綜合法求直線與平面所成的角(解析)

1、綜合法求直線與平面所成的角方法：直線與平面所成的角1.已知平面外兩點(diǎn)A、B到平面的距離分別為1和2，A、B兩點(diǎn)在內(nèi)的射影之間距離為，求直線AB和平面所成的角解(1)如圖，當(dāng)A、B位于平面同側(cè)時(shí)，由點(diǎn)A、B分別向平面作垂線，垂足分別為A1、B1，則AA11，BB12，B1A1.過(guò)點(diǎn)A作AHBB1于H，則AB和所成角即為HAB.而tanBAH.BAH30.(2)如圖，當(dāng)A、B位于平面異側(cè)時(shí)，經(jīng)A、B分別作AA1于A1，BB1于B1，ABC，則A1B1為AB在平面上的射影，BCB1或ACA1為AB與平面所成 的角BCB1ACA1，2，B1C2CA1，而B(niǎo)1CCA1，B1C.tanBCB1，BCB16

2、0.綜合(1)、(2)可知：AB與平面所成的角為30或60.2.如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線和平面所成的角的正弦值.【答案】(1)略；(2)【解析】(1)利用線面垂直的定義得到線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定證明直線與平面垂直；(2)通過(guò)添加輔助線，證明平面，以此找到直線與平面所成角的平面角，在直角三角形中通過(guò)確定邊長(zhǎng)，計(jì)算的正弦值.試題解析：(1)設(shè)為中點(diǎn)，由題意得平面，所以.因?yàn)椋?所以平面.由，分別為的中點(diǎn)，得且，從而且，所以是平行四邊形，所以.來(lái)源:學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)因?yàn)槠矫妫云矫?(2)作，垂足為，連結(jié).因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋?/p>

3、以平面.所以平面.所以為直線與平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得.所以【考點(diǎn)定位】1.空間直線、平面垂直關(guān)系的證明；2.直線與平面所成的角.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線與平面垂直的證明以及直線與平面所成角的大小的計(jì)算.能夠利用直線與平面垂直的定義及判定，通過(guò)直線與直線垂直證明得到直線與平面垂直；通過(guò)證明直線與平面垂直，構(gòu)造得到直線與平面所成角的平面角，利用解三角形的知識(shí)計(jì)算得到其正弦值.本題屬于中等題，主要考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力以及空間想象能力，考查學(xué)生空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸能力.3在三棱柱中中，側(cè)面為矩形，是的中點(diǎn)，與 交于點(diǎn)，且平面（1）證明：；（2）若，求直線

4、與平面所成角的正弦值【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】試題分析：（1）證明線線垂直，一般利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，經(jīng)多次轉(zhuǎn)化得到，而線線垂直的尋找與論證，往往需要結(jié)合平幾知識(shí)進(jìn)行：如本題就可利用三角形相似得到，再由線面垂直平面得到線線垂直，因此得到平面，即（2）由（1）中垂直關(guān)系可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角：先求出各點(diǎn)坐標(biāo)，表示出直線方向向量，再利用方程組解出平面法向量，利用向量數(shù)量積求出向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求解試題解析：（1）由題意，又，又平面，與交于點(diǎn)，平面，又平面，（2）如圖，分別以所在直線為軸，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平

5、面的法向量為，則，即，令，則，所以設(shè)直線與平面所成角為，則考點(diǎn)：線面垂直判定與性質(zhì)定理，利用空間向量求線面角【思想點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型.（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.4.如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一點(diǎn)，PE2EC. (1)證明：PC平面BED；(2)設(shè)二面角APBC為90，求PD與平面PBC所成角的大小(1)證明因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC.又PA底面ABCD，所以PCBD.如圖，設(shè)AC

6、BDF，連接EF.因?yàn)锳C2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，F(xiàn)C，從而，.因?yàn)椋現(xiàn)CEPCA，所以FCEPCA，F(xiàn)ECPAC90.由此知PCEF.因?yàn)镻C與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)解在平面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AGPB，G為垂足因?yàn)槎娼茿PBC為90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.因?yàn)锽C與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD為正方形，AD2，PD2.設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳DBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，

7、A、D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，即dAG.設(shè)PD與平面PBC所成的角為，則sin .所以PD與平面PBC所成的角為30.6.如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M，N分別是A1B，B1C1的中點(diǎn)(1)求證：MN平面A1BC；(2)求直線BC1和平面A1BC所成的角的大小(1)證明如圖所示，由已知BCAC，BCCC1，得BC平面ACC1A1連接AC1，則BCAC1由已知，可知側(cè)面ACC1A1是正方形，所以A1CAC1又BCA1CC，所以AC1平面A1BC因?yàn)閭?cè)面ABB1A1是正方形，M是A1B的中點(diǎn)，連接AB1，則點(diǎn)M是AB1的中點(diǎn)又點(diǎn)N是B1C1的中點(diǎn)，則MN是AB1C1的中位線，所以MNAC1故MN平面A1BC(2)解如圖所示，因?yàn)锳C1平面A