雙曲線離心率

1、 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 難點(diǎn)：雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用和求雙曲線方程 知識歸納 1雙曲線的定義 平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(2a1.2在雙曲線有關(guān)計(jì)算和證明中，要分清焦點(diǎn)在哪個軸上，不知道焦點(diǎn)位置時要分類討論，或直接設(shè)雙曲線方程為Ax2By21(AB0,b0）的左，右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，該雙曲線的離心率最大值為. 利用雙曲線的定義和基本不等式可求得最值.22221xyab212PFPF3 因?yàn)?所以 則 所以 當(dāng)且僅當(dāng) 時取得最小值，此時 又因?yàn)?則6a2c，所以 11. 設(shè)ABC為等腰三角形，ABC

2、=120,則以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 設(shè)ABC=120,由余弦定理得 又因?yàn)殡p曲線以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C，則 所以雙曲線的離心率 故選B.122 132 12 13 B1ABCB ，3AC ，231 21aACBCcAB，21231cceaa 132 ， 已知雙曲線C：x2-y2=4與直線l：y=k(x-1)，討論直線l與雙曲線C的公共點(diǎn)的個數(shù). 將直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x（或y）的方程，若是一元二次方程則可利用判別式求解. y=k（x-1） x2-y2=4，消去y得（1-k2）x2+2k2x-k2-4=0， （*） （1

3、）當(dāng)1-k2=0，即k=1時，方程（*）化為2x=5，方程組一解.故直線與雙曲線有一個公共點(diǎn)，此時直線與漸近線平行.聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 （2）當(dāng)1-k20，即k1時： 由=4(4-3k2)0，得 ，且k1時，方程組有兩解，故直線與雙曲線有兩個公共點(diǎn). 由=4（4-3k2）=0，得時，方程組有一解，故直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，此時直線與雙曲線相切.2 32 333k2 33k 由=4(4-3k2)0，得 或 時，方程組無解，故直線與雙曲線無公共點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)k=1或時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)； 當(dāng)或-1k0,b0)左支上的一點(diǎn),其右焦點(diǎn)為F(c,0),若M為線段FP的中點(diǎn),且M到坐標(biāo)

4、原點(diǎn)的距離為c,則雙曲線的離心率e范圍是( )(A)(1,8. (B)(1,.(C)(,). (D)(2,3.22xa22yb18434353【解析】(1)(法一)由題意得F2的坐標(biāo)為( ,0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ,4),所以|PF1|=2 =6,|PF2|=4,a= =1,b2=c2-a2=1,5522( 5)2642所以雙曲線的方程為x2-=1.(法二)由題意可得F2的坐標(biāo)為( ,0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ,4).設(shè)雙曲線方程為-=1(a0,b0),則有 ,解得.故雙曲線的方程為x2-=1.24y5522xa22yb2222225541abab12ab24y(2)由題意可得=,c2=a2+b2,

5、所以=.(3)設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F與坐標(biāo)原點(diǎn)為O,連結(jié)PF,則|OM|=c,又因?yàn)镸是線段FP的中點(diǎn),所以|PF|=2|OM|=2c=,而|PF|c-a,即c-a得a,得,即e,又e1,故1b0）的兩a條漸近線上，若中點(diǎn)在雙曲線C上，若OA OB=，則2雙曲線的離心率為221223.183 2xPQyFPQFPFQ已知是過雙曲線的左焦點(diǎn) 的一條弦,若, 是雙曲線的右焦點(diǎn),則的周長是 35.,4555155. ; .; .;.32233yxABCD 雙曲線的漸近線方程為則雙曲線的離心率為5或或4D 22226.1.(1,2); .(2,); . 1,2 ;. 2,xyabABCD如果雙曲線右支上

6、總存在到雙曲線的中心與右焦點(diǎn)距離相等的兩個異點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍是B32yx 2 22221.2.(201.11)4913.xyyx泰州期雙曲線的漸近線方程是雙曲線的離心末率是卷2221342.abccea由題知，于是離心率解析：答案D 答案D 答案：D (2009湖南，12)已知以雙曲線C的兩個焦點(diǎn)及虛軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個內(nèi)角為60，則雙曲線C的離心率為_ 解析：如圖，cb，B1F1B260 ()A. 2B.C(20101.3152.32.D)1FBFB設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為 ，虛軸的一個端點(diǎn)為 ，如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為 遼寧卷222

7、222221(00),0(0)()1010(5151220)DxyabbbaxacbbacbF cBbFBbaccaaceeee 不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在 軸上，且設(shè)其方程為，則一個焦點(diǎn)為， ，一條漸近線的斜率為 ，直線的斜率為，所以為，所以，即，即，解析：解得，舍去 答案：(2009寧夏銀川一模)已知雙曲線(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P，使得|PF1|3|PF2|，則雙曲線的離心率e的取值范圍為() 答案：C 變式變式3.已知雙曲線已知雙曲線 1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為F，若若過點(diǎn)過點(diǎn)F且傾斜角為且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一的直

8、線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是()A(1,2 B(1,2) C2，) D(2，) 答案答案：C返回目錄返回目錄 雙曲線雙曲線C： （a0,b0）的右頂點(diǎn)）的右頂點(diǎn)A，x軸上軸上有一點(diǎn)有一點(diǎn)Q（2a，0），若），若C上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn)P，使，使AP，PQ=0，求此雙曲線離心率的取值范圍求此雙曲線離心率的取值范圍.P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則由則由APPQ=0，得，得APPQ，則則P點(diǎn)在以點(diǎn)在以AQ為直徑的圓上，為直徑的圓上，即即 . 又又P點(diǎn)在雙曲線上，得點(diǎn)在雙曲線上，得 . 由由消去消去y，得，得2222xy-=1ab2

9、223a(x- a) +y =()222222xy-=1ab（a2+b2）x2-3a2x+2a4-a2b2=0.即即(a2+b2)x-(2a3-ab2)(x-a)=0.當(dāng)當(dāng)x=a時，時，P與與A重合，不符合題意，舍去重合，不符合題意，舍去.當(dāng)當(dāng)x= 時時,滿足題意的滿足題意的P點(diǎn)存在點(diǎn)存在,需需x= a,化簡得化簡得a22b2,即即3a22c2, .離心率離心率e= (1, ).返回目錄返回目錄 32222a -aba +b32222a -aba +bn0)，且漸近線方程為yx，則雙曲線的焦點(diǎn) () A在x軸上 B在y軸上 C在x軸或y軸上 D無法判斷是否在坐標(biāo)軸上 答案A 解析由雙曲線的漸近

10、線方程為yx，可設(shè)雙曲線的方程為：x2y2，將(m，n)代入x2y2得：m2n20，從而該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上答案B 答案C 4(2010湖南長沙雅禮中學(xué))過雙曲線2x2y220的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|4，則這樣的直線有() A4條B3條C2條D1條 答案B 解析過雙曲線右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若lx軸，則|AB|4；若l經(jīng)過頂點(diǎn)，此時|AB|2，因此當(dāng)l與雙曲線兩支各交于一點(diǎn)A、B時，滿足|AB|4的直線有兩條，故選B.答案D 答案D 答案C 答案B 請同學(xué)們認(rèn)真完成課后強(qiáng)化作業(yè)答案B 2如圖在正方體ABCDA1B1C1D1中，當(dāng)動點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動時，總有：D1AD1M，則動點(diǎn)M在面ABCD內(nèi)的軌跡是()上的一段弧() A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線 答案A 解析因?yàn)闈M足條件的動點(diǎn)在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動時，動點(diǎn)的軌跡是以D1D為軸線，以D1A為母線的圓錐，與平面ABCD的交線即圓的一部分故選A.答案C 答案A 答案2 6中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一個橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1、F2，且|F1F2|2 ，橢圓的長半軸長比雙曲線實(shí)半軸長大4，離心率之比為37. (1)求這兩條曲線的方程； (2)若P為這兩條曲線的一個交點(diǎn)，求cosF1PF2的值 (2)設(shè)F1PF2，由余弦定