工程力學(xué)第16章(壓桿穩(wěn)定問題)

1、第十六章第十六章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 16-1 16-1 穩(wěn)定性概念穩(wěn)定性概念 足夠的強(qiáng)度足夠的強(qiáng)度 足夠的穩(wěn)定性足夠的穩(wěn)定性 足夠的剛度足夠的剛度構(gòu)件抵抗破壞的能力構(gòu)件抵抗破壞的能力構(gòu)件抵抗變形的能力構(gòu)件抵抗變形的能力構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力一、穩(wěn)定失效實(shí)例一、穩(wěn)定失效實(shí)例壓桿穩(wěn)壓桿穩(wěn)定失效定失效二、平衡的穩(wěn)定性二、平衡的穩(wěn)定性 非穩(wěn)定的平衡非穩(wěn)定的平衡穩(wěn)定的平衡穩(wěn)定的平衡三、壓桿的穩(wěn)定性問題三、壓桿的穩(wěn)定性問題 壓桿平衡穩(wěn)定壓桿平衡穩(wěn)定 當(dāng)壓力小于某值，當(dāng)壓力小于某值，壓桿保持直線平衡，在壓桿保持直線平衡，在任意小的擾動(dòng)下，壓桿任意小的擾動(dòng)下，壓桿偏離直線平衡位置

2、。但偏離直線平衡位置。但當(dāng)擾動(dòng)除去后，壓桿回當(dāng)擾動(dòng)除去后，壓桿回到原來(lái)直線平衡位置。到原來(lái)直線平衡位置。 壓力小于一定的數(shù)壓力小于一定的數(shù)值時(shí)，壓桿的直線平衡值時(shí)，壓桿的直線平衡是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。壓桿平衡非穩(wěn)定壓桿平衡非穩(wěn)定 當(dāng)壓力達(dá)到一定數(shù)值，當(dāng)壓力達(dá)到一定數(shù)值，壓桿仍具有直線平衡方式；壓桿仍具有直線平衡方式；在外界擾動(dòng)下，壓桿偏離直在外界擾動(dòng)下，壓桿偏離直線平衡位置，但當(dāng)擾動(dòng)除去線平衡位置，但當(dāng)擾動(dòng)除去后，在某一彎曲狀態(tài)下達(dá)到后，在某一彎曲狀態(tài)下達(dá)到新的平衡新的平衡 壓力達(dá)到一定的數(shù)值時(shí)，壓力達(dá)到一定的數(shù)值時(shí)，壓桿存在直線和彎曲兩種平壓桿存在直線和彎曲兩種平衡形式，壓桿的直線平衡是衡形式

3、，壓桿的直線平衡是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定的。 當(dāng)壓力超過某一數(shù)當(dāng)壓力超過某一數(shù)值，壓桿直線平衡形式值，壓桿直線平衡形式突然轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢问?，突然轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢问?，致使?gòu)件喪失正常功能致使構(gòu)件喪失正常功能壓桿失穩(wěn)壓桿失穩(wěn)FFcr FFcr FFcr Fcr為穩(wěn)定直線平衡狀態(tài)的最高載荷，彎曲平衡狀為穩(wěn)定直線平衡狀態(tài)的最高載荷，彎曲平衡狀態(tài)的最低載荷，即壓桿失穩(wěn)的臨界載荷。態(tài)的最低載荷，即壓桿失穩(wěn)的臨界載荷。壓桿失穩(wěn)：壓桿不能保持其直線平衡形態(tài)而變彎的現(xiàn)象。壓桿失穩(wěn)：壓桿不能保持其直線平衡形態(tài)而變彎的現(xiàn)象。一、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷一、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷 彎矩方程彎矩方程 ( )( )M xF w

4、 x 壓桿撓曲軸近似微分方程壓桿撓曲軸近似微分方程 22d( )( )dw xM xxEI FxlF16-2 16-2 臨界載荷的歐拉公式臨界載荷的歐拉公式 細(xì)長(zhǎng)壓桿在臨界載荷作用處于不穩(wěn)定的直線形態(tài)，細(xì)長(zhǎng)壓桿在臨界載荷作用處于不穩(wěn)定的直線形態(tài)，但其材料處于線彈性范圍內(nèi)。但其材料處于線彈性范圍內(nèi)。 線彈性穩(wěn)定問題線彈性穩(wěn)定問題思路：壓桿在微彎時(shí)的最小壓力思路：壓桿在微彎時(shí)的最小壓力Fmin = Fcr。方程一般解方程一般解 ( )sincosw xAkxBkx 邊界條件邊界條件0 x (0)010wAB xl ( )sincos0w lAklBkl 0B sin0kl 解得：解得： （為什么（

5、為什么A 、B 不能同時(shí)等于不能同時(shí)等于0 ？）？）設(shè)設(shè)2FkEI 222d( )( )0dw xk w xx( )( )M xF w x 22d( )( )dw xM xxEI FxlFsin0kl kln 222(1,2,.)nEIFnl 由于臨界載荷是由于臨界載荷是F 的最小值，所以取的最小值，所以取n = 12mincr2EIFl 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷 當(dāng)截面對(duì)不同方向彎曲中性軸的慣性矩不一樣當(dāng)截面對(duì)不同方向彎曲中性軸的慣性矩不一樣時(shí)應(yīng)取時(shí)應(yīng)取I Iminmin的方向計(jì)算。的方向計(jì)算。 二、兩端非鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷二、兩端非鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷 支

6、承對(duì)壓桿臨界載荷的影響表現(xiàn)為確定常數(shù)所支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響表現(xiàn)為確定常數(shù)所用邊界條件不一樣。用邊界條件不一樣。2cr2()EIFl l相當(dāng)長(zhǎng)度相當(dāng)長(zhǎng)度桿端約束條件桿端約束條件長(zhǎng)度系數(shù)長(zhǎng)度系數(shù)兩端鉸支兩端鉸支1.0一端固定一端自由一端固定一端自由2.0兩端固定兩端固定0.5一端固定一端鉸支一端固定一端鉸支0.72cr2()EIFl 例：兩端鉸支壓桿如圖，桿的直徑例：兩端鉸支壓桿如圖，桿的直徑d = 20mm ，長(zhǎng)度，長(zhǎng)度l = 800mm ，材料為材料為Q235鋼，。求壓桿的臨界載荷。鋼，。求壓桿的臨界載荷。 解：根據(jù)歐拉公式解：根據(jù)歐拉公式 此時(shí)橫截面上的正應(yīng)力此時(shí)橫截面上的正應(yīng)力 234

7、39412cr222200 10201024.2kN()64 ()64 (1 0.8)EIEdFll 3cr26424.2 1077MPa2010PFA 表明壓桿處于線彈性范圍，所以用歐拉公式計(jì)算無(wú)誤。表明壓桿處于線彈性范圍，所以用歐拉公式計(jì)算無(wú)誤。 16-3 16-3 臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖 一、臨界應(yīng)力與柔度一、臨界應(yīng)力與柔度 1.1.臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力 壓桿處于各種臨界狀態(tài)時(shí)橫截面上的平均應(yīng)力壓桿處于各種臨界狀態(tài)時(shí)橫截面上的平均應(yīng)力 crcrFA 2.2.柔度柔度 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿 22crcr22()FEIEAlA 柔度柔度 li IiA （截面對(duì)彎曲中性軸的慣

8、性半徑）（截面對(duì)彎曲中性軸的慣性半徑）IiA （截面對(duì)彎曲中性軸的慣性半徑）（截面對(duì)彎曲中性軸的慣性半徑）圓截面：圓截面：矩形截面：矩形截面：42/64/44IddiAd 3min/122 3IhbbiAbh 二、三類不同壓桿及其臨界應(yīng)力表達(dá)式二、三類不同壓桿及其臨界應(yīng)力表達(dá)式 1.1.大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)桿）大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)桿） 在線彈性范圍內(nèi)失穩(wěn)，臨界應(yīng)力采用歐拉公式計(jì)算。在線彈性范圍內(nèi)失穩(wěn)，臨界應(yīng)力采用歐拉公式計(jì)算。 2cr2E 2PE 大柔度桿：大柔度桿：2cr2E P 2PPE P P 2.2.中柔度桿（中長(zhǎng)桿）中柔度桿（中長(zhǎng)桿） 中柔度桿發(fā)生彈塑性失穩(wěn)，歐拉公式不適用。臨中柔度桿發(fā)生彈塑性

9、失穩(wěn)，歐拉公式不適用。臨界應(yīng)力一般采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。界應(yīng)力一般采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。 直線經(jīng)驗(yàn)公式直線經(jīng)驗(yàn)公式 crab ( (a 、b是是與材料性質(zhì)有關(guān)的與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，可查閱有關(guān)工程手冊(cè)常數(shù)，可查閱有關(guān)工程手冊(cè)) )crab sab s crab ssab sPs 中柔度桿中柔度桿3.3.小柔度桿（粗短桿）小柔度桿（粗短桿） 小柔度桿發(fā)生屈服（塑性材料）或斷裂（脆性材小柔度桿發(fā)生屈服（塑性材料）或斷裂（脆性材料），臨界應(yīng)力料），臨界應(yīng)力 scrb （塑性材料）（塑性材料） （脆性材料）（脆性材料） s() 拋物線公式拋物線公式 2cr11abP(0) ( (a1 、b1是是與材料性質(zhì)有關(guān)

10、的常數(shù)，可查閱有與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，可查閱有關(guān)工程手冊(cè)關(guān)工程手冊(cè)) )三、臨界應(yīng)力總圖三、臨界應(yīng)力總圖 例：圖所示壓桿，其直徑均為例：圖所示壓桿，其直徑均為d ，材料都是，材料都是Q235，但二者，但二者的長(zhǎng)度和約束都不同。的長(zhǎng)度和約束都不同。 分析哪一根桿的臨界載荷較大。分析哪一根桿的臨界載荷較大。 若若d = 160mm ，E = 205GPa ，計(jì)算二桿的臨界載荷。，計(jì)算二桿的臨界載荷。 解：解： 計(jì)算柔度，判斷臨界應(yīng)力大者計(jì)算柔度，判斷臨界應(yīng)力大者 圓截面圓截面 4di 兩端鉸支約束的壓桿兩端鉸支約束的壓桿 11 1 1120lid 兩端固支約束的壓桿兩端固支約束的壓桿 20.5 2

11、 2218lid 所以兩端固支的壓桿具有較大的臨界壓力。所以兩端固支的壓桿具有較大的臨界壓力。2cr2E 12cr1cr2 計(jì)算給定參數(shù)下壓桿的臨界載荷計(jì)算給定參數(shù)下壓桿的臨界載荷 兩端鉸支約束的壓桿兩端鉸支約束的壓桿 1P32020125101160 10d 屬于大柔度桿，歐拉公式計(jì)算臨界載荷屬于大柔度桿，歐拉公式計(jì)算臨界載荷 2293cr1cr1221205 10160 102600kN1254EFAA 兩端固支約束的壓桿兩端固支約束的壓桿 2P31818112.5160 10d .22926cr2cr2222205 10160103210kN112 54EFAA 屬于大柔度桿，歐拉公式計(jì)

12、算臨界載荷屬于大柔度桿，歐拉公式計(jì)算臨界載荷 例：例：Q235 鋼制成的矩形截面桿的受力及兩端約束狀況如圖鋼制成的矩形截面桿的受力及兩端約束狀況如圖所示，其中所示，其中a 為為正視圖，正視圖，b 為俯視圖。在二處用螺栓夾緊。已知為俯視圖。在二處用螺栓夾緊。已知l = 2.3m ，b = 40mm ，h = 60mm ，材料的彈性模量，材料的彈性模量E = 205GPa ，求此桿的臨界載荷。，求此桿的臨界載荷。 解：在正視圖平面（解：在正視圖平面（xy 平面）內(nèi)失穩(wěn)，平面）內(nèi)失穩(wěn)，A 、B 處可處可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，即兩端為鉸鏈約自由轉(zhuǎn)動(dòng)，即兩端為鉸鏈約束束 1 3/122 3zzIbhhiAbh31

13、2.3 2 3132.860 10zzli 在俯視圖平面（在俯視圖平面（xz 平面）內(nèi)失穩(wěn)，平面）內(nèi)失穩(wěn)，A 、B 處不可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，即處不可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，即兩端為固定約束兩端為固定約束 0.5 3/122 3yyIhbbiAbh30.52.32 399.640 10yyli zy 壓桿在正視圖平面內(nèi)失穩(wěn)定壓桿在正視圖平面內(nèi)失穩(wěn)定 P132.8z屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷 2296crcr22205 1040 60 10275kN132.8zEFAbh 16-4 16-4 壓桿穩(wěn)定條件與計(jì)算壓桿穩(wěn)定條件與計(jì)算 一、壓桿穩(wěn)定條件一、壓桿穩(wěn)定條件 crsts

14、tFFFn crststn 二、安全因數(shù)法二、安全因數(shù)法 工作安全因數(shù)工作安全因數(shù) 壓桿安全工作條件壓桿安全工作條件 crcrFnF stnn 三、折減因數(shù)法三、折減因數(shù)法 crststn 壓桿安全工作條件壓桿安全工作條件 st 穩(wěn)定安全因素穩(wěn)定安全因素折減因素折減因素 st 例：由例：由Q235鋼制成的壓桿，兩端鉸支，其屈服強(qiáng)度鋼制成的壓桿，兩端鉸支，其屈服強(qiáng)度s = 235MPa ，比例極限，比例極限P = 200MPa ，彈性模量，彈性模量E=200GPaE=200GPa，桿長(zhǎng)桿長(zhǎng)l = 700mm ，截面直徑，截面直徑d = 45mm ，桿承受，桿承受Fmax = 100kN。穩(wěn)定安全

15、因數(shù)。穩(wěn)定安全因數(shù)nst = 2.5。試校核此桿的穩(wěn)定性。試校核此桿的穩(wěn)定性。 解：解： 計(jì)算壓桿柔度計(jì)算壓桿柔度 11.25mm4di 兩端為鉸鏈約束兩端為鉸鏈約束 1 31 0.762.211.25 10li 229P6P200 10100200 10E ss30423561.61.12ab sP壓桿屬于中柔度桿，臨界應(yīng)力采用直線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算壓桿屬于中柔度桿，臨界應(yīng)力采用直線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算 62.2 P100 計(jì)算臨界載荷計(jì)算臨界載荷cr3041.12 62.2234.34MPaab 2266crcrcr4510234.34 10372.7kN44dFA 校核壓桿穩(wěn)定性校核壓桿穩(wěn)定性 crs

16、tNmax372.73.7100FnnF所以壓桿的穩(wěn)定性是安全的。所以壓桿的穩(wěn)定性是安全的。 例：鋼柱長(zhǎng)為例：鋼柱長(zhǎng)為l = 7m ，兩端固定，材料是，兩端固定，材料是Q235鋼，鋼，規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù)規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù)nst = 3 ，橫截面由兩個(gè)，橫截面由兩個(gè)10號(hào)槽鋼組成號(hào)槽鋼組成。已知。已知E = 200GPa ，試求當(dāng)兩槽鋼靠緊和離開時(shí)鋼柱的，試求當(dāng)兩槽鋼靠緊和離開時(shí)鋼柱的許可載荷。許可載荷。 解：解： 兩槽鋼靠緊兩槽鋼靠緊 查型鋼表得查型鋼表得 22 12.7425.48cmA 4min2 54.9109.8cmyII min109.82.08cm25.48yyIiiA兩端固定兩端固定

17、 0.5 20.5 71682.08 10yli P P168 鋼柱屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷鋼柱屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷 2294crcr22200 1025.48 10181.8kN168EFAA 鋼柱的許可載荷鋼柱的許可載荷 cr1st181.860.6kN3FFn 兩槽鋼離開兩槽鋼離開 查型鋼表查型鋼表 22 12.7425.48cmA 42 198.3396.6cmxI 396.63.95cm25.48xxIiA 242 (25.63.0212.74)285cmyI min3.32cmyii2853.32cm25.48yyIiA4min285cmyII兩端固定兩

18、端固定 0.5 20.5 7105.53.32 10yli 鋼柱屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷鋼柱屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷 2294crcr22200 1025.48 10473kN105.5EFAA 鋼柱的許可載荷鋼柱的許可載荷 cr2st473157.7kN3FFn P 例：圖所示結(jié)構(gòu)中，梁例：圖所示結(jié)構(gòu)中，梁AB 為為No.14 普通熱軋工字鋼，支承的普通熱軋工字鋼，支承的桿直徑桿直徑d = 20mm ，二者的材料均為，二者的材料均為Q235鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，A 、B 、C 三處均為球鉸約束。已知三處均為球鉸約束。已知F = 25kN ，l1

19、= 1.25m ，l2 = 0.55m ，E = 206GPa 。規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù)。規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù)nst = 2.0 ，梁的許用應(yīng)力，梁的許用應(yīng)力 = 170MPa 。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全。 解：解： 梁的強(qiáng)度校核（拉伸與彎曲的組合）梁的強(qiáng)度校核（拉伸與彎曲的組合） 經(jīng)過分析，經(jīng)過分析，AB 的危險(xiǎn)截面為的危險(xiǎn)截面為C 截面截面 oNcos3025 0.86621.65kNFF o1sin30250.5 1.2515.63kN myMFl 查型鋼表查型鋼表 63102 10 myW 4221.5 10 mA 33Nmax4621.65 1015.63 10163MPa2

20、1.5 10102 10yyMFAW 所以所以AB 梁是安全的。梁是安全的。 壓桿壓桿CD 的安全校核的安全校核 由平衡條件可求得壓桿由平衡條件可求得壓桿CD 所受力所受力 oNCD2sin3025kNFF 205mm44ydi 壓桿壓桿CD 屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷 22926crcr22206 10201052.8kN1104EFAA crstNCD52.82.1125FnnF所以壓桿所以壓桿CD 是安全的。是安全的。 P31 0.551105 10yli 例：圖所示壓桿，兩端為球鉸約束，桿長(zhǎng)例：圖所示壓桿，兩端為球鉸約束，桿長(zhǎng)l = 2.4m ，桿由兩，桿由兩根根12512512 的等邊角鋼鉚接而成。鉚釘孔直徑為的等邊角鋼鉚接而成。鉚釘孔直徑為23mm 。若。若壓桿承受軸向壓力壓桿承受軸向壓力F