函數(shù)的極值和最值(講解)

1、函數(shù)的極值和最值【考綱要求】1.掌握函數(shù)極值的定義。2.了解函數(shù)的極值點的必要條件和充分條件. 3.會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值和極小值4.會求給定閉區(qū)間上函數(shù)的最值?！局R網(wǎng)絡】函數(shù)極值的定義函數(shù)極值點條件函數(shù)的極值求函數(shù)極值函數(shù)的極值和最值函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值【考點梳理】要點一、函數(shù)的極值函數(shù)的極值的定義一般地，設函數(shù)在點及其附近有定義，（1）若對于附近的所有點，都有，則是函數(shù)的一個極大值，記作；（2）若對附近的所有點，都有，則是函數(shù)的一個極小值，記作.極大值與極小值統(tǒng)稱極值.在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.要點詮釋：求函數(shù)極值

2、的的基本步驟：確定函數(shù)的定義域；求導數(shù)；求方程的根；檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，則f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，則f(x)在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)要點二、函數(shù)的最值1.函數(shù)的最大值與最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值.如.要點詮釋：函數(shù)的最值點必在函數(shù)的極值點或者區(qū)間的端點處取得。函數(shù)的極值可以有多個，但最值只有一個。2.通過導數(shù)求函數(shù)最值的的基本步驟：若函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在內(nèi)的導數(shù)；（2）求方程在內(nèi)的根；（3）求

3、在內(nèi)使的所有點的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點處的函數(shù)值，；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值.【典型例題】類型一：利用導數(shù)解決函數(shù)的極值等問題例1.已知函數(shù)若函數(shù)處取得極值，試求的值，并求在點處的切線方程；【解析】因為處取得極值所以所以。又所以在點處的切線方程即.舉一反三：【變式1】設為實數(shù)，函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當且時， 【解析】（1）由知令，得于是當變化時，的變化情況如下表：0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，處取得極小值，極小值為(2)證明：設，于是，由(1)知當時，最小值為于是對任意，都有，所以在R

4、內(nèi)單調(diào)遞增于是當時，對任意，都有而，從而對任意即，故【變式2】函數(shù)的定義域為區(qū)間（a，b），導函數(shù)在（a，b）內(nèi)的圖如圖所示，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)的極小值有（）A1個 B2個 C3個 D4個【答案】由極小值的定義，只有點B是函數(shù)的極小值點，故選A。類型二：利用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題【高清課堂：函數(shù)的極值和最值394579 典型例題三】例2.已知函數(shù)其中。 （1）若函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍； （2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；并確定此時是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，請說明理由?！窘馕觥浚?）因為函數(shù)存在零點，則有實根，即（2）當時，函數(shù)定義域為由，則由，則由，則列表如下：+0

5、-0+增極大值減極小值增所以在，上單調(diào)增，在上單調(diào)減。又知當時，；時，；而，所以存在最小值.舉一反三：【變式】已知函數(shù)(),.(1)若曲線與曲線在它們的交點(1,)處具有公共切線,求的值;(2)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間上的最大值.【解析】(1)由為公共切點可得:,則, ,則, 又,即,代入式可得:. (2),設 則,令,解得:,; , 原函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 若,即時,最大值為; 若,即時,最大值為 若時,即時,最大值為. 綜上所述:當時,最大值為;當時,最大值為. 例3.設（）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；（）當時，在1，4上的最小值為，求在該區(qū)間上的

6、最大值 【解析】（）由 當時，的最大值為； 令，得， 所以，當時，在上存在單調(diào)遞增區(qū)間（）令，得兩根， 所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 當時，有， 所以在1，4上的最大值為 又，即， 所以在1，4上的最小值為， 得，從而在1，4上的最大值為舉一反三：【變式1】設函數(shù)求的最小值;【解析】函數(shù)f（x）的定義域為（0，1） 令當時，, 在區(qū)間是減函數(shù)；當時，, 在區(qū)間是增函數(shù).在時取得最小值且最小值為.【變式2】已知函數(shù)f（x）x3ax2bxc在x與x1時都取得極值（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對xÎ1，2，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍?！窘馕觥浚?/p>

7、1）f（x）x3ax2bxc，f¢（x）3x22axb由f¢（），f¢（1）32ab0得a，b2f¢（x）3x2x2（3x2）（x1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：x（¥，）（，1）1（1，¥）f¢（x）00f（x）­極大值¯極小值­所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（¥，）與（1，¥），遞減區(qū)間是（，1）（2）f（x）x3x22xc，xÎ1，2，當x時，f（x）c為極大值，而f（2）2c，則f（2）2c為最大值。要使f（x）<c2（xÎ1，2）恒成立，只需c2>f（2）2c，解得c<1或c>2。類型三：導數(shù)在研究實際問題中最值問題的應用例4.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且假設該容器的建造費用僅與其表面積有關已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為千元設該容器的建造費用為千元 (1)寫出關于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費用最小時的【解析】(1)設容器的容積為V， 由題意知，又， 故 由于，因此 所以建造費用，因此，(2)由