一元二次方程的解法總結(jié)(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一元二次方程的解法(直接開平方法、配方法、公式法和分解法)一元二次方程定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax²+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a0）。頂點式： y=a(x-h)²+k(a0,a、h、k為常數(shù))交點式 ： y=a(x-x)(x-x) (a0) 有交點A（x，0）和 B（x，0）的拋物線，即b²-4ac0 .直接開平方法：直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)²=n(n0)的方程，其解為x=m±

2、配方法:1.將此一元二次方程化為ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程滿足有實根) 2.將二次項系數(shù)化為1 3.將常數(shù)項移到等號右側(cè) 4.等號左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方 5.將等號左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式 6.左右同時開平方 7.整理即可得到原方程的根公式法：1.化方程為一般式：ax²+bx+c=0 （a0）2.確定判別式，計算（=b²-4ac）；3.若>0，該方程在實數(shù)域內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根：x=若=0，該方程在實數(shù)域內(nèi)有兩個相等的實數(shù)根:x=x=若<0，該方程在實數(shù)域內(nèi)無實數(shù)根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法

3、”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種），另外還有“十字相乘法”，因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內(nèi)容在八年級上學期學完。用因式分解法解一元二次方程的步驟1. 將方程右邊化為0；2. 將方程左邊分解為兩個一次式的積；3. 令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；4. 解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax²+bx+c(a0)。(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或極大（?。┲禃r，可設解析式為頂點式：y=a(x-h

4、)²+k(a0)。(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a0)。增減性當a>0且y在對稱軸右側(cè)時，y隨x增大而增大，y在對稱軸左側(cè)則相反，同增同減。當a<0且y在對稱軸右側(cè)時，y隨x增大而減小，y在對稱軸左側(cè)則相反，大小小大。常用公式總結(jié)：  ；   一、 根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關于的方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根，且關于的方程（2）沒有實數(shù)根，問取什么整數(shù)時，方程（1）有整數(shù)解？分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。解：方

5、程（1）有兩個不相等的實數(shù)根，解得；方程（2）沒有實數(shù)根 ， 解得；于是，同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是其中，的整數(shù)值有或當時，方程（1）為，無整數(shù)根；當時，方程（1）為，有整數(shù)根。解得： 所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是。說明：熟悉一元二次方程實數(shù)根存在條件是解答此題的基礎，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號。例1：不解方程，判別方程兩根的符號。分析：對于來說，往往二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負，

6、則需要確定 或的正負情況。因此解答此題的關鍵是：既要求出判別式的值，又要確定 或的正負情況。解：，4×2×(7)650 方程有兩個不相等的實數(shù)根。 設方程的兩個根為， 0 原方程有兩個異號的實數(shù)根。 說明：判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關系”結(jié)合起來進行確定，另外由于本題中0，所以可判定方程的根為一正一負；倘若0，仍需考慮的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。三、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數(shù)的值。 例2：已知方程的一個根為2，求另一個根及的值。 分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過解方

7、程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系求出另一個根及的值。解法一：把代入原方程，得： 即， 解得當時，原方程均可化為：， 解得：方程的另一個根為4，的值為3或1。解法二：設方程的另一個根為，根據(jù)題意，利用韋達定理得：， ，把代入，可得： 把代入，可得：，即 解得 方程的另一個根為4，的值為3或1。 說明：比較起來，解法二應用了韋達定理，解答起來較為簡單。例3：已知方程有兩個實數(shù)根，且兩個根的平方和比兩根的積大21，求的值。 分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關于的方程，即可求得的值。 解：方程有兩個實數(shù)根， ，解得0 設方程兩根為

8、;則， 整理得： 解得： 又， 說明：當求出后，還需注意隱含條件，應舍去不合題意的。 四、運用判別式及根與系數(shù)的關系解題。 例5：已知、是關于的一元二次方程的兩個非零實數(shù)根，問和能否同號？若能同號，請求出相應的的取值范圍；若不能同號，請說明理由， 解：因為關于的一元二次方程有兩個非零實數(shù)根， 則有 又、是方程的兩個實數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關系，可得： 假設、同號，則有兩種可能： （1） （2） 若， 則有： ；即有：,解不等式組得時方程才有實樹根，此種情況不成立。若 ， 則有：;即有：,解不等式組，得；又，當時，兩根能同號 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關系深刻揭示了一元二次方程中根

9、與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析研究有關一元二次方程根的問題的重要工具，也是計算有關一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應是同學們重點練習的內(nèi)容。六、運用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關系解題。 例：已知、是方程的兩個實數(shù)根，求的值。 分析：本題可充分運用根的意義和根與系數(shù)的關系解題，應摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡解。 解法一：由于是方程的實數(shù)根，所以 設，與相加，得： ） （變形目的是構(gòu)造和）根據(jù)根與系數(shù)的關系，有： ， 得： =0 解法二：由于、是方程的實數(shù)根， 說明：既要熟悉問題的常規(guī)解法

10、，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標志，是努力的方向。有關一元二次方程根的計算問題，當根是無理數(shù)時，運算將十分繁瑣，這時，如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。 七、運用一元二次方程根的意義及判別式解題。 例8：已知兩方程和至少有一個相同的實數(shù)根，求這兩個方程的四個實數(shù)根的乘積。 分析：當設兩方程的相同根為時，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關于和的二元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關系求值。 解：設兩方程的相同根為， 根據(jù)根的意義，有 和 兩式相減，得 當時

11、， ，方程的判別式方程無實數(shù)解當時， 有實數(shù)解 代入原方程，得，所以于是，兩方程至少有一個相同的實數(shù)根，4個實數(shù)根的相乘積為 說明：（1）本題的易錯點為忽略對的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認的錯誤，甚至還會得出并不存在的解： 當時，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個根的相乘積為：；（2）既然本題是討論一元二次方程的實根問題，就應首先確定方程有實根的條件：且另外還應注意：求得的的值必須滿足這兩個不等式才有意義。一、填空題：1、如果關于的方程的兩根之差為2，那么 。2、已知關于的一元二次方程兩根互為倒數(shù)，則 。3、已知關于的方程的兩根為，且，則 。4、已知是方程的兩個根，那么： ； 。

12、5、已知關于的一元二次方程的兩根為和，且，則 ； 。6、如果關于的一元二次方程的一個根是，那么另一個根是 ，的值為 。7、已知是的一根，則另一根為 ，的值為 。8、一個一元二次方程的兩個根是和，那么這個一元二次方程為： 。二、求值題：1、已知是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求的值。2、已知是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求的值。3、已知是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求的值。4、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。5、已知關于x的方程的兩根滿足關系式，求的值及方程的兩個根。 6、已知方程和有一個相同的根，求的值及這個相同的根。三、能力提升題：1、實數(shù)在什么范圍取值時，方程有正的實數(shù)根？ 2、已知關于的一元二次方程（1