圓的一般方程

1、圓的一般方程教學(xué)設(shè)計（1課時）一、教材分析教材是在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上得出了圓的一般方程，然后分析方程特點，即討論系數(shù)在通過配方觀察方程何時表示圓、何時不是圓，判斷的標(biāo)準(zhǔn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這樣做緊扣圓的幾何特征，最后得出二元二次方程表示圓的充要條件，使學(xué)生加深對圓的一般方程的認(rèn)識與記憶，認(rèn)識到標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的聯(lián)系與區(qū)別。并對數(shù)學(xué)中分類思想，對比記憶等思想有更深的了解和掌握。教材配備了兩個例題，例3利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求同心圓方程：例4則是利用待定系數(shù)法通過一般方程解過三點的圓的方程，這是數(shù)學(xué)中常用的一種方法。二、學(xué)情分析學(xué)生是在已有知識的基礎(chǔ)上能夠推導(dǎo)出圓的一般方程，并能初步利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特

2、點研究圓的一般方程，學(xué)生在利用圓的一般方程解決問題時，常忽略表示圓的條件，靈活使用圓的方程的兩種形式解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。三、本節(jié)滲透的數(shù)學(xué)思想及教學(xué)方法分析根據(jù)以上教材分析，貫徹以啟發(fā)性教學(xué)原則，教師引導(dǎo)，學(xué)生學(xué)習(xí)為主體的教學(xué)思想，分析與討論結(jié)合。1、經(jīng)歷用待定系數(shù)法求圓的方程的過程，它是數(shù)學(xué)中常用的一種方法，在學(xué)習(xí)過程中體會用代數(shù)方法解決幾何問題的思想。2、圓的一般方程含有三個參變量，需要三個條件（坐標(biāo)）才能確定圓，樹立利用方程的思想求解參數(shù)變量。3、引導(dǎo)學(xué)生分析兩個方程之間的互化關(guān)系，選擇兩個方程解決問題的條件和優(yōu)缺點。4.教學(xué)中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合及方程的數(shù)學(xué)思想方法。四.教學(xué)目標(biāo)

3、知識與技能：1).掌握圓的一般方程及一般方程的特點2).能將圓的一般方程化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進而求出圓心和半徑3).能用待定系數(shù)法由已知條件求出圓的方程過程與方法：1).通過問題的分析與解決使學(xué)生認(rèn)識研究問題中由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想。2).通過分析，充分了解分類思想在數(shù)學(xué)中的重要地位，強化學(xué)生的觀察，思考能力。情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于思考、合作交流的意識，在體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的過程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于動腦和動手的良好思維品質(zhì)。五.教學(xué)重、難點教學(xué)重點：1.圓的一般方程的形式特征。 2.待定系數(shù)法求圓的方程。教學(xué)難點：1. 方程及對分類討論。2.根據(jù)具體條件

4、，選擇圓的方程解決有關(guān)問題及待定系數(shù)法求圓的方程。難點突破：通過對的分類討論，使問題化難為易，難點個個攻破，使課堂教學(xué)顯得輕松易學(xué)。六學(xué)法分析在教學(xué)活動中，教師提出疑問，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，主動探究，討論交流，在積極的學(xué)習(xí)中解決問題，獲得知識。貫穿“疑問”“思索”“發(fā)現(xiàn)”“解惑”四個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。七教學(xué)過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考，引入新知 問題1：A.B兩鎮(zhèn)相距10km，為了響應(yīng)黨的號召,豐富人民的文化生活,現(xiàn)在兩鎮(zhèn)之間修建一個文化廣場,為方便大部分群眾,現(xiàn)要求廣場到兩鎮(zhèn)之間距離的平方和為60,那么廣場應(yīng)修建在何處? 分析：僅僅依據(jù)問題中的幾個數(shù)據(jù)無法表示距離，若將這個問題放在直角坐標(biāo)系中來考

5、慮，就能很快表示出距離，以AB兩鎮(zhèn)所在的直線為軸，以AB的中點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為廣場所在的位置，則有，化簡得。你能說明這是一個什么方程嗎？廣場應(yīng)建在什么位置？ 設(shè)計意圖：以生活中的實例提出問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并借此復(fù)習(xí)學(xué)生已經(jīng)掌握的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并為圓方程改寫成二元二次方程的形式引出圓的一般方程做鋪墊。問題2：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的展開式是什么？： 由于a,b,r均為常數(shù)，故設(shè) D=-2a， E =-2b , F = a2+b2-r2 此方程可寫成下面的形式： 故任何一個圓的方程都可以用上式表示。思考：形如的方程表示的曲線一定是圓嗎？設(shè)計意圖：在問題1的基礎(chǔ)上由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開問

6、題引發(fā)概念，給學(xué)生思考、探索的空間，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，提高分析和解決問題的能力。（二）深入思考，得出結(jié)論如果形如的方程表示的曲線是圓，那么由方程可求出圓心和半徑。下面我們配方整理可得： 比較圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x-a)2+(y-b)2=r2與的形式上式表不表示圓，關(guān)鍵跟的正負(fù)有關(guān)。1）當(dāng)時，表示以為圓心，以為半徑的圓。2）當(dāng)=0時，方程只有實數(shù)解 ， 即表示一個點。3）當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解，因而不表示任何圖形。綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓，只有當(dāng)時，它表示的曲線才是圓，此時叫圓的一般方程。表示以為圓心，為半徑的圓。設(shè)計意圖：通過本過程，學(xué)生實現(xiàn)了對圓的方程更深的理解，實現(xiàn)了對圓

7、的一般方程的理解。引導(dǎo)學(xué)生理解圓的一般方程的意義，真正知道什么情況下表示圓，并理解為什么。（三）兩相對比，加深理解標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2明確指出了圓心和半徑。一般方程：突出了形式上的特點1和的系數(shù)相同，且不等于0。2沒有xy這樣的二次項。3. 設(shè)計意圖：通過比較，不僅復(fù)習(xí)了以前的知識，增強了記憶。對今天的新課也有了更深層次的理解。（四）知識運用，鞏固概念例1判別下列方程表示什么圖形,如果是圓,找出圓心和半徑。（1）x2+y2-2x+4y+1=0（2）x2+y2+2by=0 （b0）例2求過點，且圓心與已知圓相同的圓的方程。 方法一：利用配方法將其變成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心后

8、再求半徑。方法二：利用圓的一般方程方程形式求解，由于所求圓與已知圓是同心圓，故可設(shè)所求圓的方程為：，然后將M點代入，利用待定系數(shù)法求F。設(shè)計意圖：本題較簡單，學(xué)生獨立求解，然后教師點評。設(shè)計目的是讓學(xué)生應(yīng)用新知，鞏固知識，強調(diào)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程方程的相互轉(zhuǎn)化及二元二次方程表示圓的條件。同時也增強學(xué)生自信，提高興趣。例3求過三點O (0,0),M1(1,1), M2(4,2), 的圓的方程，并指出圓心和半徑。設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過自主解答，發(fā)現(xiàn)困難，教師適時引導(dǎo)，總結(jié)出用待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟。通過本小題進一步理解待定系數(shù)法這一思想。注：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：（1）根據(jù)題意設(shè)所

9、求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或一般式；（圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在運用上的比較，(1)若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡單. (2)若已知三點求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解）（2）根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程；（3）解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所設(shè)方程，就得要求的方程。（五）反饋練習(xí)，強化概念 教材80頁，練習(xí)1、（2）（4）2.（六）課堂小節(jié)，形成體系從知識與方法兩個方面進行歸納。（學(xué)生先歸納總結(jié)，教師補充強調(diào)）1本節(jié)課的主要內(nèi)容是圓的一般方程,其表達式為，其特點是：（1）和的系數(shù)相同，且不等于0。（2）沒有xy這樣的二次項（

10、3）表示以為圓心，為半徑的圓。2圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在運用上的比較 （1）若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡單.（2）若已知三點求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解.3.本節(jié)課用的數(shù)學(xué)思想方法：（1）通過特殊認(rèn)識一般的思想方法。（2）配方法(求圓心和半徑).待定系數(shù)法(求圓的一般方程)（3）問題轉(zhuǎn)化和分類討論的思想(原則是不重復(fù),不遺漏)六作業(yè)布置： 教材85頁A組1、2七板書設(shè)計：八、課后練習(xí)、鞏固新知一基礎(chǔ)題1圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為2若方程表示的圖形是圓，則的取值范圍是3若圓的圓心在直線上，則、的關(guān)系有 4已知圓的圓心是，是坐標(biāo)原點，則 5過點且與已知圓：的圓心相同的圓的方程是 。6若圓上的點關(guān)于直線對稱，則 7過三，的圓的方程是 二提高題8求過三點，的圓的方程9求圓關(guān)于直線對稱的圓的方程三能力題10已知點與兩個頂點，的距離之比為，那么點的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？畫出滿足條件的點所形成的曲線九、教學(xué)后記本節(jié)課采用“問題探討教學(xué)”和“自主探究式教學(xué)”相結(jié)合，志在體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，教學(xué)中突出數(shù)學(xué)思想方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生運用了“通過特殊認(rèn)識一般”的思想方法探究新知，利用“待定系數(shù)法”與“配方法”進行圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化，