6.3《實數(shù)》教材分析

1、人教版七年級下冊第六章“實數(shù)”教材分析從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)看，關(guān)于數(shù)的內(nèi)容，第三學(xué)段主要學(xué)習(xí)有理數(shù)和實數(shù)，它們是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容對于有理數(shù)和實數(shù)，本套教科書安排了 3 章內(nèi)容，分別是7 年級上冊第 1 章“有理數(shù)”， 7 年級下冊第6 章“實數(shù)”和 8 年級下冊第16 章“二次根式”本章是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“有理數(shù)”的基礎(chǔ)上認(rèn)識實數(shù)，對于實數(shù)的學(xué)習(xí)，除本章外，還要在“二次根式”一章中通過研究二次根式的運算，進(jìn)一步認(rèn)識實數(shù)的運算本章首先介紹平方根與立方根的概念，并通過開平方、開立方運算認(rèn)識一些不同于有理數(shù)的數(shù)，在此基礎(chǔ)上引入無理數(shù)，把數(shù)的范圍擴充到實數(shù)；類比有理數(shù)，引入實數(shù)在數(shù)軸上的表示和實數(shù)的運

2、算；并用這些知識解決一些實際問題通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識就由有理數(shù)范圍擴大到實數(shù)范圍本章之前的數(shù)學(xué)內(nèi)容都是在有理數(shù)范圍內(nèi)討論的，學(xué)習(xí)本章之后，將在實數(shù)范圍內(nèi)研究問題雖然本章的內(nèi)容不多，篇幅不大，但在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，本章內(nèi)容不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及銳角三角函數(shù)等知識的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、不等式以及解析幾何等知識的基礎(chǔ)本章共安排三個小節(jié)和兩個選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時間大約需要8 課時，具體安排如下（僅供參考）：131 平方根3 課時132 立方根2 課時133 實 數(shù)2課時數(shù)學(xué)活動1 課時小結(jié)、教科書內(nèi)容和本章學(xué)習(xí)目標(biāo)）本章知識結(jié)構(gòu)框圖本章知識結(jié)構(gòu)如下圖所示：（二）

3、教科書內(nèi)容本章主要包括算術(shù)平方根、平方根、立方根，以及實數(shù)的有關(guān)概念、運算以及實數(shù)在 數(shù)軸上的表示等內(nèi)容.本章的重點是算術(shù)平方根和平方根的概念和求法，難點是平方根和實數(shù)的概念.教科書的第一節(jié)是平方根，本節(jié)先研究算術(shù)平方根，再研究平方根.教科書首先創(chuàng)設(shè) 一個問題情景，從中抽象出的數(shù)學(xué)問題為：已知正方形的面積求其邊長.這是一個典型的求算術(shù)平方根的問題，它與學(xué)生熟悉的已知正方形的邊長求其面積是一個互逆的過程.通過對這類問題的探討，引出算術(shù)平方根的概念，給出其符號表示，這時教科書所涉及到的被開方 數(shù)本質(zhì)上都是完全平方數(shù).接著，教科書設(shè)置一個“探究”欄目，讓學(xué)生嘗試能否將兩個面 積為1的小正方形拼成一個

4、面積為 2的大正方形，進(jìn)而求出這個大正方形的邊長.這也是一個已知正方形的面積求它的邊長的問題，由于這個大正方形的面積為2,根據(jù)前面學(xué)過的算術(shù)平方根的概念和表示方法，可以求出這個大正方形的邊長是 拒，這樣教科書就引進(jìn)了用 根號形式表示的無理數(shù)（但暫時不出現(xiàn)無理數(shù)的概念），這是教科書第一次出現(xiàn)這樣的數(shù).另外，通過學(xué)生將兩個面積為 1的小正方形拼成一個面積為 2的大正方形的活動， 也使學(xué)生感受到無理數(shù)是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，是一種不同于有理數(shù)的數(shù).出現(xiàn)后，一個很自然的問題是， 拒到底多大.教科書采用用有理數(shù)夾逼的方法，利用不足近似值和過剩近似 值來估計 顯 的大小，通過一步一步的估計， 得到 后

5、的越來越精確的近似值， 進(jìn)而指出 也 是一個無限不循環(huán)小數(shù)的事實，并進(jìn)一步指出招，后，戶 等也是無限不循環(huán)小數(shù)，這就為后面認(rèn)識無理數(shù)打下基礎(chǔ).會使用計算器求數(shù)的算術(shù)平方根是本章的一個教學(xué)要求，教科書通過一個例題，介紹了使用計算器求算術(shù)平方根的方法.用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小， 也是學(xué)習(xí)本章應(yīng)該注意的一個問題，教科書結(jié)合一個實際例子（例3）介紹了用有理數(shù)估計無理數(shù)的常用方法.至此，教科書討論了有關(guān)算術(shù)平方根的內(nèi)容，包括算術(shù)平方根的概念、 求法，無限不循環(huán)小數(shù)以及用有理數(shù)估計無理數(shù)等內(nèi)容.接著，教科書設(shè)置一個“思考”欄目，對平方根展開討論.在這個“思考”欄目中，要求學(xué)生算出平方等于9的數(shù)，通過對這個

6、問題的探討，找到解決問題的方法， 利用這種方法進(jìn)一步求出平方等于1, 16, 36的數(shù)，由此抽象概括出平方根的概念和開平方運算.開平方運算與平方運算是互逆運算，教科書通過舉例分析了這兩種運算的互逆過程，并用圖示進(jìn)一步說明.最后，教科書結(jié)合具體例子， 通過具體計算一些數(shù)的平方根，探討數(shù)的平方根的特征，歸納出“正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0,負(fù)數(shù)沒有平方根”.教科書的第二節(jié)是立方根.對于立方根，教科書采用了與討論平方根類似的方法進(jìn)行 討論.首先設(shè)置一個問題情景，從中抽象出的數(shù)學(xué)問題是：已知立方體的體積求它的邊長， 這是一個典型的求數(shù)的立方根的問題.教科書從這個典型問題出發(fā)， 引

7、出立方根的概念和開立方運算.接著，教科書指出，和平方運算與開平方運算互為逆運算一樣，立方運算與開立方運算也互逆，并通過一個“探究”欄目，運用這種互逆關(guān)系求一些正數(shù)、負(fù)數(shù)和0的立方根.在此基礎(chǔ)上歸納出數(shù)的立方根的特征：“正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)， 0的立方根是0” .最后，教科書介紹了立方根的符號表示，并利用這種符號表示探討了立 方根的一條性質(zhì)（二-la ）.學(xué)習(xí)了平方根、立方根以及開方運算后，教科書在第三節(jié)安排了實數(shù).本節(jié)首先設(shè)置 一個“探究”攔目，要求學(xué)生將一些有理數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)的形式，并分析這些小數(shù)的共同特點，進(jìn)而歸納出有理數(shù)都可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式，然后直接指出

8、反過來的結(jié)論也成立，即任何有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，這樣教科書就將有理數(shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)一起來.在此基礎(chǔ)上指出，像及，窺,II等只能化成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)就是無理數(shù)，從而引出無理數(shù)的概念.教科書采用這種與有理數(shù)對照的方法引出無理數(shù)， 有利于揭示有理數(shù)和無理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別，也有助于學(xué)生理解“有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)”這個構(gòu)造性定義.為了是學(xué)生全面了解實數(shù)的概念，教科書根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)對實數(shù)進(jìn)行分類， 揭示出實數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu). 隨著無理數(shù)的引入，實數(shù)概念的出現(xiàn)，數(shù)的范圍由有理數(shù)擴充到實 數(shù)，在這個擴充過程中，既體現(xiàn)了概念、運算等的一致性，又體現(xiàn)了它們的發(fā)展變化.教科 書通過幾方面的例子說

9、明了這種一致性和發(fā)展變化.首先，教科書通過探究在數(shù)軸上畫出表示it和J5的點，說明了無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點來表示，并指出當(dāng)數(shù)由有理數(shù)擴充到實 數(shù)后，直線上的點與實數(shù)就是一一對應(yīng)的；接著，教科書通過設(shè)置思考問題，讓學(xué)生體會， 在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的一些概念（如絕對值、相反數(shù)等）在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立；最后，教 科書結(jié)合具體例子，指出有理數(shù)的運算（如加、減、乘、除、乘方運算等），以及運算律、 運算性質(zhì)（如交換律、分配律、結(jié)合律等）在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，并且可以進(jìn)行新的運算 （如正數(shù)和0可以進(jìn)行開平方運算、任何一個實數(shù)可以進(jìn)行開立方運算）等.與大綱教材相比，本章內(nèi)容在原教科書“數(shù)的開方”一章的基礎(chǔ)上，

10、適當(dāng)增加了有關(guān)實數(shù)運算的內(nèi)容（實數(shù)的運算在本套書“二次根式”一章繼續(xù)學(xué)習(xí)）；從內(nèi)容安排上看，改變原教科書先講平方根，將算術(shù)平方根作為平方根一種特例的做法，而是從實際問題出發(fā)，先講算術(shù)平方根，再講平方根，加強了與實際的聯(lián)系；在教學(xué)目標(biāo)方面，強調(diào)所有學(xué)生都應(yīng)會使用計算器進(jìn)行開平方、開立方運算，加強了對估算的要求等（三）本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1 了解算術(shù)平方根、平方根、 立方根的概念，會用根號表示數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根2了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根，會用計算器求平方根和立方根3了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一

11、一對應(yīng)，能求實數(shù)的相反數(shù)與絕對值4能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍二、編寫時考慮的幾個問題（一）加強與實際的聯(lián)系本章內(nèi)容與實際的聯(lián)系是非常密切的例如，無理數(shù)是從現(xiàn)實世界中抽象出來的一種數(shù)， 開平方運算和開立方運算也是實際中經(jīng)常用到的兩種運算，用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到等等因此， 本章內(nèi)容在編寫時注意聯(lián)系實際，對于一些重要的概念和運算緊密結(jié)合實際生活展開例如， 算術(shù)平方根是從已知正方形的面積求它邊長、立方根是從已知立方體的體積求它邊長等典型的實際問題引出的；再如， 用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小也是緊密結(jié)合實際問題展開的（6.1 節(jié)的探究1,2 和例3）將本章內(nèi)容與實際緊密聯(lián)系起來

12、，可以使學(xué)生在解決實際問題的過程中，認(rèn)識實數(shù)的有關(guān)概念和運算（二）加強知識間的縱向聯(lián)系，突出類比的作用本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，有關(guān)數(shù)的內(nèi)容，學(xué)生在7年級上冊已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)過有理數(shù)， 對有理數(shù)的概念和運算等有了較深刻的認(rèn)識，本章是在有理數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)實數(shù)的初步知識，本章很多內(nèi)容是有理數(shù)相關(guān)內(nèi)容的延續(xù)和推廣，因此，編寫時，注意加強知識間的相互聯(lián)系，突出類比的作用，使學(xué)生更好地體會數(shù)的擴充過程中表現(xiàn)出來的概念、運算等的一致性和發(fā)展變化例如，類比有理數(shù)，引入實數(shù)的絕對值和相反數(shù)的概念，實數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)關(guān)系；平方與開平方、立方與開立方的互為逆運算關(guān)系等都是在有理數(shù)的

13、基礎(chǔ)上展開的另外，本章前兩節(jié) “平方根”“立方根”在內(nèi)容和展開方式上是基本平行的，因此，編寫“立方根”這節(jié)時，充分利用了類比的方法例如， 類比平方根的概念的引入方式給出立方根的概念，類比開平方運算給出開立方運算，類比平方與開平方運算的互逆關(guān)系研究立方與開立方運算的互逆關(guān)系等這樣的編寫方法，有助于加強知識間的相互聯(lián)系，通過類比已學(xué)的知識學(xué)習(xí)新知識，使學(xué)生的學(xué)習(xí)形成正遷移（三）留給學(xué)生探索交流的空間根據(jù)本章內(nèi)容的特點，對于一些重要的概念和結(jié)論，編寫時注意了讓學(xué)生通過觀察、思考、 探究等活動歸納得出結(jié)論的過程例如，對于平方根概念的引入，教科書首先通過一個問題情景，引出已知正方形的面積求邊長的問題，接

14、著又讓學(xué)生通過填表的方式，計算幾個不同面積的正方形的邊長，使學(xué)生感受到這些問題與以前學(xué)過的已知正方形的邊長求面積的問題是一個相反的過程，并由此指出，這些問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)的問題，并在此基礎(chǔ)上給出算術(shù)平方根的概念，這樣就讓學(xué)生通過一些具體活動，在對算術(shù)平方根一定的感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上歸納給出這個概念再比如， 在討論數(shù)的立方根的特征時，教材首先設(shè)置“探究”欄目，在欄目中以填空的方式讓學(xué)生計算一些具體的正數(shù)、負(fù)數(shù)和 0 的立方根，尋找它們各自的特點，通過學(xué)生討論交流等活動，歸納得出“正數(shù)的立方根是正數(shù)，0 的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)”的結(jié)論，這樣就讓學(xué)生通過探究活

15、動經(jīng)歷了一個由特殊到一般的認(rèn)識過程，在探究活動的過程中發(fā)展思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式三、對教學(xué)的幾個建議（一）加強數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)與滲透本章類比有理數(shù)，引入實數(shù)的相反數(shù)、絕對值等概念，以及實數(shù)的運算和運算律，教學(xué)時應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生體會類比這種研究方法的作用實數(shù)與數(shù)軸上點是一一對應(yīng)的，因此， 可以利用數(shù)軸將“數(shù) ”與 “形 ”聯(lián)系起來，這不僅對理解實數(shù)的有關(guān)概念及運算很有幫助，而且對后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)乃至研究數(shù)學(xué)都將產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響，教學(xué)時， 應(yīng)注意讓學(xué)生初步認(rèn)識 “數(shù)形結(jié)合”的思想方法的作用（二）把握好教學(xué)要求與大綱教材和以往的課標(biāo)教材相比，本章對開平方、開立方運算的要求有所降低，課 程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定“

16、會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根”，教學(xué)時要注意把握好這個變化.實數(shù)理論非常高深，初中生不可能充分理解，這就決定了教學(xué)時應(yīng)充分利用學(xué)生已有 的有理數(shù)的經(jīng)驗，不能追求嚴(yán)密的邏輯體系.例如，對于實數(shù)運算法則和運算性質(zhì)，本章是通過一個實數(shù)的簡單運算的例題來學(xué)習(xí)的.這樣安排的目的是， 通過類比有理數(shù)的運算， 指出有理數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)等在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，此處不宜深究.關(guān)于實數(shù)的運算，在后面的“二次根式” 一章中還要繼續(xù)研究.（三）發(fā)揮計算器的作用，加強估算能力的培養(yǎng)使用計算器進(jìn)行比較復(fù)雜的運算，可以使學(xué)習(xí)的重點更好地集中到理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)上 來，估算是一種具有實際應(yīng)用價值的運算能力.提倡使用計算器進(jìn)行復(fù)雜運算，加強估算， 綜合運用筆算、計算器和估算等方式培養(yǎng)學(xué)生的運算