極限和導(dǎo)數(shù)拓展講義

1、極限和導(dǎo)數(shù)本講提示本講義編寫的目的是對于高中物理中常用的微積分知識做一個相對體系的介紹，并指導(dǎo)同學(xué)在實際的物理情景中應(yīng)用。講義在內(nèi)容上注重講清數(shù)學(xué)知識的概念與思維方式，相對于野蠻的“摔公式”教學(xué)方法，同學(xué)們能一定程度上領(lǐng)略微積分的奇妙與美感。本節(jié)知識提綱1數(shù)列極限：數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限的計算2函數(shù)極限：函數(shù)極限的定義，物理中極限的使用3導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)擴(kuò)展了物理量的定義。掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本求導(dǎo)公式，求導(dǎo)運算法則最后我們一貫的反對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只關(guān)心數(shù)學(xué)公式怎么使用的態(tài)度，這種情況在喜歡物理的同學(xué)中非常普遍，這種心態(tài)的學(xué)習(xí)在物理上一定也是走不遠(yuǎn)的。本講義實際講解的是很不嚴(yán)密的，代替不了真正的數(shù)學(xué)課

2、，建議有興趣的同學(xué)課后閱讀提升對于數(shù)學(xué)的理解。知識模塊第一部分 數(shù)列極限知識點睛先思考這個問題和1哪個大？純潔而樸素的想法如下：，所以無限循環(huán)小數(shù)小于1。然而事實并非如此。令，則有： 相減得到： 所以為了解釋這樣的事情，我們做如下分析，構(gòu)造數(shù)列：顯然數(shù)列里面的每一項都是小于1的。但是并不在這個數(shù)列中。因為數(shù)列里面每一項都是有限小數(shù)，是無限小數(shù)。當(dāng)項數(shù)不斷增大的時候不斷靠近，卻一直不等于。我們這樣定義數(shù)列的極限：如果存在一個實數(shù)使得：對于任意的實數(shù)，都存在一個整數(shù)，使得對于任意，那么就叫是數(shù)列的極限，記作。否則叫數(shù)列沒有極限。可以這樣形象地理解這個定義：當(dāng)很大的時候，與要多靠近就有多靠近；越大，

3、與就越靠近。但是并不要求要等于。回到剛才的例子，是數(shù)列的極限。證明如下：對于任意一個實數(shù)，總有一個整數(shù)使得，則對于，。按照極限的定義是數(shù)列的極限，同理1也是數(shù)列的極限，二者是相等的。不加證明的給出幾個定理，有興趣的同學(xué)可以自己證明：定理 如果數(shù)列存在極限和，定理 如果數(shù)列的極限存在，則其無窮子數(shù)列極限存在，并于原數(shù)列相等。定理 單調(diào)有界數(shù)列一定存在極限定理 夾逼定理如果數(shù)列，并且的極限都是，則的極限也是定理 如果數(shù)列的極限存在，那么其子數(shù)列極限一定存在并且與原極限相等注意：數(shù)列的極限反映的是數(shù)列的變化趨勢，是一個數(shù)，這個數(shù)并不要求在這個數(shù)列中出現(xiàn)。下面給出一些運算時常用的定理：定理 如果兩數(shù)列

4、分別存在極限、，則兩數(shù)列和數(shù)列的極限為定理 如果兩數(shù)列分別存在極限、，則兩數(shù)列商數(shù)列的極限為一般在實際計算極限的時候不會真的按照定義證明，而是使用一些現(xiàn)有的結(jié)論簡化計算。通常計算極限的方法：如果一個數(shù)列的極限存在，并且滿足一元初等運算的條件（例如根號下面數(shù)大于等于0，對數(shù)的底數(shù)大于0，不等于1），則做一元運算后的極限（如果存在），等于先取數(shù)列的極限，然后對極限進(jìn)行一元運算的結(jié)果，例如指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)；如果兩數(shù)列分別存在極限，則在滿足二元初等運算一般條件的時候，兩個數(shù)列二元運算后數(shù)列記得極限（如果存在）等于兩數(shù)列取極限然后再做二元運算，例如加法、乘法、除法、乘方等。 如果發(fā)現(xiàn)表達(dá)式的某些部分

5、不滿足以上條件的時候，而整體的極限可能存在，例如形如0/0、無窮/無窮、無窮-無窮，應(yīng)當(dāng)設(shè)法將發(fā)散的其他部分組和，以期望得到可以判定的結(jié)果。例題精講【例1】 一尺之棰,日取其半,萬世不竭。做出數(shù)列等于第n天的捶的長度。使用極限的定義證明該數(shù)列的極限為0。解析 不失一般性，另，則對于任意，令，方括號代表取整，則對于任意，有，按照定義，的極限是0?！纠?】 說明下列數(shù)列是否有極限，如果有極限，極限為多少。（1）； ; ; ；（2）易證明和分別都不存在極限，它們的差或者商有極限么？解析（1） 1、極限為1 常數(shù)列的極限顯然是其自己2、對于任意，令，則對于任意，按定義的極限為03、同上面一題，易證的極

6、限是0。這樣4、不存在極限。取出為偶數(shù)的子數(shù)列，極限為1，為奇數(shù)的子數(shù)列極限為-1，二者不等，所以極限不存在。(2)，易證的極限是0，所以的極限是0,同理商的極限是1.【例3】 把一個籃球從離地面5米高的地方靜止釋放，假設(shè)其受的阻力大小恒定，為重力的一半，籃球落地后與地面碰撞過程中能量幾乎不損失，計算籃球最后的總路程。 【答案】10米【例4】 證明存在，并且。（自學(xué)）實際上這是自然底數(shù)的定義式：解析 （當(dāng)）所以；而所以可以證明是一個遞增數(shù)列，遞增有限數(shù)列存在極限。現(xiàn)在把稱為自然底數(shù)，記做，通過計算得到現(xiàn)已證明是一個無限不循環(huán)小數(shù)?！纠?】 有一杯純酒精，上方有一個閥門，能緩緩流入水，并在下方以

7、相同的流量漏出液體，保證杯子是滿的。假設(shè)水和酒精混合之后體積不變，并且流速足夠慢，以至于每個時刻都可以認(rèn)為水和酒精混合均勻。問當(dāng)上方補(bǔ)充的水的體積到達(dá)一杯的時候，杯中酒精的濃度。解析 假設(shè)把每次補(bǔ)充的水，放出的液體，這樣酒精濃度變?yōu)?，重?fù)n次之后，酒精濃度為。而，所以 鞏固練習(xí)：練習(xí)： 說明下列數(shù)列是否有極限，如果有極限，極限為多少。；答案 不存在；0第二部分 函數(shù)極限知識點睛有時候我們關(guān)心，當(dāng)函數(shù)的自變量趨于某一個位置的時候，函數(shù)值的變化趨勢。例如觀察函數(shù)的圖像。這個函數(shù)在的位置沒有定義，但是當(dāng)趨于0的時候，函數(shù)值平穩(wěn)的趨近于1。見下表：xsin(x)/x10.841470980.10.99

8、8334170.010.999983330.0010.99999983我們用以下的方法描述函數(shù)在某一點的漸進(jìn)性為：對于函數(shù)，如果其在區(qū)間，內(nèi)有定義，并且存在使得，對于任意，存在，使得對于任意，那么稱在點處存在右極限，記做類似的可以定義左極限，如果左極限等于右極限，則不區(qū)分二者，直接稱為函數(shù)在存在極限，記做：。對于連續(xù)函數(shù)，定義域內(nèi)極限總是存在的，并且有左極限等于右極限，并且就等于其自身在那一點的函數(shù)值。數(shù)列極限的各種運算法則和定理一般情況下都適用于函數(shù)極限的運算。類似的，可以定義函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的極限：一個函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，為任意實數(shù)，如果存在使得，對于任意，存在，使得對于任意，有，那么稱當(dāng)趨

9、于正無窮時有極限，記為。類似的可以定義當(dāng)趨于負(fù)無窮時有極限，記為。有時候當(dāng)趨近于某個數(shù)，或者趨向于無窮大時，函數(shù)值“要多大有多大”（其實就是把極限定義中的換為），這時候形象的記做：。讀作時，趨向于無窮。例如。這代表在這一點的極限不存在，并且是以趨向于無窮的方式不存在。一個極限不存在并不一定意味著它趨于無窮，例如，這個函數(shù)的極限并不存在，而且它也不趨向于無窮，而是在-1到1之間來回振蕩。和計算數(shù)列的極限一樣，實際計算函數(shù)極限的時候也不會每次都用極限的定義計算。實際操作的時候會先觀察極限存在的情況。有一些基本的函數(shù)直接知道極限的情況。例如，時趨于無窮，時等于0。然后盡量把函數(shù)化成幾部分的初等運算，

10、而每一個部分極限都是存在的，并且使部分之間的運算不出現(xiàn)發(fā)散。這時候可以先求每一部分的極限，然后再對各部分的極限進(jìn)行初等運算，得到最后的極限。極限在物理學(xué)中的應(yīng)用是廣泛的?；貞浨锛镜谝恢v，瞬時速度、瞬時加速度都是利用極限定義的：；例如對于勻加速直線運動：同理計算瞬時加速度。例題精講【例6】 證明xxsin xtan x解析 從圖上直接讀出 ；容易證明 ；于是由夾逼定理，于是?！纠?】 判定下列極限是否存在。如果存在，求出這些極限； 解析 1、（有人類比得到 5）2、3、 有界，而趨于無窮，所以4、5、【例8】 說明下列極限是否存在，如果存在計算下列極限（自學(xué)）；解析 1、 2、【例9】 某物體在

11、做直線運動，運動方程為，求其速度與加速度隨時間的關(guān)系解析 第三部分 導(dǎo)數(shù)知識點睛1 導(dǎo)數(shù)的引入觀察平均速度的定義：。瞬時速度是上面式子時間差趨于0的結(jié)果?？梢娝矔r速度并不是近似值，而是通過極限能獲得嚴(yán)格定義的。我們把這樣的極限叫做位移隨著時間的導(dǎo)數(shù)：。注意導(dǎo)數(shù)不是和乘法和除法一樣的二元函數(shù)，而是反映了函數(shù)值隨著自變量的變化關(guān)系。一個物理量隨著另一個物理量的變化率也經(jīng)常是一個物理量。例如初中學(xué)過的兩個公式：；。前一個公式當(dāng)讓是時刻成立的，即使和隨時間變化，計算出來的量就是當(dāng)前時刻的電流值；然而如果把相同的想法放到第二個公式結(jié)果就荒謬了。只有當(dāng)電流不變的時候才正確。因為第一個方式是瞬時的方程，第二

12、個方程描述的一個過程，算出來的是平均值。只有當(dāng)?shù)臅r候，結(jié)果才是某一時刻的電流。像第二個這樣的方程里面的除法，實質(zhì)上是需要取極限，變成求導(dǎo)數(shù)。從這個意義上講，導(dǎo)數(shù)擴(kuò)展了物理量的定義，例如：加速度是速度隨時間的導(dǎo)數(shù) ；物體受到的合外力等于動量的隨時間導(dǎo)數(shù) ；力等于其做功隨位移的變化率 。2 導(dǎo)數(shù)的定義觀察函數(shù)上的兩個點和。連接這兩個點得到函數(shù)的一條割線。割線的斜率是。當(dāng)趨于0時，割線也就趨近于切線。于是我們得到函數(shù)上一點切線斜率的公式：如果這個極限存在，也就表明函數(shù)在這一點的切線能唯一確定。顯然切線的斜率是切點橫坐標(biāo)的函數(shù)。我們叫這樣的函數(shù)叫做原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。記號：當(dāng)上面取極限的方式是從

13、右邊趨于0時，得到的導(dǎo)數(shù)叫做右導(dǎo)數(shù)，從左邊趨于0時，得到的導(dǎo)數(shù)叫左導(dǎo)數(shù)。“正?！钡暮瘮?shù)（由初等函數(shù)構(gòu)成，連續(xù)，沒有發(fā)散）左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)。一些常見的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以直接按定義計算。多項式：我們不加證明的給出，函數(shù)有定義的時候，對于任意，三角函數(shù)：同理指數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)作為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，其切線的斜率等于指數(shù)函數(shù)的切線的倒數(shù)。指數(shù)函數(shù)在（）點的斜率為，所以對數(shù)函數(shù)在（）點斜率為原來的縱坐標(biāo)的倒數(shù)，即現(xiàn)在橫坐標(biāo)的倒數(shù)，所以以上是一些初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，大家務(wù)必牢記。3求導(dǎo)法則3.1加法的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的加法。3.2 求導(dǎo)數(shù)：記憶：乘法的導(dǎo)數(shù)等于第一個導(dǎo)數(shù)乘以第二個+第二個導(dǎo)數(shù)乘以第一個推論

14、記憶：除法的導(dǎo)數(shù) 等于分母不動乘以分子導(dǎo)數(shù)減去分子不動乘以分母導(dǎo)數(shù)，再除以分母平方。3.3 求導(dǎo)數(shù)：記憶：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，兩個函數(shù)分別求導(dǎo)數(shù)再相乘。不論多復(fù)雜的函數(shù)的初等函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)都可以利用上面的求導(dǎo)法則進(jìn)行計算。從這個意義上講，是沒有求導(dǎo)我們不會計算的?！纠?0】 計算下面導(dǎo)數(shù)。各函數(shù)自變量均在定義域內(nèi)。； 解析 略【例11】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（自學(xué)）；解析1、2、3、4、5、6、【例12】 計算下面導(dǎo)數(shù)。各函數(shù)自變量均在定義域內(nèi)。（自學(xué)）；解析1、 2、解法A ；解法B 體會換元的想法令則；3、體會原函數(shù)和反函數(shù)的斜率互為倒數(shù)；4、【例13】 一個物體作半徑為，角速度的逆時針勻速圓

15、周運動。取圓心作為原點，初始位置狀態(tài)在x軸上，寫出x,y方向的位移與時間關(guān)系。通過求導(dǎo)數(shù)得到速度、加速度與時間關(guān)系，并于之前學(xué)圓周運動的時候的結(jié)論進(jìn)行比較。xy0 解析 ，；解釋：速度大小，沿著切向；解釋：加速度大小，沿著法向指向圓心。【例14】 物理受到的合力等于其動量隨時間的變化率。以前學(xué)的連續(xù)體受力問題可以用這樣辦法處理。（09清華自主招生）一質(zhì)量為、長為的柔軟繩自由懸垂，下端恰與一臺秤秤盤接觸（如圖）某時刻放開柔軟繩上端，求臺秤的最大讀數(shù)【解析】首先分析繩子內(nèi)部無相無作用（可以通過繩子參照系觀察，證明每一點相對地面自由落體）得到；于是得到繩子整體的動量：繩子受力為于是得到支持力為【例1

16、5】 證明拋物線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過拋物面鏡面反射后變成平行光。已知拋物線方程：，焦點，；解析 先假設(shè)結(jié)論正確，驗證反射定律即可對于拋物線上一點，切線斜率為，所以法線斜率為所以法線與出射光線夾角正切為從焦點到直線斜率為，則入射光線與出射光線夾角正切為，反射定律成立。第四部分 導(dǎo)數(shù)在運動學(xué)中的應(yīng)用知識點睛如果能寫出一個物體的位移隨時間關(guān)系，那么直接求導(dǎo)數(shù)就可以得到速度和加速的。受到幾何條件約束的物體，各個參數(shù)要滿足幾何條件帶來的約束方程。這種情境下各參數(shù)的變化率也會滿足約束關(guān)系。我們之前總結(jié)了幾種常見模型：接觸、滾動、一根桿上兩點，并給出了這些模型中的速度和加速度的約束關(guān)系。實質(zhì)上速度約束關(guān)系

17、是由位移約束關(guān)系求導(dǎo)得到的，加速度約束關(guān)系是由速度約束關(guān)系求導(dǎo)數(shù)得到的。在處理實際問題的時候，直接寫我們總結(jié)的模型中的速度加速度約束關(guān)系和寫出位移約束關(guān)系然后求導(dǎo)數(shù)是完全等價的。如果模型比較復(fù)雜，或者拿不準(zhǔn)用哪個模型，可以考慮用后一種方法來做?！纠?6】 如圖一根桿以速度勻速向下運動，通過一個靜止的半徑為圓。求桿和圓的右邊交點的速度和加速度。（交點與圓心連線位置為）解析 首先用以前的速度、加速關(guān)聯(lián)求解一遍。用求導(dǎo)辦法解決這類問題通常先選一個方便的變量例如，用來和的導(dǎo)數(shù)描述其他所有變量。以圓心為原點建立平面直角坐標(biāo)系。交點的坐標(biāo)縱坐標(biāo)為。有；交點的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)為：；即求出了速度；【例17】 如圖

18、一長度為桿鉸接在點，第二根桿長度也為，鉸接在第一根桿末端的點，第二根桿搭在墻壁上。如圖兩根桿位型如圖所示。以角速度順時針勻速轉(zhuǎn)動。問墻上點的速度。BAO【解析】首先用以前的速度、加速關(guān)聯(lián)求解一遍。按題意，所以需要把用表示。點縱坐標(biāo)為 點橫坐標(biāo)為約束條件是墻不能動，所以；于是點速度（取向上為正）鞏固練習(xí)1.（清華自主2011）一根水平桿固定，另一根桿以均勻角速度繞著與第一根桿距離為的點順時針旋轉(zhuǎn)。問交點加速度。D解析交點橫坐標(biāo)，按定義則2.寫出斜拋運動的運動方程，通過求導(dǎo)得到速度和加速度隨時間關(guān)系。（選做）證明橢圓一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓圓周反射后會到達(dá)另一個焦點。橢圓方程：；焦點：學(xué)而思快訊

19、日前，高校自主招生考試已經(jīng)落下帷幕。物理方面，據(jù)不完全統(tǒng)計，學(xué)而思命中華約北約原題4道，其中華約2題，北約2題。此4題全是出現(xiàn)在學(xué)而思自主招生講義中的原題。同時學(xué)而思物理競賽班高一高二的講義完全覆蓋華約北約原題。各位競賽班的“小妖怪”們，發(fā)達(dá)了你知道嗎?微積分誕生極限的產(chǎn)生公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的莊子一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小

20、，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。微積分產(chǎn)生到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國

21、的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。牛頓牛頓在1671年寫了流數(shù)法和無窮級數(shù)，這本

22、書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。萊布尼茨德國的萊布尼茨是一個博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算。就是這樣一篇說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時萊布尼茨精心選用的。微積分學(xué)的創(chuàng)立的意義微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后