含參不等式的解法舉例

1、含參不等式專題（淮陽中學(xué)） 編寫：孫宜俊當(dāng)在一個(gè)不等式中含有了字母，則稱這一不等式為含參數(shù)的不等式，那么此時(shí)的參數(shù)可以從以下兩個(gè)方面來影響不等式的求解，首先是對不等式的類型（即是那一種不等式）的影響，其次是字母對這個(gè)不等式的解的大小的影響。我們必須通過分類討論才可解決上述兩個(gè)問題，同時(shí)還要注意是參數(shù)的選取確定了不等式的解，而不是不等式的解來區(qū)分參數(shù)的討論。解參數(shù)不等式一直是高考所考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是同學(xué)們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到但又難以順利解決的問題。下面舉例說明，以供同學(xué)們學(xué)習(xí)。解含參的一元二次方程的解法，在具體問題里面，按分類的需要有討論如下四種情況：（1） 二次項(xiàng)的系數(shù)；（2）判別式；（3）不等

2、號方向（4）根的大小。1、 含參數(shù)的一元二次不等式的解法： 1二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)（能分解因式先分解因式，不能得先考慮）例1、解關(guān)于的不等式。解：為方程的兩個(gè)根（因?yàn)榕c1的大小關(guān)系不知，所以要分類討論）（1）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（3）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為綜上所述：（1）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（3）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為變題1、解不等式； 2、解不等式。小結(jié)：討論兩個(gè)根的大小關(guān)系，尤其是變題2中2個(gè)根都有參數(shù)的要加強(qiáng)討論。例2、解關(guān)于的不等式分析 此不等式為含參數(shù)k的不等式，當(dāng)k值不同時(shí)相應(yīng)的二次方程的判別式的值也不同，故應(yīng)先從討論判別式入手.解 (1

3、) 當(dāng)有兩個(gè)不相等的實(shí)根。所以不等式：(2) 當(dāng)有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以不等式，即；(3) 當(dāng)無實(shí)根所以不等式解集為。說明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)有著密切的聯(lián)系，要注意數(shù)形結(jié)合研究問題。小結(jié)：討論，即討論方程根的情況。2二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)（先對二次項(xiàng)系數(shù)討論，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考慮）例3、解關(guān)于的不等式：解：若，原不等式若，原不等式或若，原不等式 其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故（1）當(dāng)時(shí)，式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，式；（3）當(dāng)時(shí)，式.綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.例4、解關(guān)于的不等式：解

4、： （1）時(shí)，（2）時(shí)，則或，此時(shí)兩根為，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，可知當(dāng)時(shí)，解集為(,)； 當(dāng)時(shí)，解集為； 當(dāng)時(shí)，解集為()(); 當(dāng)時(shí)，解集為()().例5、解關(guān)于的x不等式分析：當(dāng)m+1=0時(shí),它是一個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式；當(dāng)m+11時(shí)，還需對m+1>0及m+1<0來分類討論，并結(jié)合判別式及圖象的開口方向進(jìn)行分類討論：當(dāng)m<1時(shí)，=4（3m）>0，圖象開口向下，與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不等式的解集取兩邊。當(dāng)1<m<3時(shí)，=4（3m）>0, 圖象開口向上，與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不等式的解集取中間。當(dāng)m=3時(shí)，=4（3m）=0，圖象開口

5、向上，與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，不等式的解為方程的根。當(dāng)m>3時(shí)，=4（3m）<0,圖象開口向上全部在x軸的上方，不等式的解集為。解：當(dāng)m=3時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)m>3時(shí), 原不等式的解集為。小結(jié)：解含參數(shù)的一元二次不等式可先分解因式再討論求解，若不易分解，也可對判別式分類討論。利用函數(shù)圖象必須明確：圖象開口方向，判別式確定解的存在范圍，兩根大小。二次項(xiàng)的取值（如取0、取正值、取負(fù)值）對不等式實(shí)際解的影響。牛刀小試：解關(guān)于x的不等式思路點(diǎn)撥：先將左邊分解因式，找出兩根，然后就兩根的大小關(guān)系寫出解集。具體解答請同學(xué)們自己完成。二、含參數(shù)的分式不等式的解法：例1：解關(guān)于x的不等式

6、分析：解此分式不等式先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式，再對ax1中的a進(jìn)行分類討論求解，還需用到序軸標(biāo)根法。解：原不等式等價(jià)于當(dāng)=0時(shí)，原不等式等價(jià)于解得，此時(shí)原不等式得解集為x|；當(dāng)>0時(shí), 原不等式等價(jià)于,則：當(dāng)原不等式的解集為；當(dāng)0<原不等式的解集為；當(dāng)原不等式的解集為；當(dāng)<0時(shí), 原不等式等價(jià)于，則當(dāng)時(shí), 原不等式的解集為；當(dāng)時(shí), 原不等式的解集為；當(dāng)時(shí), 原不等式的解集為；小結(jié)：本題在分類討論中容易忽略=0的情況以及對，1和2的大小進(jìn)行比較再結(jié)合系軸標(biāo)根法寫出各種情況下的解集。解含參數(shù)不等式時(shí)，一要考慮參數(shù)總的取值范圍，二要用同一標(biāo)準(zhǔn)對參數(shù)進(jìn)行劃分，做到不重不漏，三要使劃分后的不等式的解集的表達(dá)式是確定的。對任何分式不等式都是通過移項(xiàng)、通分等一系列手段，把不等號一邊化為0，再轉(zhuǎn)化為乘積不等式來解決。牛刀小試：解關(guān)于x的不等式思路點(diǎn)撥：將此不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式后需對參數(shù)分兩級討論：先按>1和<1分為兩類，再在<1的情況下，又要按兩根與2的大小關(guān)系分為三種情況。有很多同學(xué)找不到分類的依據(jù)，缺乏分類討論的意識，通過練習(xí)可能會有所啟示。