北師大版七年級(jí)上冊(cè)實(shí)際問題與一元一次方程典型例題

1、實(shí)際問題與一元一次方程典型例題例1 兩站間的路程為448千米，一列慢車從A站出發(fā)，每小時(shí)行駛60千米；一列快車從B站出發(fā)，每小時(shí)行駛80千米問：（1）兩車同時(shí)開出，相向而行，出發(fā)后多少小時(shí)相遇？（2）兩車相向而行，慢車先行28分鐘，快車開出后多少小時(shí)兩車相遇？（3）兩車同時(shí)開出，同向而行，如果慢車在前，出發(fā)后多少小時(shí)快車追上慢車？分析：本例中（1）（2）屬相遇問題，（3）屬追及問題，它們可借助示意圖分析等量關(guān)系：（1）由上圖可知：慢車走的路程快車走的路程全程448千米（2）由上圖可知：慢車提前行駛的路程快車出發(fā)后慢車行駛的路程快車行駛的路程全程（3）由上圖可知：快車行駛的路程慢車行駛的路程全程

2、448千米解：（1）設(shè)兩車行駛x小時(shí)相遇，依題意，有解這個(gè)方程，得 答 兩車出發(fā)3.2小時(shí)后相遇（2）設(shè)快車開出后x小時(shí)兩車相遇，依題意得解這個(gè)方程，得答 快車開出后3小時(shí)兩車相遇（3）設(shè)兩車出發(fā)后x小時(shí)快車追上慢車，依題意得 解得 答 兩車出發(fā)后22.4小時(shí)快車追上慢車說明：行程問題一般有三種類型：（1）相遇問題；（2）追及問題；（3）流水問題其基本等量關(guān)系分別是：（1）相遇問題；兩者路程之和全程（2）追及問題：快者路程慢者路程被追路程（3）流水問題：順?biāo)俣褥o水速度水速；逆水速度靜水速度水速例2 某人將甲、乙兩種股票同時(shí)賣出，其中甲種股票賣價(jià)1 200元，盈利20；乙種股票也賣1200元，

3、但虧損20，該人此次交易結(jié)果是盈利還是虧損？分析：兩種股票共賣了2 400元，是盈利還是虧損要看這個(gè)人買進(jìn)這兩種股票時(shí)共花了多少錢，如果買入的價(jià)格小于2 400元，則在這次交易中賺錢；反之，此人在這次交易中虧損假設(shè)一支股票的買入價(jià)為1000元，如果賣出后盈利20，那么股票盈利潤(rùn)是1000×20；如果賣出后虧損20，股票利潤(rùn)是1000 ×（20）元解；設(shè)甲種股票的買進(jìn)價(jià)為x元，乙種股票的買進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)賣價(jià)，可列解得（元）答：兩種股票合計(jì)虧100元說明：此題要判斷盈虧，須知股票的賣價(jià)與買價(jià)的差值，而求出每種股票的買價(jià)是關(guān)鍵例3 某商品的進(jìn)價(jià)是2 000元，標(biāo)價(jià)為3 000元

4、，商店要求以利潤(rùn)率不低于5的售價(jià)打折出售，售貨員最低可以打幾折出售此商品？分析：根據(jù)利潤(rùn)率，進(jìn)行計(jì)算解：設(shè)售價(jià)為x元，則，解得（元）因此，所以，售貨員最低可以打7折出售此商品說明：此題為利潤(rùn)率問題，利用等量關(guān)系：利潤(rùn)率，求解；為十分之幾即為幾折例4 下表紀(jì)錄的是一次試驗(yàn)中聲音在空氣中的傳播速度與氣溫的相關(guān)數(shù)據(jù)氣溫/05101520音速（米/秒）331334337340343（1）如果音速的變化是均勻的，你能求出當(dāng)音速為338.2米秒時(shí)的氣溫嗎？（2）當(dāng)氣溫22時(shí)，某人看到煙花燃放5秒后才聽到聲音，那么此人與燃放的煙花所在地約相距多遠(yuǎn)？解：（1）設(shè)氣溫為x時(shí)，則由表可知聲音的速度是米秒，可列移項(xiàng)

5、及合并，得答：當(dāng)音速為338.2米秒時(shí)的氣溫為12（2）當(dāng)時(shí)，答：此人與燃放的煙花所在地約相距1721米說明：解決此問題要明確音速與溫度之間的變化規(guī)律，從而已知?dú)鉁乜汕笠羲?；反之亦然同時(shí)還應(yīng)明確空氣中聲音的傳播速度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光的傳播速度例5 某項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做需4小時(shí)，乙單獨(dú)做需6小時(shí)，甲先做30分鐘，然后甲、乙合作，問甲、乙合作還需多少小時(shí)才能完成全部工作？分析：設(shè)甲、乙合作還需x小時(shí)才能完成全部工作列出兩人的工作效率、工作時(shí)間、工作量情況表（下表）從表中，可得等量關(guān)系：甲完成工作量乙完成工作量總的工作量工作效率工作時(shí)間完成工作量甲乙解：如分析中所設(shè)，根據(jù)題意可得：，解得答 甲、乙合作還要2

6、.1小時(shí)才能完成全部工作說明：分析工程問題時(shí)，往往把工作總量作為1來(lái)考慮，每人的工作效率是相應(yīng)各人單獨(dú)完成工作總量所需時(shí)間的倒數(shù)，然后列出每人的工作效率、工作時(shí)間、完成工作量的情況表去找等量關(guān)系就很容易了例6 某工人按原計(jì)劃每天生產(chǎn)20個(gè)零件，到預(yù)定期限還有100個(gè)零件不能完成，若提高工效25，到期將超額完成50個(gè)，問此工人原計(jì)劃生產(chǎn)零件多少個(gè)？預(yù)定期限是多少天？分析：若設(shè)預(yù)定期限為三天，則由生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)找等量關(guān)系，若設(shè)生產(chǎn)零件（原計(jì)劃）為x個(gè)，則由完成的時(shí)間找等量關(guān)系解法1：設(shè)預(yù)定期限為x天，則解得（天）30×20100700（個(gè)）所以，此工人原計(jì)劃生產(chǎn)零件700個(gè)，預(yù)定期限為3

7、0天解法2：設(shè)原計(jì)劃生產(chǎn)零件x個(gè)，則解得（個(gè)），（天）所以，此工人原計(jì)劃生產(chǎn)零件700個(gè)，預(yù)定期限為30天說明：此題為工程問題，利用相關(guān)公式：工作量工作效率×工作時(shí)間求解；運(yùn)用的方法不同（設(shè)法不同），找的等量關(guān)系也不相同，難易也不相同例7 男女生有若干人，男生與女生人數(shù)之比為4：3，后來(lái)走了12名女生，這時(shí)男生人數(shù)恰好是女生的2倍求原來(lái)的男生和女生的人數(shù)分析：本題的等量關(guān)系為女生人數(shù)走了的人數(shù)男生人數(shù)的一半設(shè)男生人數(shù)為4x人，則女生人數(shù)為3x人，分析等量關(guān)系可列表為：左邊女生人數(shù)3x人，走了12人右邊男生人數(shù)4x人的一半解：設(shè)原有男生人數(shù)為4x人，女生人數(shù)為3x人，則依題意，有解得

8、則答；原有男生48人，原有女生36人說明：本例依據(jù)題中的比例關(guān)系設(shè)未知數(shù)，避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，使計(jì)算簡(jiǎn)便，這是解比例問題的常用方法例8 已知某一鐵路橋長(zhǎng)1000米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測(cè)得火車從開始上橋到完全過橋共用1分鐘，整個(gè)火車完全在橋上的時(shí)間為40秒求火車的速度分析：本題要分清“火車過橋”與“火車在橋上”的不同點(diǎn)及每種情況火車所走路程設(shè)火車長(zhǎng)為x米，則火車完全在橋上共走路程為米，速度表示為（米秒），火車過橋共行駛路程為米，速度可表示的（米秒），這兩個(gè)速度相等，畫圖表示為火車完全在橋上：火車一開始上橋到完全離橋：解：設(shè)火車長(zhǎng)為x米，依題意，得解方程，得則 答 火車長(zhǎng)度為200米，火車行駛速度

9、為20米秒說明：與車上（離）橋問題相似的還有“排頭挑尾”問題在行進(jìn)的隊(duì)伍中，A從排尾到排頭屬追及問題，從排頭到排尾是相遇問題設(shè)隊(duì)伍速度為，長(zhǎng)度為，A的速度為，時(shí)間為t，則這兩種情形分別有等量關(guān)系式為：，分析問題的關(guān)鍵是不能把隊(duì)伍看成不動(dòng)、只有A在動(dòng)的情形例9 有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小3，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和等于這個(gè)兩位數(shù)的，求這個(gè)兩位數(shù)分析：由已知“十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和等于這個(gè)兩位數(shù)的”找等量關(guān)系解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為，根據(jù)題意，得解得 所以，這個(gè)兩位數(shù)為36說明：此題為數(shù)字問題，等量關(guān)系由題目已知的條件找出；表示這個(gè)兩位數(shù)時(shí)，注意將

10、十位上的數(shù)字乘以10后加上個(gè)位上的數(shù)字例10 我國(guó)很多城市水資源缺乏，為了加強(qiáng)居民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，很多城市制定了用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，A市規(guī)定了每戶每月的標(biāo)準(zhǔn)用水量，不超過標(biāo)準(zhǔn)用水量的部分按每立方米1.2元收費(fèi)，超過標(biāo)準(zhǔn)用水量的部分按每立方米3元收費(fèi)該市張大爺家5月份用水9立方米，需交費(fèi)16.2元A市規(guī)定的每戶標(biāo)準(zhǔn)用水量是多少立方米？分析：由于，因此9立方米超過標(biāo)準(zhǔn)用水量，因此等量關(guān)系為：總收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)用水量交費(fèi)超過標(biāo)準(zhǔn)用水量交費(fèi)解：設(shè)每戶標(biāo)準(zhǔn)用水量為x立方米，由題意知，因此，解得（立方米）所以，A市規(guī)定的每戶標(biāo)準(zhǔn)用水量為6立方米例11 某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本價(jià)是400元，銷售價(jià)是510元，本季度銷售了m件，為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，該企業(yè)決定在降低售價(jià)的同時(shí)降低生產(chǎn)成本，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，