高等數(shù)學 極限的運算法則與性質

1、上頁下頁鈴結束返回首頁1主要內容：主要內容：一、一、極限的運算法則極限的運算法則 二、二、極限的性質極限的性質第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第三節(jié)第三節(jié) 極限的運算法則與性質極限的運算法則與性質上頁下頁鈴結束返回首頁2一、極限運算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設設上頁下頁鈴結束返回首頁3推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.)

2、(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果推論推論2 2上頁下頁鈴結束返回首頁4二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim)1(lim2232 xxxxx.37 3123 上頁下頁鈴結束返回首頁5小結小結: :則有則有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxa

3、xa 10100).(0 xf 則有則有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則商的法則不能應用則商的法則不能應用若若 xQ上頁下頁鈴結束返回首頁6解解例例2 2.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.后再求極限后再求極限先約去零因子先約去零因子1 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)上頁下頁鈴結束返回首頁7

4、例例3 3.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,再再求求極極限限去去除除分分子子分分母母先先用用3x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 上頁下頁鈴結束返回首頁8小結小結: :為非負整數(shù)時有為非負整數(shù)時有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當上頁下頁鈴結束返回首頁9例例4 4).21(lim222nnnnn 求求解解是無限多個無窮小之和是無限多個無窮小之和時時, n222221lim)21(

5、limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.上頁下頁鈴結束返回首頁10例例5 5).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設設yox1xy 112 xy解解兩兩個個單單側側極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點點 ,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故上頁下頁鈴結束返回首頁11.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxa

6、xxxuauxxauxx 時的極限也存在，且時的極限也存在，且當當則復合函數(shù)則復合函數(shù)，又，又的某去心鄰域內的某去心鄰域內但在點但在點，即，即時的極限存在且等于時的極限存在且等于當當運算法則）設函數(shù)運算法則）設函數(shù)定理（復合函數(shù)的極限定理（復合函數(shù)的極限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：上頁下頁鈴結束返回首頁12例例6 6.sinlnlim2xx 求求解解故原式故原式0 xusin 令令1sinlim2因為因為xx ulnlim1u 1ln上頁下頁鈴結束返回首頁13求極限類型小結1、極限的四則運算法則及其推論、極限的四則運算法則及其推論

7、;2、極限求法、極限求法;a.多項式與分式函數(shù)代入法求極多項式與分式函數(shù)代入法求極限限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.同除最大者法求極限同除最大者法求極限;d.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.e.利用無窮小運算性質求極限利用無窮小運算性質求極限;3、復合函數(shù)的極限運算法則、復合函數(shù)的極限運算法則上頁下頁鈴結束返回首頁14三、極限的性質-P361. 函數(shù)極限的局部有界性函數(shù)極限的局部有界性2. 函數(shù)極限的唯一性函數(shù)極限的唯一性.)( 0 , 00 ,)(lim00MxfxxMAxfxx有有時，時，使得當使得當和和那么存在常數(shù)那么存在常數(shù)如果如果上頁下頁鈴結束

8、返回首頁153. 函數(shù)極限的局部保號性函數(shù)極限的局部保號性).0)(0)(0 , 0),0(0 ,)(lim 00 xfxfxxAAAxfxx或或時，有時，有使得當使得當存在常數(shù)存在常數(shù)那么那么或或且且如果如果上頁下頁鈴結束返回首頁16思考題思考題 在某個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 問題討論上頁下頁鈴結束返回首頁17思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設假設 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運算法則可知：由極限運算法則可知： )()()()(x

9、fxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設錯誤故假設錯誤上頁下頁鈴結束返回首頁18內容小結內容小結一、極限的運算法則一、極限的運算法則 1、極限的四則運算法則；、極限的四則運算法則； 2、復合函數(shù)的極限運算法則。、復合函數(shù)的極限運算法則。二、極限的性質二、極限的性質 1、唯一性；、唯一性； 2、局部有界性；、局部有界性； 3、局部保號性。、局部保號性。上頁下頁鈴結束返回首頁19。和和求求、設、設)1()1(,)(1 ffxxf習題演練習題演練時的極限是否存在。時的極限是否存在。并說明它們在并說明它們在時的左右極限，時的左右極限，當當、求函數(shù)、求函數(shù)00)(,)(2 xxxxxgxxxf上頁下頁鈴結束返回首頁20、求下列極限：、求下列極限：3;122lim)1(221 xxxx;112lim)2(221 xxxx;21lim)3(22xxxx ;1lim)4(42 xxxxx;)(lim)5(220hxhxh .11321211lim)6( nnn