函數(shù)的單調(diào)性證明

1、函數(shù)的單調(diào)性證明一解答題（共40小題）1證明：函數(shù)f（x）=在（，0）上是減函數(shù)2求證：函數(shù)f（x）=4x+在（0，）上遞減，在，+）上遞增3證明f（x）=在定義域?yàn)?，+）內(nèi)是增函數(shù)4應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)5證明函數(shù)f（x）=2x在（，0）上是增函數(shù)6證明：函數(shù)f（x）=x2+3在0，+）上的單調(diào)性7證明：函數(shù)y=在（1，+）上是單調(diào)增函數(shù)8求證：f（x）=在（，0）上遞增，在（0，+）上遞增9用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=在區(qū)間（0，+）上為減函數(shù)10已知函數(shù)f（x）=x+（）用定義證明：f（x）在2，+）上為增函數(shù)；（）若0對(duì)任意x4，5恒成

2、立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍11證明：函數(shù)f（x）=在x（1，+）單調(diào)遞減12求證f（x）=x+的（0，1）上是減函數(shù)，在1，+上是增函數(shù)13判斷并證明f（x）=在（1，+）上的單調(diào)性14判斷并證明函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性15求函數(shù)f（x）=的單調(diào)增區(qū)間16求證：函數(shù)f（x）=1在區(qū)間（，0）上是單調(diào)增函數(shù)17求函數(shù)的定義域18求函數(shù)的定義域19根據(jù)下列條件分別求出函數(shù)f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+ （2）f（x）+2f（）=3x20若3f（x）+2f（x）=2x+2，求f（x）21求下列函數(shù)的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x） （2）已知f（）=x，求f（x

3、）（3）已知函數(shù)f（x）為一次函數(shù)，使ff（x）=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）f（）=x2，求f（x）22已知函數(shù)y=f（x），滿足2f（x）+f（）=2x，xR且x0，求f（x）23已知3f（x）+2f（）=x（x0），求f（x）24已知函數(shù)f（x+）=x2+（）2（x0），求函數(shù)f（x）25已知2f（x）+f（x）=3x1，求f（x）26若2f（x）+f（x）=3x+1，則求f（x）的解析式27已知4f（x）5f（）=2x，求f（x）28已知函數(shù)f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式29若f（x）滿足3f（x）+2f（x）=4x，求f（x）的解析式30已知f（x）=ax+b且

4、af（x）+b=9x+8，求f（x）31求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）； （2）已知f（）=，求f（x）32已知二次函數(shù)滿足f（2x+1）=4x26x+5，求f（x）的解析式33已知f（2x）=x2x1，求f（x）34已知一次函數(shù)f（x）滿足f（f（f（x）=2x3，求函數(shù)f（x）的解析式35已知f（x+2）=x23x+5，求f（x）的解析式36已知函數(shù)f（x2）=2x23x+4，求函數(shù)f（x）的解析式37若3f（x）+2f（x）=2x，求f（x）38f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式39若函數(shù)f（）=+1，求函數(shù)f（x）的解析式40已知f（x1）=x

5、24x（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0函數(shù)的單調(diào)性證明參考答案與試題解析一解答題（共40小題）1證明：函數(shù)f（x）=在（，0）上是減函數(shù)【解答】證明：設(shè)x1x20，則：；x1x20；x2x10，x1x20；f（x1）f（x2）；f（x）在（，0）上是減函數(shù)2求證：函數(shù)f（x）=4x+在（0，）上遞減，在，+）上遞增【解答】證明：設(shè)0x1x2，則f（x1）f（x2）=（4x1+）（4x2+）=4（x1x2）+=（x1x2）（），又由0x1x2，則（x1x2）0，（4x1x29）0，（x1x2）0，則f（x1）f（x2）0，則函數(shù)f（x）在（0，）上遞減，設(shè)x3x4，同理可得

6、：f（x3）f（x4）=（x3x4）（），又由x3x4，則（x3x4）0，（4x3x49）0，（x1x2）0，則f（x3）f（x4）0，則函數(shù)f（x）在，+）上遞增3證明f（x）=在定義域?yàn)?，+）內(nèi)是增函數(shù)【解答】證明：設(shè)x1，x20，+），且x1x2，則：=；x1，x20，+），且x1x2；f（x1）f（x2）；f（x）在定義域0，+）上是增函數(shù)4應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)【解答】證明：任取x1，x2（0，2），且x1x2，則f（x1）f（x2）=（=因?yàn)?x1x22，所以x1x20，x1x24，所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），

7、所以f（x）=x+在（0，2）上為減函數(shù)5證明函數(shù)f（x）=2x在（，0）上是增函數(shù)【解答】解：設(shè)x1x20，f（x1）f（x2）=2x12x2+=（x1x2）（2+），x1x20，x1x20，2+0，f（x1）f（x2）0，即：f（x1）f（x2），函數(shù)f（x）=2x在（，0）上是增函數(shù)6證明：函數(shù)f（x）=x2+3在0，+）上的單調(diào)性【解答】解：任取0x1x2，則f（x1）f（x2）=（x1+x2）（x1x2）因?yàn)?x1x2，所以x1+x20，x1x20，故原式f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），所以原函數(shù)在0，+）是單調(diào)遞增函數(shù)7證明：函數(shù)y=在（1，+）上是單調(diào)增函數(shù)【解答

8、】解：函數(shù)f（x）=1在在區(qū)間（1，+），可以設(shè)1x1x2，可得f（x1）f（x2）=11+=1x1x20，x1+10，1+x20，x1x20，0f（x1）f（x2），f（x）在區(qū)間（，0）上為增函數(shù)；8求證：f（x）=在（，0）上遞增，在（0，+）上遞增【解答】證明：設(shè)x1x2，則f（x1）f（x2）=（）=，x1x2，x1x20，若x1x20，則x1x20，此時(shí)f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增若0x1x2，則x1x20，此時(shí)f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增即f（x）=在（，0）上遞增，在（0，+）上遞增9用函數(shù)單調(diào)性的定義證明

9、函數(shù)y=在區(qū)間（0，+）上為減函數(shù)【解答】解：函數(shù)y=在區(qū)間（0，+），可以設(shè)0x1x2，可得f（x1）f（x2）=0，f（x1）f（x2），f（x）在區(qū)間（，0）上為減函數(shù)；10已知函數(shù)f（x）=x+（）用定義證明：f（x）在2，+）上為增函數(shù)；（）若0對(duì)任意x4，5恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】（）證明：任取x1，x22，+），且x1x2，則f（x1）f（x2）=（x1+）（x2+）=，2x1x2，所以x1x20，x1x24，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）=x+在2，+）上為增函數(shù)；（）解：0對(duì)任意x4，5恒成立，xa0對(duì)任意x4，5恒成立，ax對(duì)任意x4，5

10、恒成立，a411證明：函數(shù)f（x）=在x（1，+）單調(diào)遞減【解答】證明：設(shè)x1x21，則：；x1x21；x2x10，x110，x210；即f（x1）f（x2）；f（x）在x（1，+）單調(diào)遞減12求證f（x）=x+的（0，1）上是減函數(shù)，在1，+上是增函數(shù)【解答】證明：在（0，1）內(nèi)任取x1，x2，令x1x2，則f（x1）f（x2）=（）（）=（x1x2）+=（x1x2）（1），x1，x2（0，1），x1x2，x1x20，10，f（x1）f（x2）0，f（x）=x+在（0，1）上是減函數(shù)在1，+）內(nèi)任取x1，x2，令x1x2，則f（x1）f（x2）=（）（）=（x1x2）+=（x1x2）（1），

11、x1，x21，+），x1x2，x1x20，10，f（x1）f（x2）0，f（x）=x+在1，+上是增函數(shù)13判斷并證明f（x）=在（1，+）上的單調(diào)性【解答】解：f（x）=在（1，+）上的單調(diào)遞減證明如下：在（1，+）上任取x1，x2，令x1x2，f（x1）f（x2）=，x1，x2（1+），x1x2，x2x10，x1+10，x2+10，f（x1）f（x2）0，f（x）=在（1，+）上的單調(diào)遞減14判斷并證明函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性【解答】解：任意取x1，x2（0，2）且0x1x22f（x1）f（x2）=x1+x2=（x1x2）+=（x1x2），0x1x22x1x20，0x1

12、x24，即x1x240，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以f（x）在（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)15求函數(shù)f（x）=的單調(diào)增區(qū)間【解答】解：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）=1的單調(diào)遞增區(qū)間為（，0），（0，+）故答案為：（，0），（0，+）16求證：函數(shù)f（x）=1在區(qū)間（，0）上是單調(diào)增函數(shù)【解答】證明：設(shè)x1x20，則：；x1x20；x1x20，x1x20；f（x1）f（x2）；f（x）在區(qū)間（，0）上是單調(diào)增函數(shù)17求函數(shù)的定義域【解答】解：根據(jù)題意，得，解可得，故函數(shù)的定義域?yàn)?x3和3x518求函數(shù)的定義域【解答】解：由故函數(shù)定義域?yàn)閤|x19根據(jù)下列條件分別求出函數(shù)

13、f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x【解答】解：（1）f（x+）=x2+=（x+）22，即f（x）=x22，（x2或x2）（2）f（x）+2f（）=3x，f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=x20若3f（x）+2f（x）=2x+2，求f（x）【解答】解：3f（x）+2f（x）=2x+2，用x代替x，得：3f（x）+2f（x）=2x+2；×3×2得：5f（x）=（6x+6）（4x+4）=10x+2，f（x）=2x+21求下列函數(shù)的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函數(shù)f（x）為一次函

14、數(shù)，使ff（x）=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）f（）=x2，求f（x）【解答】解：（1）已知f（x+1）=x2 ，令x+1=t，可得x=t1，f（t）=（t1）2，f（x）=（x1）2（2）已知f（）=x，令 =t，求得 x=，f（t）=，f（x）=（3）已知函數(shù)f（x）為一次函數(shù)，設(shè)f（x）=kx+b，k0，ff（x）=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，k=3，b=，或k=3，b=，求f（x）=3x+，或f（x）=3x（4）已知3f（x）f（）=x2，用代替x，可得3f（）f（x）=，由求得f（x）=x2+22已知函數(shù)y=f（x），滿足2f（x）+f（）=2x，xR且

15、x0，求f（x）【解答】解：2f（x）+f（）=2x令x=，則2f（）+f（x）=，×2得：3f（x）=4x，f（x）=x23已知3f（x）+2f（）=x（x0），求f（x）【解答】解：3f（x）+2f（）=x，等號(hào)兩邊同時(shí)以代x，得：3f（）+2f（x）=，由×32×，解得5f（x）=3x，函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=x（x0）24已知函數(shù)f（x+）=x2+（）2（x0），求函數(shù)f（x）【解答】解：x0時(shí)，x+2=2，且函數(shù)f（x+）=x2+（）2=2；設(shè)t=x+，（t2）；f（t）=t22；即函數(shù)f（x）=x22（其中x2）25已知2f（x）+f（x）=3

16、x1，求f（x）【解答】解：2f（x）+f（x）=3x1，2f（x）+f（x）=3x1，聯(lián)立消去f（x），可得f（x）=3x26若2f（x）+f（x）=3x+1，則求f（x）的解析式【解答】解：2f（x）+f（x）=3x+1，用x代替x，得：2f（x）+f（x）=3x+1；×2得：3f（x）=（6x+2）（3x+1）=9x+1，f（x）=3x+27已知4f（x）5f（）=2x，求f（x）【解答】解：4f（x）5f（）=2x，4f（）5f（x）=，×4+×5，得：9f（x）=8x+，f（x）=x28已知函數(shù)f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式【解答】解：令t=+

17、2，（t2），則，x=（t2）2由f（+2）=x2+1，得f（t）=（t2）4+1f（x）=（x2）4+1（x2）29若f（x）滿足3f（x）+2f（x）=4x，求f（x）的解析式【解答】解：f（x）滿足3f（x）+2f（x）=4x，可得3f（x）+2f（x）=4x，×3×2可得：5f（x）=20xf（x）=4xf（x）的解析式：f（x）=4x30已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=3，若a=3，則4b=8，解得b

18、=2，此時(shí)f（x）=3x+2，若a=3，則2b=8，解得b=4，此時(shí)f（x）=3x431求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）【解答】解：（1）令2x+1=t，則x=（t1），f（t）=（t1）2+1，f（x）=（x1）2+1；（2）令m=（m0），則x=，f（m）=，f（x）=（x0）32已知二次函數(shù)滿足f（2x+1）=4x26x+5，求f（x）的解析式【解答】解：（1）令2x+1=t，則x=；則f（t）=4（）26+5=t25t+9，故f（x）=x25x+933已知f（2x）=x2x1，求f（x）【解答】解：令t=2x，則x=t，f（t）=t2t1，f（x）=x2x134已知一次函數(shù)f（x）滿足f（f（f（x）=2x3，求函數(shù)f（x）的解析式【解答】解：設(shè)f（x）=ax+b，f（f（x）=a（ax+b）+b，f（f（f（x）=aa（ax+b）+b+b=2x3，解得：，f（x）=x35已知f（x+2）=x23x+5，求f（x）的解