單個樣本數(shù)據(jù)的參數(shù)估計

1、第五章 單個樣本數(shù)據(jù)的參數(shù)估計一、均數(shù)（率）的抽樣誤差在同一總體中隨機(jī)抽取樣本含量相同的若干樣本時，樣本指標(biāo)之間的差異以及樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)的差異，稱為抽樣誤差。統(tǒng)計學(xué)上，由于抽樣而產(chǎn)生的同一總體中均數(shù)之間的差異稱為均數(shù)的抽樣誤差，率之間的差異稱為率的抽樣誤差。在抽樣研究中，抽樣誤差是不可避免的，只要存在抽樣，就有抽樣誤差；因為抽樣誤差產(chǎn)生的根本原因是客觀存在的個體變異。（一）樣本均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤從正態(tài)總體N（m, s2）中，隨機(jī)抽取樣本含量為n的若干樣本，各樣本均數(shù)的分布服從正態(tài)分布N（m,），各樣本均數(shù)的總體均數(shù)為m ，標(biāo)準(zhǔn)差為。 可按下列公式計算為樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，又稱為標(biāo)準(zhǔn)誤，它反映了樣本均

2、數(shù)之間的離散程度，也反映了均數(shù)抽樣誤差的大小。在實際應(yīng)用中，總體標(biāo)準(zhǔn)差s 常常未知，需要用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來估計。因此均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的估計值為 由公式，當(dāng)樣本含量n固定時，均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差成正比；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差固定時，均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤與樣本含量n的平方根成反比，即在同一總體中隨機(jī)抽樣，樣本含量n越大，抽樣誤差越小。所以在實際工作中減小均數(shù)抽樣誤差的一個重要途徑是增加樣本含量n。（二）率標(biāo)準(zhǔn)誤從一個陽性率為 p 的總體中，隨機(jī)抽取樣本含量為n的若干個樣本，得到各樣本率之間的差異以及樣本率與總體率的差異，用率的標(biāo)準(zhǔn)差，又稱率的標(biāo)準(zhǔn)誤來描述。樣本率p 的標(biāo)準(zhǔn)差，它反映了樣本率之間的離散程度；也反映了率抽樣誤差的大

3、小。在實際應(yīng)用中，總體率p 常常未知，需要用樣本率p作為總體率 p 的估計值 。 二、t分布的特征t 分布是一簇曲線，因為t值的分布與自由度n 有關(guān)。其圖形有如下特征：以0為中心，左右對稱的單峰分布。自由度n = n-1越小，則t值越分散，曲線變得越低平，尾部翹得越高。隨著自由度n 逐漸增大時，t分布逐漸逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；當(dāng)n 趨于¥ 時，t分布就完全成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 t界值表與自由度 n 有關(guān)。在相同自由度時t值越大，概率P越??；在相同t值時，雙側(cè)概率P為單側(cè)概率P的兩倍。三、參數(shù)估計的概念抽樣研究的目的是用樣本的信息推斷總體特征，這叫統(tǒng)計推斷。統(tǒng)計推斷包括：參數(shù)估計和假設(shè)檢驗。

4、參數(shù)估計是指用樣本指標(biāo)（稱為統(tǒng)計量）估計總體指標(biāo)（稱為參數(shù)）。用樣本均數(shù)估計總體均數(shù)以及用樣本率估計總體率。點(diǎn)估計直接用樣本的統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的估計值的方法稱為點(diǎn)估計。點(diǎn)估計的方法簡單，但缺點(diǎn)是沒有考慮抽樣誤差，而抽樣誤差在抽樣研究中是不可忽視的。區(qū)間估計區(qū)間估計：按一定的概率估計總體參數(shù)所在的范圍的方法。可信區(qū)間：總體參數(shù)的所在范圍，該區(qū)間以一定的概率（如95%或99%）包含總體參數(shù)。四、可信區(qū)間的計算總體均數(shù)可信區(qū)間的計算根據(jù)總體標(biāo)準(zhǔn)差s 是否已知及樣本含量n的大小，總體均數(shù)可信區(qū)間的計算有t分布和u分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）兩種方法。t分布方法當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差s未知時，根據(jù)t分布的原理得到總體均

5、數(shù)可信區(qū)間為（-ta/2, n ，+ ta/2, n）或縮寫為± ta/2, n u分布方法（1）當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差s 已知時，根據(jù)u分布的原理得到總體均數(shù)可信區(qū)間為（-ua/2，+ ua/2）或縮寫為± ua/2 即總體均數(shù)的95%可信區(qū)間為±1.96，99%可信區(qū)間為±2.58。（2）當(dāng)s 未知但n足夠大時（n > 50），t分布近似u分布，可以用ua/2代替ta/2, n，總體均數(shù)可信區(qū)間為： （-ua/2，+ ua/2）或縮寫為± ua/2 即總體均數(shù)的95%可信區(qū)間為±1.96，99%可信區(qū)間為±2.58?？傮w率可

6、信區(qū)間的計算根據(jù)樣本含量n和樣本率p的大小，可以采用查表法和正態(tài)近似法。第六章 樣本均數(shù)比較的假設(shè)檢驗一、假設(shè)檢驗的基本原理和基本步驟建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)1.建立檢驗假設(shè)：無效假設(shè)，H0。例6.1 H0：=0，兩總體均數(shù)相等。備擇假設(shè)，H1。例6.1 H1：m¹m0，兩總體均數(shù)不相等。有時為單側(cè)檢驗。2.確定檢驗水準(zhǔn)：檢驗水準(zhǔn)，a。a 是預(yù)先規(guī)定的概率值，它是“是否拒絕H0的界限”。研究者可以根據(jù)研究目的規(guī)定a的大小，通常a取0.05。選定檢驗方法，計算檢驗統(tǒng)計量要根據(jù)統(tǒng)計推斷的目的、研究設(shè)計的類型和樣本量的大小等適用條件，選用不同的檢驗方法和計算相應(yīng)的統(tǒng)計量。3.確定P值，作

7、出推斷結(jié)論P(yáng)值是指從H0所規(guī)定的總體中作隨機(jī)抽樣，獲得等于及大于（或等于及小于）現(xiàn)有樣本的檢驗統(tǒng)計量值（如t值或u值）的概率。將概率P與檢驗水準(zhǔn)a比較，從而得出結(jié)論：當(dāng)P £ a 時，按所取檢驗水準(zhǔn)a，拒絕H0，接受H1。結(jié)合實際資料作出推斷。這樣作出結(jié)論的理由是：在H0成立的條件下，出現(xiàn)等于及大于現(xiàn)有檢驗統(tǒng)計量值的概率P £ a，是小概率事件，這在一次抽樣中是不大可能發(fā)生的，即現(xiàn)有的樣本信息不支持H0，因而我們拒絕它。當(dāng)P > a 時，按所取的檢驗水準(zhǔn)a，尚不能拒絕H0。結(jié)合實際資料作出推斷。一般是將計算得到的檢驗統(tǒng)計量與相應(yīng)的統(tǒng)計用表（見附錄）中的a對應(yīng)的臨界值比

8、較，確定P £ a或P > a。t檢驗和u檢驗t檢驗的適用條件：樣本含量n較小時，理論上要求樣本來自正態(tài)分布的總體。完全隨機(jī)設(shè)計的兩個小樣本均數(shù)比較時還要求兩總體方差相等。但在實際應(yīng)用時，與上述條件略有偏離，對結(jié)果也影響不大。習(xí)慣規(guī)定樣本含量小于或等于50（n£ 50）為小樣本。u檢驗的適用條件：總體標(biāo)準(zhǔn)差s 已知（該情況不常見）。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差s未知，但樣本含量n較大（一般n> 50）。選用u檢驗。u檢驗在手工計算時的方便之處是計算結(jié)果不用查u界值表，只要記住幾個常用的u界值。二、t檢驗（一）樣本均數(shù)與已知總體均數(shù)比較的t檢驗又稱為單樣本t檢驗?！耙阎傮w均數(shù)”

9、一般為理論值、標(biāo)準(zhǔn)值或經(jīng)過大量觀察所得到的穩(wěn)定值等。令已知總體均數(shù)為m0，樣本均數(shù)所代表的未知總體均數(shù)為m ，假設(shè)檢驗的目的：推斷樣本均數(shù)所代表的未知總體均數(shù)m 與已知總體均數(shù)m0是否相等（雙側(cè)檢驗）。（二）、完全隨機(jī)設(shè)計的兩樣本t檢驗又稱為成組t檢驗或兩個獨(dú)立樣本t檢驗。完全隨機(jī)設(shè)計是指分別從兩個研究總體中隨機(jī)抽取樣本，目的是推斷這兩個獨(dú)立樣本所代表的未知總體均數(shù)m1與m2是否相等。在作t檢驗之前，理論上應(yīng)先檢驗相應(yīng)的兩總體方差是否相等，即一般先作方差齊性檢驗。若兩總體方差相等，可以采用兩樣本t檢驗；若兩總體方差不等，則可以采用以下方法： t檢驗；變量變換 所謂變量變換是將原始數(shù)據(jù)作某種函數(shù)

10、轉(zhuǎn)換（如轉(zhuǎn)換為對數(shù)值等），可使轉(zhuǎn)換后的資料達(dá)到方差齊性 ，再作完全隨機(jī)設(shè)計的兩樣本t檢驗； 秩和檢驗。（三）、配對t檢驗適用于：（1）配對設(shè)計：根據(jù)某些條件選擇實驗對象，使每一對兩個個體在這些條件盡盡可能相同或相近，更好的保證可比性。再隨機(jī)將兩個個體給予不同的處理。（2）同一受試對象接受不同的處理（如同一份標(biāo)本分成兩部分）。配對設(shè)計的目的是推斷兩種處理結(jié)果有無差別。（3）同一受試對象處理前后的結(jié)果進(jìn)行比較。嚴(yán)格來說，自身對照設(shè)計有其相應(yīng)的統(tǒng)計學(xué)方法，但在這里仍然可以用配對t檢驗方法。配對t檢驗的基本原理：假設(shè)兩種處理結(jié)果無差別，則同一對子中不同處理的差值d的總體均數(shù)md應(yīng)為0（md = 0）。

11、若差值的總體均數(shù)md不為0（md ¹ 0），則說明兩種處理的結(jié)果有差別。因此配對設(shè)計假設(shè)檢驗的目的是檢驗差值的總體均數(shù)md是否為0。三、u檢驗（一）、樣本均數(shù)與已知總體均數(shù)比較的u檢驗1當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差s已知時，2當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差s未知，n較大時， （二）完全隨機(jī)設(shè)計的兩樣本u檢驗用于總體標(biāo)準(zhǔn)差s未知且兩樣本含量較大時的兩樣本均數(shù)比較，目的是推斷兩總體均數(shù)是否不同。檢驗統(tǒng)計量u值的計算公式如下四、 假設(shè)檢驗的注意事項1、良好的設(shè)計是假設(shè)檢驗的前提統(tǒng)計學(xué)處理的主要是抽樣誤差，設(shè)計和實施時造成的偏倚統(tǒng)計學(xué)無能為。2、選擇的假設(shè)檢驗方法應(yīng)符合其應(yīng)用條件根據(jù)研究設(shè)計類型檢驗?zāi)康暮唾Y料的性質(zhì)選擇檢驗方

12、法。計量資料根據(jù)總體標(biāo)準(zhǔn)差是否已知或樣本量大小選擇u 檢驗或t檢驗。根據(jù)設(shè)計類型選配對t或u檢驗及成組的t或u檢驗。3、正確理解假設(shè)檢驗過程中，樣本均數(shù)與總體均數(shù)的關(guān)系 假設(shè)檢驗是通過對樣本信息的比較，推斷他們代表的總體是否有差異。如對兩個樣本均數(shù)的比較，推斷他們所代表的總體均數(shù)是否不同。其假設(shè)及結(jié)論都是關(guān)于總體的。4、正確理解“差別有統(tǒng)計學(xué)意義”的含義P £ a 時，按所取檢驗水準(zhǔn)a，“拒絕H0，接受H1”，稱為差別有統(tǒng)計學(xué)意義?？烧J(rèn)為兩個總體均數(shù)不同；不能直接回答差異的大小，并不意味著兩個總體均數(shù)相差很大。差別的大小及差別有無實際意義只能進(jìn)一步根據(jù)專業(yè)知識來確定。P > a 時，稱為差別無統(tǒng)計學(xué)意義，尚不能認(rèn)為兩個總體均數(shù)不同。五 方差分析兩個樣本