圓直線與圓的位置關系

1、第三講 圓、直線與圓、圓與圓的位置關系一、復習目標：1掌握圓的標準方程及一般式方程，理解圓的參數(shù)方程及參數(shù)的意義，能根據(jù)圓的方程熟練地求出圓的圓心和半徑；能熟練地對圓的方程的各種形式進行相互轉(zhuǎn)化。 2能根據(jù)所給條件，選取適當?shù)姆匠痰男问?，運用待定系數(shù)法求出圓的方程，注意運用圓的幾何性質(zhì)優(yōu)化解題過程。3掌握直線與圓的位置關系，會求圓的切線方程，公共弦方程及等有關直線與圓的問題。 4滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，充分利用圓的幾何性質(zhì)優(yōu)化解題過程。二基礎知識：1圓的方程(1)標準式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r為圓的半徑，(a，b)為圓心。(2)一般式：x2+y2+Dx+E

2、y+F=0 (D2+E2-4F>0)，其中圓心為(-，-)，半徑為(3)直徑式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中點(x1，y1)，(x2，y2)是圓的一條直徑的兩個端點。（用向量法證之）（4）參數(shù)式：，其中r為圓的半徑，(a，b)為圓心，（圓心角）為參數(shù)（5）半圓方程：等（6）圓系方程： i)過圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直線l：Ax+By+C=0的交點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0ii)過兩圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點的圓的方程為x2+y2+D1x+E

3、1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)該方程不包括圓C2； （時為一條直線方程，相交兩圓時為公共弦方程；兩等圓時則為兩圓的對稱軸方程；當兩圓相切時，L為過兩圓公共切點所在直線的方程。）2圓的一般方程與二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的關系：二元二次方程表示圓的充要條件A=C0，B=0 ，D2+E2-4AF>0。3若圓(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么點(x0,y0)在4直線與圓有三種位置關系：相離、相切和相交。有兩種判斷方法：（1） 代數(shù)法（判別式法） （2）幾何法，圓心到直線的距離一般宜用幾何法。5弦長與切線方程，切線長的求法（1）弦長

4、求法一般采用幾何法：弦心距d，圓半徑r，弦長l，則（2）改寫圓方程寫出圓的切線方程：(x0,y0)為切點的圓的切線方程，分別以x0x, y0y,改寫圓方程中的x2，y2,x,y（3） 切線長6圓與圓的位置關系：設圓C1：(xa)2+(yb)2=r2和圓C2：(xm)2+(yn)2=k2(kr)，且設兩圓圓心距為d，則有：(1)d=k+r 兩圓外切；(2)d=kr 兩圓內(nèi)切；(3)dk+r 兩圓外離；(4)0<dk-r 兩圓內(nèi)含；(5)krdk+r 兩圓相交三題型歸類題型一：求圓方程常用待定系數(shù)法例1、根據(jù)下列條件，求圓的方程。(1)和圓x2+y2=4相外切于點P(-1，)，且半徑為4；(

5、2)經(jīng)過坐標原點和點P(1，1)，并且圓心在直線2x+3y+1=0上；(3)已知一圓過P(4，-2)、Q(-1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，求圓的方程。解：(1)設圓心Q的坐標為(a，b) O與Q相外切于PO、P、Q共線，且= -= - 由定比分點公式求得a=-3，b=3所求圓的方程為(x+3)2+(y-3)2=16(2)顯然，所求圓的圓心在OP的垂直平分線上，OP的垂直平分線方程為：= 即x+y-1=0解方程組 x+y-1=0 2x+3y+1=0 得圓心C的坐標為(4，-3)。又圓的半徑r=|OC|=5所求圓的方程為(x-4)2+(y+3)2=25 (3)設圓的方程為x2+y2+D

6、x+Ey+F=0 將P、Q點的坐標分別代入，得：4D-2E+F=-20 D-3E-F=10 令x=0，由得y2+Ey+F=0 由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程的兩根。(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 、組成的方程組，得 D=-2 D= -10 E=0 或 E= -8 F= -12 F=4故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0【思維點拔】無論是圓的標準方程或是圓的一般方程，都有三個待定系數(shù)，因此求圓的方程，應有三個條件來求。一般地，已知圓心或半徑的條件，選用標準式，否則選用一般式。題型二：與圓有關的軌跡問題例2、

7、設定點M(-3，4)，動點N在圓x2+y2=4上運動，以OM、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡。解：本題關鍵是找出動點P與定點M及已知動點N之間的聯(lián)系，用平行四邊形對角線互相平分這一定理即可。 設P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標為(，)，線段MN的中點坐標為(，)。因為平行四邊形對角線互相平分，故=，=從而 x0=x+3 y0=y-4N(x+3，y-4)在圓上，故(x+3)2+(y-4)2=4因此所求軌跡為圓：(x+3)2+(y-4)2=4，但應除去兩點：(-，)和(-，)【思維點拔】：求與圓有關的軌跡問題，充分利用圓的方程和圓的幾何性質(zhì)，找出動點與圓上點之間的

8、關系或動點所滿足的幾何條件。題型三：含參數(shù)的圓的方程例3、已知圓的方程是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0，其中a1，且aR。(1)求證：a取不為1的實數(shù)時，上述圓恒過定點；(2)求圓心的軌跡方程。(3)求與圓相切的直線方程；解：（2）將方程x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0整理得x2+y2-4y+2-a（2x-2y）=0令 x2+y2-4y+2=0 x-y=0解之得 x=1 y=1 定點為(1，1)(2) 圓心坐標為(a，2-a)，又設圓心坐標為(x，y)，則有 x=a y=2-a 消去參數(shù)得x+y=2為所求的圓心的軌跡方程。(3)易得已知圓的圓心坐標為（a，2-a），半徑

9、為|a-1|。設所求切線方程為y=kx+b，即kx-y+b=0則圓心到直線的距離應等于圓的半徑，即=|a-1|恒成立。整理得2(1+k)2a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恒成立。比較系數(shù)可得 2(1+k2)=(k+1)2 -4(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2 解之得k=1，b=0。所以，所求的切線方程是y=x?！舅季S點拔】本題是含參數(shù)的圓的方程，與圓的參數(shù)方程有本質(zhì)的區(qū)別。當參數(shù)取某一確定的值時，方程表示一個確定的圓，當a變動時，方程表示圓的集合，即圓系。解本題(1)可用分離系數(shù)法求解；(2)可用

10、待定系數(shù)法求解；(3)可用配方法求解。一般地，過兩圓C1：f(x，y)=0與C2：g(x，y)=0的交點的圓系方程為：f(x，y)+g(x，y)=0(為參數(shù))。題型四：直線與圓的綜合問題例4、已知兩個圓C1：x2+y2=4，C2：x2+y2-2x-4y+4=0，直線L:x+2y=0，求經(jīng)過C1和C2的交點且和L相切的圓的方程。解：設所求圓的方程為x2+y2-2x-4y+4+( x2+y2-4)=0，即(1+)x2+(1+)y2-2x-4y+4-4=0所以圓心為，半徑為依題意有解之得，舍去，故所求圓的方程為x2+y2-x-2y=0。四作業(yè)1圓與y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且直線y=x截圓所得的弦長為，求此圓的方程。解：因圓與y軸相切，且圓心在直線上，故設圓方程為，由于直線截圓所得的弦長為，則有解得，故所求圓方程為或2設A(-c,0),B(c,0) (c>0)為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a>0)，求P點的軌跡。 解：設動點P的坐標為（x，y），由.化簡得當，整理得.當a=1時，化簡得x=0.所以當時，P點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當a=1時，P點的軌跡為