號隊員從離隊到調(diào)轉(zhuǎn)車頭前的時間為"h,不妨設(shè)1號隊員從調(diào)轉(zhuǎn)車45頭到與其他隊員重新回合的時間為 x ho根據(jù)題意可畫出如下示意圖：1號隊員-10 35 45 35 35x 45 45x>,10km【等量關(guān)系式】1號隊員從離隊到調(diào)轉(zhuǎn)車頭這段時間所有隊員走的路程+1號隊員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊員重新回合這段時間內(nèi)所有隊員走的路程+1號隊員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊員重新回合這段時間內(nèi)1號隊員走的路程=100【列出方程】35 10 35x 45x 10454 .行程問題中的工程問題：乍一看，題目中就時間已知，速度、路程都未知，此類問題同學們

13、做起來覺得無從下手。其實只要把路程看做單位“ 1”（至于為什么，結(jié)合以下例題講解），這就相 當于把行程問題轉(zhuǎn)化為工程問題。例：甲開汽車從A地到B地需要6h,乙開汽車從A地到B地需要4h,如果甲， 乙兩人分別從A, B兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時后兩車相遇。【分析】題目中就時間已知，速度、路程都未知，有些同學想如果知道A與B的距離，就可以得出 A與B的速度，那么問題就迎刃而解了，可是路程未知呀！是不A與B的距是路程無論取什么值，都經(jīng)過相同的時間兩車相遇呢為此，我們不妨設(shè)離為a,經(jīng)過xh后兩車相遇。我們可以立馬得出關(guān)系式:64邊的a消去，得到方程-1,立馬得出x -o說明路程無論取什么值，都經(jīng)

14、過 645相同的時間兩車相遇。遇到類似問題，我們往往把路程看做單位“1”。5 .環(huán)形跑道問題：環(huán)形跑道問題也是形成問題的一種，環(huán)形跑道問題就是閉路線上的追擊問題。在環(huán)形問題中，若兩人所走同時同地出發(fā)，同向而行，當?shù)谝淮蜗嘤鰰r，兩人所走路程差為一周長；相向而行，第一次相遇時，兩人所走路程和為一周長。例1:運動場跑道周長400m,小紅跑步的速度是爺爺?shù)?-倍，他們從同一地點 3沿跑道的同一方向同時出發(fā)，5min后小紅第一次追上了爺爺。你知道他們的跑步速度嗎那是不是再過5min兩人第二次相遇呢如果不是，請說明理由；如果是，用方程式表示?！痉治觥坎环猎O(shè)爺爺?shù)呐懿剿俣葹?xm/min,則小紅的跑步速度為

15、-x m/min 3【等量關(guān)系式】小紅跑的路程一爺爺跑的路程 =400m【列出方程】5 5x 5x 400 3注：再過5min兩人第二次相遇，用上面那個方程式就可以表示出來。例2:甲，乙兩車分別以均勻的速度在周長為 600m的圓形軌道上運動。甲車的速度較快，當兩車反向運動時，每 15s相遇一次；當兩車同向運動時，每1min相遇- 次，求兩車的速度【分析】設(shè)甲，乙兩車的速度分別為 xm/s和ym/s【等量關(guān)系式】 同向而行甲所走的路程- 同向而行乙所走的路程=一周長反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周長【列出方程組】 15x 15y 60060x 60y 6006 . 水流問題一般是

16、研究船在“流水”中航行的問題。 它是行程問題中比較特殊的一種類型，它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用?；靖拍詈凸接校捍伲捍陟o水中航行的速度水速：水流動的速度順水速度：船順流航行的速度逆水速度：船逆流航行的速度順速 =船速水速逆速 =船速水速船行速度=（順水速度+逆流速度）+2流水速度=（順流速度一逆流速度）+2路程=順流速度X順流航行所需時間路程=逆流速度X逆流航行所需時間例1:某船在80km的航道上航行，順流航行需1.6h ,逆流航行需2h。求船在靜 水中航行的速度和水流的速度。【分析】 設(shè)船在靜水中航行的速度和水流的速度分別為x和y,順流的速度為80km/h,逆流的速度為80km/h,再利用上面的公式。1.62【等量關(guān)系式】 順速=船速+水速逆速=速-水速80 x y【列出方程】680一 x y2例2:甲，乙兩艘貨船，甲