高等數(shù)學(xué)洛必達法則教學(xué)ppt

1、第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 一一. .未定式未定式二二. .洛必達法則洛必達法則本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :三三. .其他類型未定式的極限其他類型未定式的極限第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 如果當(dāng)如果當(dāng)xx0（或（或x ）時，兩個函數(shù)時，兩個函數(shù) f(x)和和g(

2、x) 的極限都為零或都趨于無窮大，極限的極限都為零或都趨于無窮大，極限)()(lim()()(limxgxfxgxfxxx或或0通常稱為未定式，分別記為通常稱為未定式，分別記為 。 和和00（1）0,0 （2）0, （3）000 ,1 一、未定式一、未定式第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 )00()( 例如例如, ,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxxlimxxx e ，0limxxx ，120arcsinlim()xxxx01lim(ln)xxx 11lim()1lnxxxx 0001 0 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)

3、第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 定理定理3.3.1（洛必達法則）（洛必達法則）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 、g(x) 滿足：滿足：（1） ；（2） f(x) 、g(x)在在x0的某去心鄰域的某去心鄰域 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，且且 g (x) 0；（3） （A為有限數(shù)，也可為無窮大）為有限數(shù)，也可為無窮大）則則 00lim( )0, lim( )0 xxxxf xg x0(, )N x 0( )lim( )xxfxAg x 00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxAg xg x 二、洛必達法則二、洛必達法則第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 1) 1) 應(yīng)

4、用洛必達法則時，是通過分子與分母應(yīng)用洛必達法則時，是通過分子與分母分別求分別求導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)來確定未定式的極限，而不是求商的導(dǎo)數(shù)來確定未定式的極限，而不是求商的導(dǎo)數(shù). .2)2)上述定理對上述定理對“ ”“ ”型或型或“ ”“ ”型的極限均成型的極限均成立，其它類型的不定型需要轉(zhuǎn)化為以上兩種類型后立，其它類型的不定型需要轉(zhuǎn)化為以上兩種類型后才能使用洛必達法則。才能使用洛必達法則。00 定理的證明定理的證明第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 不是未定式不能用洛必達法則不是未定式不能用洛必達法則 !例例1 求求0sin2lim3xxx0sin2lim3xxx0(sin2

5、 )lim(3 )xxx 02cos2lim3xx 23 )00(002cos2(2cos2 )limlim3(3)xxxx 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 方法一：方法一：例例2 求求4216lim2xxx 4216lim2xxx 324lim1xx 32 )00(方法二：方法二：4216lim2xxx 22(2)(2)(4)lim2xxxxx 22(2)(4)lim1xxx 32 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 sin5limsin2xxx 例例3 求求sin5limsin2xxx (sin5 )lim(s

6、in2 )xxx 5cos5lim2cos2xxx 5522 )00(解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 2lim1xxx 21limxxx 用洛必達法則用洛必達法則3) 在很多情況下，要與其它求極限的方法（如在很多情況下，要與其它求極限的方法（如21limxxx 例如例如,而而21limxxx 21lim1xx1 才能達到運算簡捷的目的才能達到運算簡捷的目的.等價無窮小等價無窮小代換或重要極限等）綜合使用，代換或重要極限等）綜合使用，注意：注意：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 20sinlimsinxxxxx 例例4

7、 求求20sinlimsinxxxxx 20sinlimxxxxx 30sinlimxxxx 201coslim3xxx )00(等價無窮小代換等價無窮小代換洛必達法則洛必達法則22012lim3xxx 16 00sin1limlim666xxxxxx解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 arctan2lim1xxx 例例5 求求arctan2lim1xxx 2211lim1xxx 2lim12xxx22lim1xxx )00( 可多次使用洛必達法則，但在反復(fù)使用法則時，要時可多次使用洛必達法則，但在反復(fù)使用法則時，要時刻注意檢查是否為未定式，若不是未定式，

8、不可使用刻注意檢查是否為未定式，若不是未定式，不可使用法則。法則。解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 0lntan3limlntan2xxx 例例6 求求0lntan3limlntan2xxx 220tan23sec 3limtan32sec 2xxxxx 032lim23xxx 03tan2lim2tan3xxx () 1 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 例例7 求求limnxxxelimnxxxe 1limnxxnxe 22(1)limnxxn nxe () 0 !limnxxne 使用使用n次洛必次洛必達法則

9、達法則解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 lnlimxxx 例例8 求求lnlim ( 0)xxx 11limxxx 1limxx () 0 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 4)4)若若 不存在不存在( () )0( )lim( )xxfxg x 00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x 洛必達法則失效！洛必達法則失效！例如例如, ,sinlimxxxx 極限不存在極限不存在sinlim (1)xxx 11coslim1xx 注意注意第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必

10、達法則洛必達法則 sinlimsinxxxxx 例例9 求求sinlimsinxxxxx 1coslim1cosxxx sin1lim1sin1xxxxx () 不存在不存在( () )洛必達法則失效！洛必達法則失效！sinlimsinxxxxx 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 0sinlim(1cos )1xxxxxe 例例10 求求 0sinlim(1cos )1xxxxxe 02sinlim12xxxxx 021coslim32xxx 能用等價無窮小代能用等價無窮小代換的先代換換的先代換03sinlim12xxxx 202112lim332xxx

11、解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 0112 sincoslimxxxxxe 原原式式例例11 求求201sinlim1xxxxe 2001sin1limlimsin11xxxxxxxxeex但但1 00 分母分母1，分子振蕩而沒有極限，分子振蕩而沒有極限L.Hospital法則法則“失效失效”解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 000,0 ,1 , 00 將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型：類型： 或或1. 0步驟：步驟：,10 .0100 或或三、其他類型未定式的極限三

12、、其他類型未定式的極限關(guān)鍵：關(guān)鍵：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 0limlnxxx 例例12 求求0limlnxxx 0lnlim1xxx 0lim()xx 021lim1xxx 0 0 注意到：注意到： 求導(dǎo)比求導(dǎo)比 求導(dǎo)簡單求導(dǎo)簡單1ln x1x解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 2lim.xxx e 例例13 求求2lim.xxx e 2limxxex lim2xxex lim2xxe 0 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 2. 步驟：步驟：0101 .0000 11li

13、m1lnxxxx 例例14 求求11lim1lnxxxx 1ln1lim(1)lnxxxxxx 1( ln1)lim(1)ln xxxxxx 1ln11limln22xxx 111ln1( ln )limlim11lnlnxxxxxxxxxxx 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 011lim().sinxxx 例例15 求求011lim().sinxxx 0sinlimsinxxxxx 01coslimsincosxxxxx 0 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 003.01 步驟：步驟：( )0 ( )0( )(

14、 )( )( )0ln( )ln( )( )1 ( )f xg xg xyf xf xg xyg xf xf xg x ln( )limlnlim ( )ln( )lim1( )f xyg xf xg x ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 0limlnln00limlim eexxxxxxxxx 例例16 求求0limxxx 000021lnlimlnlimlimlim()011xxxxxxxxxxx 00lime1xxx 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 洛必達法則洛必達法則 1limxxx例例17 求求1limxxx1limlnxxx 01lime1xxx1lnlimxxxe lim1lnxxxe lnlimxxx 1lim0 xx解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié)