基本不等式經(jīng)典例題精講 (1)

1、新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五典題精講（3.4基本不等式）典題精講例1（1）已知0x，求函數(shù)y=x(1-3x)的最大值;（2）求函數(shù)y=x+的值域.思路分析：（1）由極值定理,可知需構(gòu)造某個(gè)和為定值，可考慮把括號(hào)內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)；（2）中，未指出x0，因而不能直接使用基本不等式，需分x0與x0討論.（1）解法一：0x,1-3x0.y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)2=，當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x，即x=時(shí)，等號(hào)成立.x=時(shí)，函數(shù)取得最大值.解法二：0x,-x0.y=x(1-3x)=3x(-x)32=，當(dāng)且僅當(dāng)x=-x,即x=時(shí)，等號(hào)成立.x=時(shí)，函數(shù)取得最大值.（2）解：當(dāng)

2、x0時(shí)，由基本不等式，得y=x+2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)x0時(shí)，y=x+=-(-x)+.-x0,(-x)+2,當(dāng)且僅當(dāng)-x=,即x=-1時(shí)，等號(hào)成立.y=x+-2.綜上,可知函數(shù)y=x+的值域?yàn)?-,-22,+).綠色通道：利用基本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值，為使基本不等式成立創(chuàng)造條件，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件是否具備.變式訓(xùn)練1當(dāng)x-1時(shí)，求f(x)=x+的最小值.思路分析：x-1x+10,變x=x+1-1時(shí)x+1與的積為常數(shù).解：x-1,x+10.f(x)=x+=x+1+-12-1=1.當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=0時(shí),取得等號(hào).f(x)min=1.變式訓(xùn)練2求函數(shù)y

3、=的最小值.思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來(lái)看，它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實(shí)上，我們可以把分母視作一個(gè)整體，用它來(lái)表示分子，原式即可展開(kāi).解：令t=x2+1，則t1且x2=t-1.y=.t1,t+2=2,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=1時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值3.例2已知x0,y0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值，這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形，下面給出三種解法，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì).解法一：利用“1的代換”,+=1,x+y=(x+y)·(+)=10+.x0,y0,2=6.當(dāng)且僅當(dāng)，即y=3x時(shí)，

4、取等號(hào).又+=1,x=4,y=12.當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.解法二：由+=1，得x=.x0,y0,y9.x+y=+y=y+=y+1=(y-9)+10.y9,y-90.2=6.當(dāng)且僅當(dāng)y-9=，即y=12時(shí)，取得等號(hào)，此時(shí)x=4.當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.解法三：由+=1，得y+9x=xy,(x-1)(y-9)=9.x+y=10+(x-1)+(y-9)10+2=16,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9時(shí)取得等號(hào).又+=1,x=4,y=12.當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.綠色通道：本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對(duì)式子進(jìn)行了變形，配湊出基本不等式

5、滿(mǎn)足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察,學(xué)會(huì)變形，另外解法二，通過(guò)消元,化二元問(wèn)題為一元問(wèn)題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對(duì)另外一個(gè)變量的范圍的影響.黑色陷阱：本題容易犯這樣的錯(cuò)誤：+2,即1,6.x+y22×6=12.x+y的最小值是12.產(chǎn)生不同結(jié)果的原因是不等式等號(hào)成立的條件是=，不等式等號(hào)成立的條件是x=y.在同一個(gè)題目中連續(xù)運(yùn)用了兩次基本不等式,但是兩個(gè)基本不等式等號(hào)成立的條件不同，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論.變式訓(xùn)練已知正數(shù)a,b,x,y滿(mǎn)足a+b=10,=1，x+y的最小值為18，求a,b的值.思路分析：本題屬于“1”的代換問(wèn)題.解：x+y=(x+y)()=a+b=10+.

6、x,y0,a,b0，x+y10+2=18，即=4.又a+b=10，或例3求f(x)=3+lgx+的最小值（0x1）.思路分析：0x1,lgx0,0不滿(mǎn)足各項(xiàng)必須是正數(shù)這一條件，不能直接應(yīng)用基本不等式，正確的處理方法是加上負(fù)號(hào)變正數(shù).解：0x1,lgx0,0.-0.(-lgx)+(-)2=4.lgx+-4.f(x)=3+lgx+3-4=-1.當(dāng)且僅當(dāng)lgx=,即x=時(shí)取得等號(hào).則有f(x)=3+lgx+ (0x1)的最小值為-1.黑色陷阱：本題容易忽略0x1這一個(gè)條件.變式訓(xùn)練1已知x，求函數(shù)y=4x-2+的最大值.思路分析：求和的最值，應(yīng)湊積為定值.要注意條件x，則4x-50.解：x,4x-5

7、0.y=4x-5+3=-(5-4x)+3-2+3=-2+3=1.當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最大值是1.變式訓(xùn)練2當(dāng)x時(shí)，求函數(shù)y=x+的最大值.思路分析：本題是求兩個(gè)式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保證是正值,所以,必須使用一些技巧對(duì)原式變形.可以變?yōu)閥=（2x-3）+=-（）+,再求最值.解：y=（2x-3）+=-（）+，當(dāng)x時(shí)，3-2x0，=4，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=-時(shí)取等號(hào).于是y-4+=，故函數(shù)有最大值.例4如圖3-4-1，動(dòng)物園要圍成相同的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.圖3-4-1（1）現(xiàn)有可圍36 m長(zhǎng)

8、網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？（2）若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長(zhǎng)度最?。克悸贩治觯涸O(shè)每間虎籠長(zhǎng)為x m，寬為y m，則（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)則是在xy=24的前提下來(lái)求4x+6y的最小值.解：（1）設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為x m，寬為y m，則由條件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.設(shè)每間虎籠的面積為S，則S=xy.方法一：由于2x+3y2=2,218,得xy，即S.當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號(hào)成立.由解得故每間虎籠長(zhǎng)為4.5 m，寬為3 m時(shí)，可使面積最大.方法二:由

9、2x+3y=18，得x=9-y.x0,0y6.S=xy=(9-y)y= (6-y)y.0y6,6-y0.S2=.當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y,即y=3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x=4.5.故每間虎籠長(zhǎng)4.5 m,寬3 m時(shí)，可使面積最大.(2)由條件知S=xy=24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為l,則l=4x+6y.方法一:2x+3y2=2=24,l=4x+6y=2(2x+3y)48,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí),等號(hào)成立.由解得故每間虎籠長(zhǎng)6 m，寬4 m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小.方法二:由xy=24，得x=.l=4x+6y=+6y=6(+y)6×2=48,當(dāng)且僅當(dāng)=y，即y=4時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x=6.故每間虎籠長(zhǎng)6 m

10、,寬4 m時(shí)，可使鋼筋總長(zhǎng)最小.綠色通道：在使用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，要注意：（1）x,y都是正數(shù)；（2）積xy（或x+y）為定值；（3）x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿(mǎn)足上述三個(gè)條件的結(jié)論.變式訓(xùn)練某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 平方米的三級(jí)污水處理池(平面圖如圖3-4-2所示),由于地形限制,長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16米,如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元,中間兩道隔墻建造單價(jià)為每米248元,池底建造單價(jià)為每平方米80元,池壁的厚度忽略不計(jì),試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬,使總造價(jià)最低,并求出最低造價(jià).圖3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值時(shí),必須考慮等

11、號(hào)成立的條件,若等號(hào)不能成立,通常要用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.解：設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米,則寬為米(0x16,016),12.5x16.于是總造價(jià)Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80×200.=800(x+)+16 000800×2+16 000=44 800,當(dāng)且僅當(dāng)x= (x0),即x=18時(shí)等號(hào)成立,而1812.5,16,Q(x)44 800.下面研究Q(x)在12.5,16上的單調(diào)性.對(duì)任意12.5x1x216,則x2-x10,x1x2162324.Q(x2)-Q(x1)=800(x2-x1)+324()=800×

12、0,Q(x2)Q(x1).Q(x)在12.5,16上是減函數(shù).Q(x)Q(16)=45 000.答:當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16米,寬為12.5米時(shí),總造價(jià)最低,最低造價(jià)為45 000元.問(wèn)題探究 問(wèn)題某人要買(mǎi)房,隨著樓層的升高,上下樓耗費(fèi)的精力增多,因此不滿(mǎn)意度升高.當(dāng)住第n層樓時(shí),上下樓造成的不滿(mǎn)意度為n.但高處空氣清新,嘈雜音較小,環(huán)境較為安靜,因此隨著樓層的升高,環(huán)境不滿(mǎn)意度降低.設(shè)住第n層樓時(shí),環(huán)境不滿(mǎn)意程度為.則此人應(yīng)選第幾樓,會(huì)有一個(gè)最佳滿(mǎn)意度.導(dǎo)思：本問(wèn)題實(shí)際是求n為何值時(shí),不滿(mǎn)意度最小的問(wèn)題,先要根據(jù)問(wèn)題列出一個(gè)關(guān)于樓層的函數(shù)式,再根據(jù)基本不等式求解即可.探究：設(shè)此人應(yīng)選第n層樓,此時(shí)的不滿(mǎn)意程度為y.由題意知y=n+.n+2,當(dāng)且僅當(dāng)n=,即n=時(shí)取等號(hào).但考慮到nN*,n2×1.414=2.8283,即此人應(yīng)選3樓,不滿(mǎn)意度最低.例5解