第三章向量代數(shù)與幾何應(yīng)用

1、第三章第三章 向量代數(shù)與幾何應(yīng)用向量代數(shù)與幾何應(yīng)用3.1 向量的線性運(yùn)算與空間直角坐標(biāo)系3.2 向量的內(nèi)積、外積與混合積3.3 空間平面及其方程3.4 空間直線及其方程3.1 向量的線性運(yùn)算與空間直角坐標(biāo)系向量的線性運(yùn)算與空間直角坐標(biāo)系1. 向量的基本概念向量的基本概念, , , , , , , a b ca b caa 既有大小又有方向的量稱為向量（或矢量）。向量通常用表示。向量的大小也稱為向量的長(zhǎng)度。向量 的長(zhǎng)度記作。ABa ABABABAB 起點(diǎn)：終點(diǎn)：方向：從 到也表示為：長(zhǎng)度：?jiǎn)挝幌蛄繂挝幌蛄浚洪L(zhǎng)度為1的向量。零向量零向量： 長(zhǎng)度為0的向量。零向量方向不確定。 0記為自由向量自由向量

2、：不考慮具體位置的向量。自由向量 起點(diǎn)可以任意選取，自由向量可以 任意平行移動(dòng)。 =abab：若兩個(gè)向量 和 的長(zhǎng)度相等且方向 相同，稱為相等的向量。 記為 向向量量相相等等 abab：若將兩個(gè)向量 和 設(shè)置為同一 起點(diǎn)，它們?cè)谕恢本€上，且兩個(gè)向量 的終點(diǎn)位于起點(diǎn)的同（異）側(cè)，則稱兩 個(gè)向量 和 方向相同（反）。向向量量方方向向相相同同 = ababba：若兩個(gè)向量 和 的長(zhǎng)度相等且方向 相反，稱為互為逆向量。 的逆向量是 ，記為 - 逆逆向向量量aa ababab：若兩個(gè)向量 和 所在的直線平行， 稱 和 平行或共線 ，記為 /兩兩向向量量平平行行ab ababab：若兩個(gè)向量 和 所在的

3、直線垂直， 稱 和 垂直垂，記為 直兩兩向向量量ab：若一組向量所在的直線都平行于同一平面， 則稱這組向共量是的向量。面向向量量共共面面abcabc2. 向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算 “”“”abab向量 和 的和記為 ，是按 三角形法則 或 平行四邊形法則 所確定的向量。定定義義1.1:1.1:三角形法則：平行四邊形法則：aba b aba b 當(dāng)多個(gè)向量相加時(shí)，用三角形法則較合適。abcd abcd +(- ababab向量 和 的差定義為向量 )， 記為法 向量減: :abab = , aaaaaa實(shí)數(shù)和向量 的乘積是一個(gè)向量 （數(shù)乘運(yùn)算）, 長(zhǎng)度為 當(dāng) 0 時(shí)其方向與 同向，當(dāng)0 時(shí)其

4、 方向與 反向。定定義義1.2:1.2:a3aa-3a向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。, ,a b c 設(shè) ， 是實(shí)數(shù)，是任意三個(gè)向量。向量的線性運(yùn)算滿足下面的運(yùn)算規(guī)律：1 abba（）2 abcabc（ ）3 0aa（ ）4 0aa （ ）5 aaa （ ）(6) 1 1aaaa 且(7) + = +a bab (8) +aaa abababab：將兩個(gè)向量 和 的起點(diǎn)設(shè)為同一 點(diǎn)， 兩個(gè)向量所在直線的不大于的夾角， 稱為向量 和 的夾角，兩個(gè)向量的夾角記 abbb, cos = cos babaaaaba：若 是非零向量，向量 和 的夾角為 稱數(shù)值為向量在 上得投影。 記為 的

5、向量投影babab c o s bbaaabb投影向量：若 是非零向量，稱為 在 上的投影向量。其向量長(zhǎng)度是ba cosb b abb(1) = aa投影性：對(duì)任意實(shí)數(shù) ，都有質(zhì)ccc(2) + = + abab3. 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 在空間內(nèi)選定一點(diǎn)O作為原點(diǎn)，過O點(diǎn)作三個(gè)兩兩垂直的數(shù)軸，這三個(gè)數(shù)軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，分別表示為 x 軸、y 軸和 z 軸。由原點(diǎn)O與三個(gè)坐標(biāo)軸組成的系統(tǒng)稱為空間直角坐標(biāo)系。分成：右手系， 左手系 , Oxyzxyijkz在坐標(biāo)系中，分別于 軸、 軸和 軸 同向的單位向量叫做這個(gè)坐標(biāo)系的基本 向量，分別用 和基本 。向量 表示: :xyzOi j k .

6、xyzxyzpOPOPpOPxyzpppijkpppp 設(shè) 為空間中任意的向量，將其起點(diǎn)移到原點(diǎn) ，設(shè)終點(diǎn)為 ，則向量 分別在 軸、軸、 軸上的投影為,則有： +向量由基本向表示+量: :xyzOi j kp Pxpypzp xyzxyzxyzpxyzpppppppppp ppp 向量 分別在 軸、 軸、 軸上的投影 ,叫做向量 的坐標(biāo)。, 稱為 的坐標(biāo)表示（或代數(shù)表示）簡(jiǎn)記為,向量的坐標(biāo)表,。示: :xyzO,xyzp ppp xpypzp () xyzxyzPOPpppPP pppP 空間中任意一點(diǎn) ，對(duì)應(yīng)的向量 的坐標(biāo),分別稱為。點(diǎn) 記為點(diǎn)的坐點(diǎn) 的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、標(biāo) ,。坐標(biāo)豎: :x

7、yzO,xyzP pppxpypzp(),() xyzxyzpppqqqPQPQ 起點(diǎn)為終點(diǎn)為的向量的,坐標(biāo),: :xyzO,xyzP pppxxqpyyqpzzqp , xyzxyzOPp ip jp kOQq iq jq k 空間中任一向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)坐標(biāo)與起點(diǎn)坐標(biāo)之差。,xyzQ q qq,xxyyzzrqp qpqp()()()xxyyzzPQOQOPPQqp iqpjqp k 222(), =+ + xyzxyzpppppppp 空間中任意一個(gè)向量 =,其量長(zhǎng)度向?yàn)榈拈L(zhǎng)度: :xyzO,xyzpppp xpypzp (),()( ,)xyzxyzP pppQ qqqd P Q兩點(diǎn)

8、之間的距離空間中任意兩點(diǎn),的距離記為.: :222 ( ,)() +()() xxyyzzd P QPQqpqpqp xyzO,xyzP ppp,xyzQ q qq , , ,pxpppy 向量 的向量 與 軸、 軸、z 軸正向的夾角分別為稱為 的，方向角的余弦cos , cos , cos 稱為向量方向角，方 方向余的弦向角方向余弦。: :xyzO,xyzpppp ( ) ( cos)( cos )ppipjpk =cos+ 222222222 cos cos cos xxxyzyyxyzzzxyzpppppppppppppppppp方：向余弦xyzO,xyzpppp (1,2,0)(2,1

9、,2)(1.1,)PQd P QPQ 求點(diǎn)和點(diǎn)的距離 向量的長(zhǎng)度，方向余弦及例題方向角。 (2 1)(1 2)( 20)PQijk 解：2ijk 222( ,)1( 1)( 2)2d P QPQ 112 cos , cos , cos222 方向余弦：2= = -= =3334 方向角：，3.2 向量的內(nèi)積、外積與混合積向量的內(nèi)積、外積與混合積1. 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積 = cos, = 0 兩個(gè)向量 與 的內(nèi)積記為 ，其是下面定 義的一個(gè)實(shí)數(shù)： 若 與定中有零量，.1向則義2aba ba baba baba b = | |b 若0 ，則有 ba bbababa|b |2 = cos, = 因

10、為得a aaaaaaa aa, = | | |0 co若 且 0 ，s則有 a ba bababba = 0 的充要條件是（內(nèi) 積為0）aa bba , , 1 0 0 對(duì)于任意的向量,以及任意實(shí) 定 數(shù) ，有（）若 ，理1則2.a b caa a2 （ ） a bb a3 ()()() （ ） ababa b4 () （ ） abca cb c4 = 0（ ）：當(dāng) 時(shí)，(4)式顯。證然成立c0() | |()c當(dāng) 時(shí)， cabccab | | ()cc cab | | |cccacb a cb c = , , xyzxyzxyzxyza aab b baaabbb 若 則aba bijkij

11、k + +xxyxzxxyyyzyxzyzzza ba ba ba ba ba ba ba ba b i ij ik ii jj jk ji kj kk k xxyyzza ba ba b i ij jk k xxyyzza ba ba b = xxyyzza ba ba b 兩個(gè)向量的內(nèi)積 向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。 a b2. 向量的外積向量的外積 = sin, , = 0 兩個(gè)向量 與 的外積記為 ，其是一個(gè)向 量，它的長(zhǎng)度規(guī)定為 它的方向規(guī)定為與 均垂直，并且使 成右手系。 若 與 中有定義則.2零向量2，ababababa ba ba b abab ab = 0 的充要條件是與共線。a

12、ba b abab = 與為鄰邊的 平行四邊形的面積aba b , , 1 = 0 對(duì)于任意的向量,以及任意實(shí) 數(shù) ，外積的性質(zhì)有（） 性質(zhì)a b caa2 （ ） abb a3 ()()()（ ） ababab4 () （ ） （）證明略abcacb c 在空間特別要注直角坐標(biāo)系意中，：ijjikjkkjikiikj iijjkk0 xyzOi j k = , , xyzxyzxyzxyza aab b baaabbb 若 則ababijkijk + +xxyxzxxyyyzyxzyzzza ba ba ba ba ba ba ba ba b iijikiijjjkjikjkkk ()()(

13、)yzzyzxxzxyyxa ba ba ba ba ba b abijk xyzzxyabbaab為便于記憶，寫成: ijkba =2 .1 S 設(shè) ， ，求及 例以，為鄰邊的平行四邊形的積2面題aijkbijkabab2-111-11 解：ibkaj2 +3 ijk222S23( 1)14 ab3. 向量的混合積向量的混合積, ( , , )( , ) = (), ( , ) = 0 定 義2.3 三個(gè)向量,的混合積（記為 ） 是一個(gè)數(shù)，規(guī)定為 , 若,中有零向量，則 ,a b ca b ca b cabca b ca b cabcab( , ) = , 混合積的絕對(duì)值,以, 為棱的平行六

14、面的V體體積a b ca b c, ( , , ).( , )( , )( , ) ( , )( , )( , )V 三個(gè)向量,的混合積的絕對(duì)值是以三個(gè)向量為棱的平行六面體的體積可見，。 混合積的絕對(duì)值與向量的次序無 ,關(guān),，a b ca b ca b ca c bb a cb c ac a bc b aabc( , ) = , 混合積的絕對(duì)值,以, 為棱的平行六面的V體體積a b ca b c , , ( , , )0a b ca b c 任意三個(gè)向量 共面的充要條件是 它們的混合積性質(zhì) = , , = ,xyzxyzxyza aab b bc c cabc在空間直角坐標(biāo)系中，若 ， ( ,

15、 , )()xyzxyzaaabbbijka b cabcc 則() ()yzxyxzxyzyzxyxzaaaaaacccbbbbbbijkijk yzxyxzxyzyzxyxzaaaaaacccbbbbbbxyzxyzxyzaaabbbccc ( , , ), ,xyzxyzxyzaaabbbccca b ca b c 當(dāng)有坐標(biāo)時(shí)，計(jì)算混合積的計(jì)算公式： , , , aijbjkcik 如： 110( , , )0112101a b c (2,0,1), (1,2,3),(2,3,1),(32.1,3,)kPABCk當(dāng) 取何值時(shí)，四個(gè)點(diǎn) 例 題共面？ ( 1,2,2), (0,3,0), (

16、1,1,1)PAPBPCk 解：, , , , 0P A B CPA PB PC 點(diǎn)共面的充要條件是 的混合積為122( )0303(1)01111PAPBPCkkk ，得 3.3 空間平面及其方程空間平面及其方程1. 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 與平面垂直的非零向量叫做該平面的法向量法向量。給出法向量和平面上的一個(gè)點(diǎn)，可確定一個(gè)平面。xyzOn0P0000,(,)ABCP xyznijk 設(shè)法向量 平面 上的一點(diǎn)00( , , ), 0P x y zP PP P 設(shè) 上任意點(diǎn)則有 nn000() () 0 () A xxB yyC zz得到平面的點(diǎn)法式方程：xyzOn0PP2. 平面的

17、一般式方程平面的一般式方程 , 0,0AxByCAB CzD 一般式方程： 其中 不全為( , ,)AB Cn其法向量是 0D 當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)在平面上。, ,0A B C當(dāng)中有 時(shí)，平面平行于某對(duì)應(yīng)于系數(shù)為0坐標(biāo)軸（的軸）。 0,0,=0, 0ABCyzxAxD如則平面同時(shí)平行于 軸和 軸；即平面與 軸垂直。 0,0,0,0ABCyAxCzD如 則平面平行于 軸。此時(shí)的平面方程：xyzOnxyzOn(1,0,0)(0,0,1)PQy 求過兩點(diǎn)和且平行于 軸 的平例題3.2面方程。,0yAxCzD 由于平面平行于 軸 平面方程為 解(1,0,0)(0,0,1)0 0PQADACDCD 又因?yàn)槠矫孢^兩

18、點(diǎn)和，將坐標(biāo)代入方程：,0010A CDxz 由于不為 ，則 不為 ，得平面方程： 3. 平面的截距式方程平面的截距式方程 xyzxyz 一個(gè)不過原點(diǎn)的平面與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)、與 軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)這三個(gè)非 零數(shù)，分別稱為該平面在 軸、 軸和截距軸的截距。, , 1 a b cxyzabc設(shè)為平面在三個(gè)軸的截距，平面的截距式方程：xyzOabc4. 平面的三點(diǎn)式方程平面的三點(diǎn)式方程111122223333( ,),(,),(,).P x y zP xyzP xy z可確定一個(gè)平面。設(shè)不共線的不三三點(diǎn)點(diǎn)共線的11213( , , ),P x y zPP PP PP 設(shè)是平面上任意點(diǎn)

19、。由于共面，xyzO1P2P3P11213,=0PP PP PP 的混合積，得三點(diǎn)式平面方程：1112121213131310 xxyyzzxxyyzzxxyyzzP(1,2,3)(2,3,1),(3,1, 1)ABC求過點(diǎn),例 的平面。(1,2,3)(2,3,1),(3,1, 1)123 2 1321 303 11 21 3ABCxyz 過 點(diǎn)解,的平面：1231232 1321 31123 11 21 3214121211(1)(2)(3)6(1)3(3)1424216315xyzxyzxyzxzxz 250 xz平面： 5. 兩平面之間的關(guān)系兩平面之間的關(guān)系兩個(gè)平面之間有三種關(guān)系重合平：

20、，行，相交11111222221111122222 0 0(,), (,)AxB yC zDA xB yC zDn A B CnA B C 設(shè)兩個(gè)平面：則 的法向量的法向量1111122222(1)=ABCDABCD平面與重合1111122222(2)=ABCDABCD平面與平行12111222(3):ABCABC平面與相交(1,1, 1)321Pxyz求過點(diǎn)且與平面 ： 平行 的例題3.3 平面方程。 320 xyzD由于與平面 平面，可設(shè)平面方程為：解 (1,1, 1)2 3220Dxyz 將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，得所求平面方程為同軸平面束同軸平面束經(jīng)過同一條直線的所有平面同軸的集合叫平面束。1

21、111122222120 :0 AxB yC zDLA xB yC zD直線和是經(jīng)過直線L的兩個(gè)平面。11111222221212 0 AxB yC zDA xB yC zD平面束的方程（即平面束中任何平面的方程）：（） （）其中， 和是兩個(gè)任意不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)。給定 和 ，就確定了平面束中的一個(gè)平面(-1,0,1)30 10Pxyzxyz 求過點(diǎn)且經(jīng)過兩個(gè)平面 和 的交線的例平題3.4 面方程。12 (3 - )+( -1)=0 xy zx yz由于所求平面與兩個(gè)已知平面均為同軸平面束 中的平面，可設(shè)所求平面方程為：解 12( 1,0,1)( 1 3 0 1)( 1 0 1 1)0P 將代入

22、：21211(3 - )+2( -1)=0 320 xy zx yzxyz得所求平面方程 3.4 空間直線及其方程空間直線及其方程1. 直線的點(diǎn)向式方程直線的點(diǎn)向式方程直線的方向 向 與直線平行的非零向量叫做。它的三個(gè)坐標(biāo)稱為量直線的方向向量方向數(shù)。直線直線 l方向向量方向向量0000(,)smin jpkP xyz設(shè)方向向量 直線上點(diǎn) 0P0000( , , ) / / P x y zP Psxxyyzzmnp對(duì)直線上任意點(diǎn) 由于得到直線的點(diǎn)向式方程（對(duì)稱式方程）000 xxyyzzmnp由直線的對(duì)稱式方程 ( )= tt令是任意實(shí)數(shù)000 xxmyynzzttptt得到這是直線的參數(shù)式方程

23、，其中 為參數(shù)11112222111212121( ,)(,) P x y zP xyzxxyyzzxxyyzz給定直線上相異的兩點(diǎn)和這是直線的兩點(diǎn)式方程(2,0, 3 )(1,2,3)sP求方向向量且過點(diǎn)例的直線方程。123 20 3 xyz直線的對(duì)稱解式方程為, ,02200m n pyyy當(dāng)方向數(shù)有 時(shí)，形式上仍用對(duì)稱式表示直線方程。此時(shí)，相當(dāng)于即直線與 軸垂直。2. 直線的一般式方程直線的一般式方程1211111222221112220 0 :A xB yC zDA xB yC zDABCABC兩個(gè)相交的平面和，相交部分是直線其中，這個(gè)直線的一方程稱為般式方程12l直線0 22xyzx

24、yz將直線的一般式方程 化為對(duì)例題4.3 稱式方程。由于直線的對(duì)稱式方程是點(diǎn)向式方程，先求 直線上一點(diǎn)。令 z解 =0,得：01 21(1,1,0)xyxxyy因此點(diǎn)是直線上一點(diǎn)。12,0(1, 1,1),22(1,1, 2)sxyznxyzn 設(shè)所求直線的方向向量平面的法向量平面的法向量1212 , , 111 =32112snsnijksnnijk 由于取11 132xyz因此，所求直線對(duì)稱式方程為3. 直線與平面之間的關(guān)系直線與平面之間的關(guān)系000: ( , , ): 0 ( , ,)lxxyyzzls m n pmnpAxByCzDn A B C一條直線 和一個(gè)平面 ：方向向量法向量0

25、00000(1) (,) 0 0lsnxyzmAnBpCAxByCzD直線 在平面 上且 點(diǎn)在 上且sn0000P (,)xyz0000000 (2) (,) 0 lsnxyzmAnBpCAxByCzD直線 與平面 平行且 點(diǎn)不在 上且sn0000P (,)xyz(3) 0mAnBlsnpC直線 與平面 相交與 不垂直ns(4) lsABCnmnp直線 與平面 垂直 / ns4. 兩直線之間的關(guān)系兩直線之間的關(guān)系1211111111111111112222222222222222(,): ( ,)(,): (,)lls m n pxxyyzzlmnplP x y zs m npxxyyzzlm

26、nplP xyz 兩條直線 和 ：方向向量直線 上一點(diǎn)方向向量直線 上一點(diǎn)1P1l1111(,)s m n p2P2l2222(,)s m np 111222122121211212(1) / / :():():( )mnllssPPpmnpxxyyzz 直線 與直線 重合 / 1P1l1111(,)s m n p2P2l2222(,)s m np 111221212221212112(2) :():():( )mnpmnpxxllysPysPzz 直線 與直線 平行 / 且不平行于1P1l1111(,)s m n p2P2l2222(,)s m np 11122211122221212121

27、212112(3) , 0 : : :llssPPsmnpmnpmnpmnpzzsxxyy 直線 與直線 相交 ，共面且 ， 不平行且 1P1l1111(,)s m n p2P2l2222(,)s m np 121212111222212121(4) , 0 llssPPmnpmnpxxyyzz 直線 與直線 異面 ，不共面1P1l1111(,)s m n p2P2l2222(,)s m np 1212121:12121 :22xyzlxyzlllrt設(shè)兩條直線分別為 對(duì)r和t加以討論，分例題析 和 的相4.4 對(duì)位置。111222(1,-2,1)(-1,2,1).( ,2, 1)(2, ,

28、2)lPslP rst 直線 過點(diǎn)且其方向向量 直線 過點(diǎn)且其方向向量解 1212121,22(3)(4)142s s PPtrtr 混合積121212121(1) 3,4(,)=22142,rts sPPtrl l 當(dāng)時(shí)，混合積0, 此時(shí)，異面。121212(2) 4( 1) :( 2) (1): 4 :( 2)=,trRtrPPl l 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意 ,都有 :2:1 2: 即 s /s 且不平行于 . 此時(shí)，平行。121212121212(3) 34( 1) :( 2) (,)=0 , ,rtts sPPPPl l 當(dāng)且時(shí)，有 :2:1 2:， 即 s 不平行于s 且 s ， s共面. 此

29、時(shí)，相交。1212121212(4) =20,=23,2,3,tl ltrl ltrl l 當(dāng)時(shí)，有內(nèi)積 ss 即 s 垂直于s ，此時(shí)，垂直。 （分兩種情形： 當(dāng)，時(shí)，共面相交垂直； 當(dāng)時(shí)，異面垂直。）5. 直線和平面相互間的夾角直線和平面相互間的夾角1212121212(1) ,min ,- 2 cosllsslls ss s 直線與直線之間的夾角： 設(shè)直線 和 的方向向量 和 的夾角是把稱為直線 和 的夾角。0顯然有1l1111(,)s m n p2l2222(,)s m np 1212121212(2) ,min ,- 2 cosnnn nn n 平面與平面之間的夾角： 設(shè)平面和的法向

30、量 和 的夾角是把稱為平面和的夾角。0顯然有121 n2 n1 n1112111111(3) ,min ,22 sincos min ,lsnls ns n 直線與平面之間的夾角： 設(shè)直線 的方向向量 和平面 的法向量 的夾角是把稱為直線 和平面 的夾角。0顯然有1n1s1n1s1l1l121 :23121 4.5 xyzlxyz求直線與平面例的夾角題n sl222222(-1,2,1)(1,1,2)( 1) 12 1 1 21sin2( 1)21112lsnsnsn ：直線 的方向向量，平面 的法向量解6 =6. 距離距離00001111100(1) (,),( ,)( , )(, )P xyzP x y zsl P