《復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》

1、1.2.2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)整理ppt基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=e ，則f(x)=e若f(x)=e ，則

2、f(x)=e1 1若f(x)=log x，則f(x)=若f(x)=log x，則f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，則f(x)=若f(x)=lnx，則f(x)=x x復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：整理ppt導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1?( )g x( )( )( )( )f xg xf xg x( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg xcf(x)= Cf(x)(c為常數(shù)為常數(shù))2( )?( )g xgx復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1). 求函數(shù)求函數(shù)y=(3x-2)

3、2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 2).如何求函數(shù)如何求函數(shù)y=ln(x+2)的導(dǎo)數(shù)呢？的導(dǎo)數(shù)呢？把平方式展開把平方式展開,利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo).是否還有用其它的辦法求導(dǎo)呢是否還有用其它的辦法求導(dǎo)呢?想一想想一想 ?探探 究：究：二、新課二、新課復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.復(fù)合函數(shù)的概念復(fù)合函數(shù)的概念:對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(u)和和u=g(x),如果通過(guò)變量如果通過(guò)變量u,y可以示可以示成成x的函數(shù)的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f (u)和和u=g(x)的的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù). 記作記作y=f(g(x) 函函 數(shù)數(shù)內(nèi)層函數(shù)內(nèi)層函數(shù) 外層函數(shù)外層函數(shù)

4、 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)定義域定義域值值 域域u=g(x)y=f(u)y=f(g(x)xAUDUDyBxAyB問(wèn)題問(wèn)題1:指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：)()sin()1 11 12 2n nm my ya ab bx xy yx xx x),1 1m mn ny yu uu ua ab bx x)sin,1 12 2y yu uu ux xx x解解:log ()ln)2 22 22 23 33 33 32 24 43 3x xx xx xy ye ey y)ln,3 33 32 2x xy yu u u uv v v ve e),log,2 22 24 43 32 23 3u

5、uy yu uv v v vx xx x2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如如:求函數(shù)求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),注注:1)y對(duì)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 的乘積的乘積.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)y=f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),y=f(u),u=gu=g( (x x) )的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為2)2)法則可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量法則可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量. .3)3)在書寫時(shí)不要把在書寫時(shí)不要把 寫成寫成 , ,兩者是兩者是不完全一樣的不完全一樣的, ,前者表示對(duì)自變量前者表示對(duì)自變量x x的求導(dǎo)

6、的求導(dǎo), ,而而后者是對(duì)中間變量后者是對(duì)中間變量 的求導(dǎo)的求導(dǎo). .)(x )()(xfxfx ( ( ( )yf g u xguxyfgu;xuxuyy ( )( )( ).xfxf ux或或令令y=u2,u=3x-2,1218 xuyyxux則則 從而從而2 ,3,uxyu u整理ppt .xuxyyu(1) ( )( ),g( ). yf g xyf u ux那么3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(2) ( ),g( ),( ). yf u uv vh x那么 .xuvxyyuv整理ppt應(yīng)應(yīng) 用用 舉舉 例例例例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=(5x-6)2;（2）y=e-0.0

7、5x+1;（4）y=sin(x+);(,為常數(shù))(3)y=ln(x+2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟： 分解分解求導(dǎo)求導(dǎo)相乘相乘回代回代 .2 2cos(2).cos2sin24.sin2cos2.2 2cos(2)4AyxByxxC yxxDyxsin2cos2yxx函數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是( )A練練 習(xí)：習(xí)：整理ppt41(1);(1 3 )1:.yx例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 5ux5x445ux: 1u1 3x,yy4u ,u3,yyu11,12.(1 3 )2uuux 解令則題型一題型一 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法整理ppt 21:. 2 ycosx ;例求下

8、列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (2)令令u=x2,則則y=cosu,yx=yuux=- sinu2x=-2x sinx2.整理ppt(3).(2);31:ysinx例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) xux3u2xy sinu,y,3).3yucosu 22cos(2x 令則整理ppt21:.(4)1.yx例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1212u2xx2 4u1x,yuyyu2 xxu1.212.1uxx令則規(guī)律技巧規(guī)律技巧:求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,對(duì)于分對(duì)于分式型的可化為冪的形式求導(dǎo)式型的可化為冪的形式求導(dǎo),關(guān)鍵選好中間變量關(guān)鍵選好中間變量.最后將中最后將中間變量代回到原自變量的函數(shù)

9、間變量代回到原自變量的函數(shù).整理ppt 25x2 121:. 3 yln lnx ; 41(1);(y2)();(1 3e.)6yysin xx變式訓(xùn)練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 6xu6556x: 1u1 3x,yyyu1,15.(5u315u1 3 )uux 解令則 222xux 2uxy sinu,yyuc,6)osu (x2xcosu2x).6cos(x6 令則整理ppt xux 3ulnx,ylnu,1 11.yyuu xxlnx 令則 xux2uuxux2x2 1 3ulnx,ylnu,yyu 4u2x1,ye ,yyue 4x1 14x e.1.u xxlnx 令則令則整理ppt例例2:求

10、下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(x2-4)2;解解:(1)(方法方法1)y=(x2-4)2=x4-8x2+16y=(x4-8x2+16)=4x3-16x.(方法方法2)y=2(x2-4)(x2-4)=2(x2-4)2x=4x3-16x.整理ppt(2)y=log2(2x2+3x+1);(3)y=e sin(ax+b) 222221(231)2 ylog2x3x12x3x1243.(231)2xxlnxxxln (3)y=e sin(ax+b)=e sin(ax+b) sin(ax+b)=e sin(ax+b)cos(ax+b)(ax+b)=acos(ax+b)e sin(ax+b)

11、.整理ppt變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).132232223223223:(1)31(31) ,1(31)(31)312(31)6.3(31)yyxxxxxxxx 解323(1)31;(2)3.yxysin xsinx (2)y=( sin3x+ sinx3)=3 sin2x( sinx)+cosx3(x3)=3 sin2xcosx+3x2cosx3.整理ppt1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：xyeyxyxyx1ln)4( ;) 3(;)31 ()2( ;) 32() 1 (2322、求曲線、求曲線y=sin2x在點(diǎn)在點(diǎn)P(，0）處的）處的切線方程。切線方程。

12、整理ppt題型二題型二 求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用例例3:已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)是關(guān)于是關(guān)于x的二次函數(shù)的二次函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)為f(x),且且xR,x2f(x)-(2x-1)f(x)=1恒成立恒成立,求函數(shù)求函數(shù)f(x)的解析式的解析式.解解:設(shè)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),則則f(x)=2ax+b.又又x2f(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1恒成立恒成立,整理ppt變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3:已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)是關(guān)于是關(guān)于x的三次函數(shù)的三次函數(shù),且且f(0)=3,f(0)=0,f

13、(1)=-3,f(2)=0,求求f(x)的解析式的解析式.解解:設(shè)設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),則則f(x)=3ax2+2bx+c.由由f(0)=3,得得d=3,由由f(0)=0,得得c=0, 32323,1240,1,3.f 13,f20,f xx3x3.ababab 由得解得整理ppt小結(jié)小結(jié) ： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡(jiǎn)單的函數(shù)，然復(fù)合函數(shù)分解成為較簡(jiǎn)單的函數(shù)，然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)； 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

14、的基本步驟是： 分解分解求導(dǎo)求導(dǎo)相乘相乘回代回代 整理ppt求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解解:)()(xxxxxxy12124333(2)51 xxy解解:)()(xxxxy115154)()(1161242233xxxxx43121)( )(xxxy5654151)(xx25411151)()(xxx整理ppt “可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)的可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加以證明導(dǎo)數(shù)加以證明:證證:當(dāng)當(dāng)f(x)為為可導(dǎo)的偶函數(shù)可導(dǎo)的偶函數(shù)時(shí)時(shí),則則f(-x)=f(x).兩邊同時(shí)兩邊同時(shí)對(duì)

15、對(duì)x求導(dǎo)得求導(dǎo)得:得得: 故故 為為奇函數(shù)奇函數(shù).)()()()(xfxfxfxxf)(xf 同理可證另一個(gè)命題同理可證另一個(gè)命題. 我們還可以證明類似的一個(gè)結(jié)論我們還可以證明類似的一個(gè)結(jié)論:可導(dǎo)的周期函可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù)數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù).證證:設(shè)設(shè)f(x)為為可導(dǎo)的周期函數(shù)可導(dǎo)的周期函數(shù),T為其一個(gè)為其一個(gè)周期周期,則對(duì)定則對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)義域內(nèi)的每一個(gè)x,都有都有f(x+T)=f(x). 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得求導(dǎo)得: 也是以也是以T為為周期的周期函數(shù)周期的周期函數(shù).),()(xfTxTxf ).()(xfTxf) x ( f整理ppt例例5:設(shè)設(shè)f(x)可導(dǎo)

16、可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)21 x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy );1(1122)1() 2(2222xfxxxxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy 說(shuō)明說(shuō)明:對(duì)于抽象函數(shù)的求導(dǎo)對(duì)于抽象函數(shù)的求導(dǎo),一方面要從其形式是把握其一方面要從其形式是把握其結(jié)構(gòu)特征結(jié)構(gòu)特征,另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則.整理ppt求證雙曲線求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓與橢圓C2:4x2+9y2=72在交在交 點(diǎn)處的切線互相垂直點(diǎn)處的切線互相垂直.證證:由于曲線的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱由于曲線的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱,故只需證明其中故只需證明其中一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直即可一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂